Kepler denklemi

Olarak astronomi , denklem Kepler'in bir yörüngede bir bağlayıcı formülü olan eksantriklik e ve eksantrik anomali e göre ortalama sapma M . Bu denklemin önemi, bir yıldızın hareketinin dinamik parametrelerinden (ortalama anomali) geometrik parametrelere (eksantrik anomali) geçişi mümkün kılmasıdır. Bu denklem, Tycho Brahe tarafından gerçekleştirilen Mars gezegeninin konum okumalarını analiz ederek, eliptik yörüngeler durumunda Kepler tarafından kurulmuştur . Daha sonra Newton mekaniğinin ilkeleri kullanılarak diğer yörünge biçimlerine ( parabolik , hiperbolik , yarı-parabolik, doğrusal) genelleştirildi .

Kepler denkleminin sunumları

Kepler'in denklemi, Kepler tarafından eliptik yörüngeler için kurulan denklemdir. Bununla birlikte, tüm yörünge durumlarını kapsayacak şekilde çeşitli şekillerde reddedilebilir.

eliptik yörünge durumu

Eliptik yörüngede Kepler denklemi:

tarafından tanımlanan ortalama anomali M ile:

ile n tane orta hareket:

t zaman ve t 0 periapsise geçiş anıdır . T bir yörünge dönemi .

gösteri

Gösterisi basittir ve köşesi iki odaktan biri tarafından işgal edilen bir elips sektörünün alanının, biri alan yasasını kullanan ve diğeri hesaplanarak iki farklı yöntemle hesaplanmasını içerir. bu eliptik sektörün alanı, elipsin ana dairesine yansıtılmıştır.

Kepler'in ikinci yasasına göre , diyagramda SP segmenti tarafından taranan alan zamanla orantılıdır. Eliptik sektörün alana Yani SZP eşittir k ( t - t 0 ) , t zamanı ve t 0 yılında yıldızın geçiş anında olduğu z . Orantı sabiti k kolayca belirlenebilir: bir yörünge periyodunun sonunda T , süpürülen alan elipsin toplam alanına eşit olacaktır π ab ( a ve b yarı ana eksen ve yarı küçük elipsin ekseni), ya:

Bu elips sektörü alanı belirlemek için devam SZP geometrik geçit itibaren geçen süre arasında bir bağlantı yapmasına z ve yörünge üzerindeki konumuna.

Kepler bunun için elipsle sınırlandırılmış bir yardımcı daire kullandı (dairesel bir sektörün alanını bilmek kolay).

Sektör alanı SZX dairesel bir bölüm arasındaki farka eşittir CZX ve üçgenin csx .

burada E radyan cinsinden ifade edilir.

Son olarak, SzP = Szx × b / a  : biri b / a oranının diğerinin sıkıştırılması (burada daha kesin olarak b / a oranının bir yakınlığı ) Kepler denklemini sadeleştirmeden sonra SzP = eşitliğini açıklayarak elde ederiz. k ( t - t 0 ) , yani:

Ortalama hareket şu şekilde de ifade edilebilir:

veya

Eksantrik anomali E ve gerçek anomali v arasındaki bağlantıyla ilişkili Kepler denklemi

yörüngesindeki bir yıldızın zaman içindeki konumunu belirlemeyi mümkün kılar.

hiperbolik yörünge durumu

Hiperbolik bir yörünge ( e > 1 ) durumunda, Kepler denklemine eşdeğer bir ilişkiyi analitik olarak kanıtlayabiliriz:

burada sinh hiperbolik sinüsü gösterir .

M , aşağıdaki ortalama hareketin ifadesi ile eliptik durumda olduğu gibi tanımlanır:

H argümanı , eliptik harekette E'de olduğu gibi artık bir açı değildir . Bu durumda, H gerçek anomali v ile şu şekilde bağlantılıdır :

Parabolik yörünge durumu

Kepler denklemi parabolik hareket ( e = 1 ) çerçevesinde tanımlanmamıştır . Barker denklemi ile değiştirilir.

ile

ve

Bu kübik denklem, Cardan yöntemiyle analitik olarak çözülebilir .

Kepler denkleminin evrensel ifadesi

Değişkeni değiştirerek, eliptik, parabolik ve hiperbolik Kepler denklemleri tek bir "evrensel" denklemde gruplandırılabilir. Olası ifadelerden biri:

periapsis ile q = a (1- e ) ve α = 1 / a . α , eliptik yörüngeler için pozitif, parabolik yörüngeler için sıfır ve hiperbolik yörüngeler için negatiftir. Yeni değişken x şu şekilde tanımlanır:

ve c 3 ( t ) işlevi , genel durumda yazılan Stumpff işlevlerinden biridir :

gösteri

Eliptik denklemden başlayarak,

ile

ve değişkeni değiştirerek

elde ederiz

Sinüsün seri gelişimi ile şunları buluyoruz:

Kepler denklemi şuna dönüşür:

a for parabolik yörüngeler üzerindeki süreksizlik kaldırıldı ve a ifadesi artık bir karekök altında görünmüyor, bu denklemi hiperbolik yörüngeler için de kullanılabilir hale getiriyor. Hiperbolik Kepler denkleminden yola çıkarak elde edilen formül, tüm noktalarda buna eşit olacaktır .

Belirlenmesi x genel denkleme göre yörüngesindeki gövdesinin konumunu belirlemek için yapar ( X , Y ) için:

c 1 ( t ) ve c 2 ( t ) işlevleri , yukarıdaki c 3 ( t ) ile aynı şekilde tanımlanır .

doğrusal yörüngeler

Doğrusal yörünge periapsis uzaklık yaparak, diğer yörüngelerinin sınır durumlardır q eğilimi yarı-büyük ekseni tutarken sıfıra doğru bir yörüngeye sonra segment veya yarı-hattına doğru eğilimi: sabit. Eliptik ve hiperbolik yörüngeler söz konusu olduğunda, bu, e eksantrikliğinin 1'e doğru yöneldiğini varsayar , çünkü yarı ana eksen a , dış merkezlilik e ve periapsis q , q = a (1- e ) ile bağlantılıdır . Bu nedenle üç tür doğrusal yörünge vardır: eliptik, parabolik ve hiperbolik. Pratikte, bu yörüngelerin sadece bir kısmı yıldız tarafından tanımlanır ve bu da ya bir çarpışma ya da bir kaçış ile sonuçlanır. Uzay güneş gözlemevleri ( SoHO , SDO, vb.) veya gezegenler arası sondaların yörünge bölümleri tarafından tespit edilen belirli kamikaze kuyruklu yıldızları , doğrusal yörüngelere yakındır.

Eliptik doğrusal yörünge için Kepler denklemi şöyle olur:

tarafından tanımlanan ortalama anomali M ile:

Doğrusal bir yörünge için artık bir anlamı olmayan gerçek anomali, yıldızın konumu, onu ana yıldızdan ayıran uzaklığı ile tanımlanır r :

Hiperbolik doğrusal yörünge için Kepler denklemi şöyle olur:

ve yıldızın konumu:

bir hiperbolik yörüngeleri için olan negatif

Son olarak, parabolik doğrusal yörünge için:

ile

ve

ve yıldızın konumu:

Kepler Denklemini Çözme

Kepler denklemi

örneğin ekinoksların tarihini belirlemek için belirli bir konuma ( E ile bağlantılı) karşılık gelen tarihi ( M ile bağlantılı ) doğrudan hesaplamanıza olanak tanır . Öte yandan, belirli bir tarih için bir gezegen konumunun belirlenmesi ters problem, belirlenmesini gerektirir E bilerek M ve e . Bu sorun kolay bir şekilde çözülemez.

Kepler denklemini çözmek, E ( e , M ) ' yi bulmaktır  :

Fourier serisi

Bu bir Lagrange isim olmamakla birlikte, ifade bulur J N ( X ) adı ile ilişkilidir Bessel .

burada J , n ( x ) olan Bessel fonksiyonu ve bir yeniden  siparişi tür n .

gösteri

E - M , periyodunun sürekli, tek ve periyodik bir fonksiyonudur ; bu nedenle, kosinüs katsayıları sıfır olan Fourier serilerinde geliştirilebilir.

ile

İntegrasyon değişkenini değiştirmek için, u = sin ( E ) ve d v = sin ( pM ) d M ayarlayarak parçalara göre integral alırız, şunu elde ederiz:

Kosinüslerin çarpımını kosinüslerin toplamına dönüştürerek şunları elde ederiz:

değiştirdikten sonra D , E ile (1 inci cos e ) d e (Kepler denklemi türetmek ile elde edilen eşitliğe).

Bununla birlikte, birinci türden Bessel fonksiyonları şu şekilde ifade edilir:

nereden :

Ayrıca, Bessel'in işlevleri yineleme ilişkisini doğrular:

dolayısıyla nihayet:

Tüm Eksantriklik Serisi

Laplace'ın yakınsama yarıçapını vererek tamamlayacağı çözümü bulan yine Lagrange'dir . Bu çalışmalar, bu çetrefilli sorunu çözmek için analitik seriler teorisini bulan Cauchy'ye ilham verecek ; bu, Puiseux'un çalışmasıyla doruğa ulaşacak .

Lagrange serisi ters çevirme teoreminin uygulanması şunları sağlar:

ile

Serinin M 'ye bağlı olan minimum yakınsama yarıçapına M = π / 2 için ulaşılır ve Laplace ( 1823 ) tarafından belirtildiği ve Cauchy ve Puiseux tarafından gösterildiği gibi e 0 = 0,662734193'e eşittir :

ve x öyle ki .

Bu, eksantrikliği genellikle 1'e yakın olan kuyruklu yıldızların konumunu belirlemek için bu formülü uygulanamaz hale getirir.

İlk terimler şunlardır:

Not: Bu genişlemeyi, önceki Fourier serilerinde Bessel fonksiyonlarını sınırlı genişlemeleriyle değiştirerek elde etmek mümkündür:

Daha sonra sınırlı genişlemeyi, seri ters çevirme yönteminden çok daha basit bir şekilde elde ederiz:

Fourier serisinin 0 < e <1 için yakınsamasına ve Bessel fonksiyonlarının açılımlarının sonsuz yakınsama yarıçapına sahip olmasına rağmen , terimlerin yeniden düzenlenmesinden sonraki sonucun sadece e <0.662 ... için yakınsadığı belirtilmelidir.

Kuyruklu yıldız durumu: e > e 0

Sorunla ilk karşılaşan Horrocks , ardından özellikle Halley , eksantriklik kuyruklu yıldızı e = 0.9673 ile ilgili hesaplamalar için .

Barker denklemini ( e =1 ) biraz değiştirerek birkaç çözüm önerilmiştir . Bessel ( 1805 ) tarafından önerilen çözüm , e >0.997 alanını kapsamaktadır . Gauss , 0.2 < e <0.95 için güzel bir çözüm vererek kendini örnekledi .

Barker denkleminin bir genellemesi, eksantriklik e 1'e yakın olduğu için daha hızlı yakınsayan bir seri açılımdır ve bu, kuyruklu yıldızlar için çok uygun olduğu ortaya çıkar (bu seri aynı zamanda biraz hiperbolik için de geçerlidir):

yakınsama yarıçapı:

ile S = kahve renkli ( h / 2)

v olmak doğru anomali , k Gauss yerçekimi sabiti , e ve q , sırasıyla eksantriklik ve olmak periapsis yörüngesinin, t , zaman ve t 0 enberi geçit anında olma.

Zaman , e = 1 olarak , dizi Barker denklemine azaltır.

gösteri

Kepler'in birinci yasası, yörüngelerin, odaklarının güneş olduğu konik bölümler (elipsler, paraboller veya hiperbol) olduğunu belirtir. Kuyruklu yıldız - güneş mesafesi r ve gerçek anomali v , kutupsal koordinatlarda bir konik bölümün denklemi ile ilişkilidir:

burada p ve e sırasıyla koniğin eksantrikliğinin parametresidir.

Kepler'in ikinci yasası (güneş-kuyruklu yıldız parçası eşit zamanlarda eşit alanları süpürür) sonsuz küçük bir zaman aralığı d t göz önüne alınarak ifade edilebilir :

burada h , bir sabittir, alan adı sabit .

Bu iki denklemi birleştirerek, zamanla gerçek anomali arasındaki bağlantıyı elde etmek için r'yi ortadan kaldırabiliriz , yani herhangi bir yörünge tipine uygulanan Kepler denkleminin bir biçimi.

ya t 0 ile t arasında entegrasyon yaparak  :

integrasyon değişkenini s = tan ( x / 2) değiştirerek ve S = tan ( v / 2) ayarlayarak , bu trigonometrik integrali rasyonel bir fonksiyon integraline dönüştürürüz  :

Yukarıda görülen Kepler denklemlerinin tüm formlarını γ işaretine bağlı olarak elde etmek için rasyonel fonksiyon doğrudan entegre edilebilir . Ancak rasyonel kesri s tamsayı serisine genişleterek , sonra bu seriyi terim terim entegre ederek şunu elde ederiz:

konik parametresi ile alan sabiti arasındaki ilişkiler ,

(kütle ihmal ederek, formül aranan bulmak için sağlar m 2 güneşin edilene göre kuyruklu arasında).

Sayısal hesaplama

Kepler denklemi, bir fonksiyonun sıfırını bulmak için bir algoritma kullanılarak çözülebilir . Tip yöntemleri koçluğu, ikiye bölme yöntemi , yanlış konum yöntemi , kökün bulunduğu bir başlangıç ​​çerçevesi gerektirir. Kepler denkleminin periyodikliği ve paritesi nedeniyle, başlangıç ​​aralığını [0, π]' ye düşürmek her zaman mümkündür . Bu, bu yöntemler için bir başlangıç ​​noktası sağlar, ancak daha rafine olanları bulmak kolaydır.

Sabit nokta türündeki yöntemler , hesaplamaları başlatmak için E 0 yönteminin tohumu olan kökün bir ilk tahminini gerektirir : literatürde çok sayıda vardır, en kolay yol E 0 = M'dir .

Kepler tarafından kullanılan en basit sabit nokta yöntemi:

e 1'e yakın olduğunda yavaş yakınsar . O zaman bir yakınsama hızlandırma algoritması eklemek avantajlı olur: örneğin Aitken'in Delta-2'si veya Steffensen'in varyantı.

Kepler denklemi, gerekli makine hesaplamasında düşük maliyet nedeniyle, yüksek ardışık türevlerin hesaplanmasını gerektiren algoritmalara özellikle uygundur. Aslında :

Aşağıdaki türevler önceki türevlerden döngüsel olarak çıkarılır. Newton'un ve Halley'in yönteminin daha yüksek dereceli varyantları bu nedenle bu durumda çok verimlidir. Bu yöntemlerin belirli durumlarda yakınsamakta güçlük çekebileceğine dikkat edilmelidir ( e 1'e yakın ve M 0'a yakın). Bu bölgelerde ya daha az kaba bir başlangıç ​​değeri önermek (Mikkola ( Seppo Mikkola ) ya da Markley tohumu ) ya da onları yakınsamaya zorlamak için yinelemeli yöntemleri kısıtlamak (Newton yönteminin Hamming modifikasyonu ) ya da tercih edilir. daha az yerel yakınsama ile yinelemeli yöntemler kullanmak ( Laguerre yöntemi ).

Misal

1986'daki son ziyareti sırasında Halley kuyruklu yıldızı Giotto sondası tarafından ziyaret edildi . Bu karşılaşma sırasında kuyruklu yıldızın konumunu belirlemek için gerekli veriler şunlardır:

  • günberiye geçiş tarihi t 0  :9 Şubat 1986saat 10:59:55 UTC
  • toplantı tarihi t  :14 Mart 198600:03:00 UTC'de, yani t - t 0 = 32.54328 gün
  • yörünge eksantrikliği e  : 0.96727426
  • günberi mesafesi q  : 0.58710224 veya yarı ana eksen a = q / (1– e ) = 17.940753 ve ortalama hareket n = k / a 1.5 = 0.0002263836 rad / gün .

Ortalama anomali M = n ( t - t 0 ) = 0.0073673887 rad değerindedir

Çözülecek Kepler denklemi:

E 0 = M'den başlayarak ve Newton'un yöntemini kullanarak,

sırayla buluyoruz:

0.0073673887 0,2249486948 0.1929911041 0.1909186907 0.1909107985 0.1909107984

… (Aşağıdaki değerler özdeştir) Kuyruklu yıldızın yörüngesindeki konum açısını çıkarıyoruz (gerçek anomali) v = 1.2771772327 rad = 73,176865125 °

Kuyruklu yıldızın güneşten uzaklığı r = a (1 - e cos ( E )) = 0.902374257 AU (dünya ile güneş arasındaki mesafeden biraz daha az) ile hesaplanır.

Kuyruklu yıldızın hızı 43.780 8 km / s'ye eşittir 

Karşıdaki grafikte gösterildiği gibi yinelemeler kuyruklu yıldızlar için her zaman çok iyi gitmez. 0.97'nin üzerindeki eksantriklikler için, başlangıç ​​noktası olarak E 0 = M yinelemeleriyle yakınsama belirsizdir . Diğer daha kesin başlangıç ​​noktaları, bu tuzaktan kaçınmayı mümkün kılar.

Kuyruklu yıldızlar söz konusu olduğunda, Barker denkleminin yarı parabolik genellemesini çözmek iki problem ortaya çıkarır:

  • Çok sayıda terim gerektirebilecek, hatta sapmaları halinde imkansız olabilecek serilerin yaklaşık olarak hesaplanması. Bu serinin, özellikle Aitken'in Δ² veya Peter Wynn'in ε-algoritması gibi yakınsama hızlandırma algoritmalarının kullanımına özellikle uygun olduğu ortaya çıktı . Pratikte, kuyruklu yıldız periapsisten çok uzakta olduğunda (o zaman uzun süre görünmez olduğunda) veya eksantrikliği 1'den önemli ölçüde farklı olduğunda (bu durumda, eliptik veya hiperbolik Kepler'in denklemini çözmek daha mantıklıdır) zorluklar ortaya çıkar. denklemi).
  • Denklemin kendisini çözme. Bu, Newton tipi yöntemlerle aşağıdakilerle gerçekleştirilebilir:

türevin basitçe ifade edildiğini fark ederek:

aşağıdaki türevler kolayca çıkarılabilir.

S 0 iterasyonunun başlangıç ​​değeri olarak, ilk terimleri koruyarak (Barker denkleminden biraz farklı) elde edilen kübik denklemin çözümünü Cardan yöntemini kullanarak seçebiliriz.

Mevcut araştırma

Semplektik entegratörler aracılığıyla yapılan hesaplamalar , her zaman en düşük hesaplama maliyetiyle ondalık basamak sayısı sınırında kalmayı gerektirir. Bu çiftli bir çok bağlıdır ( E , E ) , M , 0 arasında tt ve ilgili e bu son parametre 1'e yakın olan, özellikle de.

Nijenhuis (1991) , ( M , e ) ikilisine göre E 0 germini “yeterince” seçerek Newton'un 4. dereceden yöntemi olan Mikkola'nın ( 1987) yöntemini benimser .

Sayısal hesaplamalarda, hesaplamalar hacmi değerlendirilen güneş sisteminin istikrarsızlık verilen ondalık sayısı olduğu kadar, gerekli olduğu açıktır Liaponov katsayısı arasında 10 (t / 5 Myr) . Üstel bir duvarla karşı karşıyayız: 128 bit işleme ile bile 25 Myr'den daha ileri gitmek zor.

IMCCE-Paris'in makinelerinde çalışan bu hesaplamalar (astronomik ... ama bilgisayarlı). 65 ° Kuzey, I (65, t) enleminde karasal güneş ışığının hesaplanması hesaplanır ve geçmiş iklim ile korelasyonu çıkarmaya çalışırız: Neojen'e (25 M yıl) kadar jeolojik ölçek çıkarılır (Gradstein jeolojik ölçek 2004). Bir sonraki planlı adım: 65 milyon yaşında.

bilim tarihi

Kepler'den önce, denklem başka nedenlerle zaten çalışılmıştı:

bu, yerel koordinatları yer merkezli koordinatlara indirgeme sorunudur: paralaks düzeltmesi azaltılmalıdır. Habash al Hasib bunu çoktan halletti.

1700'den önce zaten birçok girişim vardı: Doğal olarak Kepler, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665). ?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiah Horrocks (1638) ...

Notlar

  1. (La) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex gözlemcibus GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
  2. (içinde) T. Barker  (içinde) , Kuyruklu yıldızlarla ilgili keşiflerin bir hesabı, yörüngelerini bulma yolları ve Koltuklarını Oluşturma ve Hesaplamada bazı iyileştirmeler , Londra 1757
  3. (in) RH Battin, Astronomical Guidance , McGraw-Hill, New York, 1609, bölüm. 2
  4. (in) K. Stumpff  (de) , teknik notlarda "Gök mekaniği sorunlarına spinorların uygulanması üzerine" NASA D-4447, New York, 1968, c. 2
  5. J.-L. Lagrange, “Kepler'in Problemi Üzerine”, Berlin'deki Kraliyet Bilimler Akademisi Anıları , cilt. 25, 1771, s.  204-233
  6. (içinde) Peter Colwell, "  Bessel fonksiyonları ve Kepler denklemi  " , Amer. Matematik. Aylık , cilt.  99, n o  1,Ocak 1992, s.  45-48
  7. A. Cauchy, "Analizin çeşitli noktalarında hatıra", Memoirs of the Royal Academy of Sciences (Paris) , cilt. 8, 1829, s.  97-129 .
  8. V. Puiseux, "Gezegenlerin eliptik hareketi teorisinde ortaya çıkan serilerin yakınsaması üzerine", Journal of Pure and application matematik , cilt. 14, 1849, s.  33-39
  9. (içinde) E. Halley, "Astronomiae cometicae özeti" Kraliyet Cemiyetinin Felsefi İşlemleri , Cilt. 24, 1705, s.  1882-1899
  10. (La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium insectionibus conisis solem Environmentium , Hamburg, Perthes & Besser, 1809, s.  35-44 .
  11. Küçük Gezegen Genelgesi 10634 (24 Nisan 1986)
  12. (in) "Orbital hızı" in Vikipedi ,15 Haziran 2021( çevrimiçi okuyun )

bibliyografya

  • (tr) Peter Colwell , Üç yüzyıl boyunca Kepler denklemini çözme , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202  s. ( ISBN  978-0-943-39640-8 , OCLC  28724376 )
  • (tr) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , cilt. 7, 1803, s.  321-356
  • (tr) Jean Meeus , Astronomik algoritmalar , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429  s. ( ISBN  978-0-943-39635-4 , OCLC  24067389 )
  • (tr) Albert Nijenhuis  (de) , “  Kepler Denklemini yüksek verim ve doğrulukla çözme  ” , Celest. Makine Din. Astron. , cilt  51,1991, s.  319-330 ( çevrimiçi okuyun )
  • (tr) Seppo Mikkola , “  Kepler denklemi için kübik bir yaklaşım  ” , Celest. Makine Din. Astron. , cilt  40,1987, s.  303–312 ( çevrimiçi okuyun )

Şuna da bakın:

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">