Eşitlik

Olarak analiz , bir dizi ait işlevleri bir tanımlanmış topolojik alan a ve değerlerle metrik alanı olduğu söylenir eşsürekli başlangıç alan bir noktada, eğer bu fonksiyonlar sadece hepsi sürekli , bu noktada, ancak a kadar olan şekilde benzer bir anlamda aşağıda açıklanmıştır. Başlangıç ​​boşluğunun herhangi bir noktasında eşit süreksiz ise, işlevler kümesinin eşit süreksiz olduğu söylenecektir.

Daha genel olarak, eşit süreksizliği varış uzayı olarak tekdüze bir uzay ile tanımlayabiliriz .

Çoğunlukla bir kümeden değil , eşit süreklilik arz eden işlevler ailesinden söz ederiz; ancak önemli olan aile işlevlerinin bütünü olarak kalır.

Eş-sürekli fonksiyonların ailelerinin bazı ilginç özellikleri vardır. Sürekli fonksiyonların bir sekans sadece bir işleve yakınsar Örneğin, bu fonksiyonu (karşı-tanımlı fonksiyonlar ailesi tarafından verilir zorunlu sürekli değildir [0, 1] ile x ↦ X , n ). Bununla birlikte, bu dizi eşit süreksiz ise, o zaman sınırın sürekli olduğu sonucuna varabiliriz.

Tanımlar

(Let f i ) i ∈ I işlevlerinin bir aile E topolojik uzayda içinde F . I endeksler kümesi keyfi olabilir (sonlu veya sayılabilir sonsuz veya değil). Varış boşluğu F metrik veya daha genel olarak tek tip olacaktır.

Bir metrik uzayda bir fonksiyon ailesinin durumu

Özel bir durumda F a, metrik alanı (aile f i ) i ∈ I söylenir

• x ∈ E noktasında eşit sürekli eğer∀ε>0∃V mahalle x∀y∈V∀ben∈bend(fben(x),fben(y))≤ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ var V {\ text {komşuluğu}} x \ quad \ forall y \ içinde V \ quad \ forall i \ i \ quad d (f_ {i} (x) , f_ {i} (y)) \ leq \ varepsilon} ;
• eşsürekli bunun herhangi bir noktada eşsürekli ise E  ;
• dahası E bir metrik uzaysa , tekdüze eşit sürekli ve∀ε>0∃δ>0∀x∈E∀y∈B(x,δ)∀ben∈bend(fben(x),fben(y))≤ε.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ var \ delta> 0 \ quad \ forall x \ B (x, \ delta) \ quad \ forall y \ içinde I \ quad d (f_ {i} (x), f_ {i} (y)) \ leq \ varepsilon.}

Karşılaştırma amacıyla, aşağıdaki cümlenin nicelleştirilmesi: " f i fonksiyonlarının tümü süreklidir" yazılır: ∀ben∈ben∀x∈E∀ε>0∃δ>0∀y∈B(x,δ)d(fben(x),fben(y))≤ε.{\ displaystyle \ forall ben \ I \ quad \ forall x \ in E \ quad \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ var \ delta> 0 \ quad \ forall y \ B \ left (x, \ delta \ sağ ) \ quad d \ left (f_ {i} (x), f_ {i} (y) \ sağ) \ leq \ varepsilon.}

Her şey niceleyicilerin sırasına bağlıdır: süreklilik için δ, ε, x ve i'ye bağlıdır . Eş süreksizlik için, δ yalnızca ε ve x'e bağlıdır , en güçlü tekdüze eşit süreksizlik ise δ'yi yalnızca ε'ye bağlı kılar.

Genel dava

Tüm e a, topolojik alan ve F bir düzgün boşluk (aile f i ) i ∈ I söylenir

• x noktasında eşit sürekli : eğer:herhangi çevreleyen V arasında F , bir mahalle vardır u arasında x , örneğin, tüm bu y ∈ U ve i ∈ I , ( f ı ( y ), f i ( x )) ∈ V  ;
• eşsürekli bunun herhangi bir noktada eşsürekli ise E  ;
• Ne zaman D düzgün bir alandır, aile olduğu söylenir homojen eşsürekli eğer:Her muhit için V ve F , bir daire vardır , U ve E için tüm bu şekilde, ve tüm i ∈ I , .(x,x′)∈UU'da {\ displaystyle \ sol (x, x ^ {\ üssü} \ sağ) \(f(x),f(x′))∈V{\ Displaystyle \ sol (f \ sol (x \ sağ), f \ sol (x ^ {\ prime} \ sağ) \ sağ) \ V}

Yukarıdakilerin hepsinde, ( f i ) i ∈ I ailesini { f i | i ∈ ben }. Bu nedenle, bir noktada eşit süreksiz veya eşit sürekli veya tekdüze eşit süreksiz bir dizi haritadan bahsedeceğiz.

Yorumlama

(Aile Verilen f i ) i ∈ I , biz uzay uygulanmasını düşünebiliriz E genelde F I herhangi birinde o x ∈ E ailesini birleştiren ( f i ( x )) i ∈ I .

Eşsüreklilik (sırasıyla. Tekdüze eşsüreklilik) ailesinin ( f i ) i ∈ I eşdeğer süreklilik (resp. To düzgün süreklilik ) alınan harita E üzere F I biz bağışlamak F I topoloji ile (sırasıyla . tekdüzelik) I üzerindeki düzgün yakınsamanın .

Tüm D Bir metrik alanı olan, bu homojen yapısı F I ile verilen bir mesafe ö ile tanımlanır

δ(sen,v)=min(1,supben∈bend(senben,vben)).{\ displaystyle \ delta (u, v) = \ min (1, \ sup _ {i \ içinde I} d (u_ {i}, v_ {i})).}

Her birinin süreklilik f i bu haritanın süreklilik eşdeğer E için F I biz bağışlamak zaman F I topolojisinde ile basit yakınlaşma üzerine I başkası değil, ürün topoloji .

Özellikleri

İfadeler

1. Bir fonksiyon dizisi eşit süreksiz ise ve basitçe yakınsıyorsa, o zaman basit sınır süreklidir. Eğer Daha genel olarak, bir gelen bir işlev eşsürekli dizi E için F daha sonra yapışkanlık ürün alanı F E (haritaların alan başka bir şey değildir E için F basit yakınsama topolojisi ile donatılmış) hala eşsürekli olup.
2. Bir işlev dizisi eşit süreksiz ise ve basitçe başlangıç ​​boşluğunun yoğun bir alt kümesinde birleşiyorsa ve varış alanı tamamlanmışsa, dizi basitçe tüm başlangıç ​​alanında birleşir (bu nedenle önceki özellik geçerlidir). Daha genel bir topolojik uzay arasında bir eşleşme eşsürekli sette E düzgün bir boşluk, basit yakınlaşma tekdüze yapılarda E ve sabit yoğun kısmında basit yakınlaşma E çakışmaktadır.
3. Bir üzerinde tanımlı fonksiyonların bir aile ise kompakt boşluk (birlikte verilen onun üniforma yapısı ) eşsürekli olduğunu, o zaman tekdüze eşsürekli (doğrudan uygulamadır Heine'nin teoremin yukarıdaki yorumuna yoluyla).
4. Bir fonksiyon dizisi eşit süreksizse ve basitçe yakınsıyorsa, bu yakınsama tüm kompaktlar üzerinde tekdüze olur. Daha genel olarak, eğer K kompakt bir alandır ve eğer bir gelen bir işlev eşsürekli kümesidir K için F üzerinde daha sonra, A , basit yakınlaşma topoloji ve düzgün yakınsaklık çakışır söyledi.
5. Ascoli teoremi  : eğer K kompakt boşluk olan F muntazam alan ve A sürekli fonksiyonların alan bir parçası K için F (düzgün yapı ile donatılmış), daha sonra bir bir nispeten kompakt , ancak ve ancak bir eşsürekli ve içindir tümü x ∈ K , kümesi A ( x ) = { f ( x ) | f ∈ A }, F'de nispeten küçüktür .
6. Let E bir topolojik uzay (sırasıyla. Hatta), F muntazam alanı, H bir eşsürekli (sırasıyla. Homojen eşsürekli) işlevleri E içinde F . Açık H , basit yakınsama ve kompakt yakınsama (sırasıyla. Precompact) üniform yapıları aynıdır.

Mülkiyetin gösterilmesi 4

Basit olması için, bu kanıt, F'nin bir metrik uzay olduğu durumda yapılır .

Let A kompakt üzerinde eşsürekli K ve f bir unsuru A . Herhangi bir bölümü için I ve K , anlamında olabildikleri

Bben(f,ϵ)={g∈AT | ∀x∈ben,d(f(x),g(x))≤ϵ}{\ displaystyle B_ {I} (f, \ epsilon) = \ {g \ in A \ | \ \ forall x \ in I, d (f (x), g (x)) \ leq \ epsilon \}}.

Mahallelerin bir baz f içinde A üniform topoloji için (sırasıyla. Basit) yakınsama les ile verilir bütün reals (sırasıyla. Les tüm reals ve sonlu alt- ı arasında K ). Belli ki var . Bize tersine, herhangi bir gerçek olduğunu göstereyim , sonlu bir alt kümesi vardır ben bir K öyle ki . BK(f,ϵ){\ displaystyle B_ {K} (f, \ epsilon)}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}Bben(f,ϵ){\ displaystyle B_ {I} (f, \ epsilon)}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}Bben(f,ϵ)⊃BK(f,ϵ){\ displaystyle B_ {I} (f, \ epsilon) \ supset B_ {K} (f, \ epsilon)}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}BK(f,3ϵ)⊃Bben(f,ϵ){\ displaystyle B_ {K} (f, 3 \ epsilon) \ supset B_ {I} (f, \ epsilon)}

Bir eşsüreklilik ile A , herhangi bir nokta X bir K açık setine şekilde tüm g arasında A (özellikle c = k ) Öx{\ displaystyle O_ {x}}

∀y∈Öx,d(g(x),g(y))≤ϵ{\ displaystyle \ forall y \ içinde O_ {x}, d (g (x), g (y)) \ leq \ epsilon}.

By kompakt , K bunlar açık sonlu sayıda kapsamındadır  : Bazı sonlu bölümü için I ve K . Öx{\ displaystyle O_ {x}}K=∪x∈benÖx{\ displaystyle K = \ cup _ {x \ in I} O_ {x}}

Her şey için , ya olduğu gibi . Sahip olduğumuz her şey için , nereden y∈K{\ displaystyle y \ K dilinde}x∈ben{\ displaystyle x \ in I}y∈Öx{\ displaystyle y \ in O_ {x}}g∈Bben(f,ϵ){\ displaystyle g \ in B_ {I} (f, \ epsilon)}d(f(x),g(x))≤ϵ{\ displaystyle d (f (x), g (x)) \ leq \ epsilon}

d(f(y),g(y))≤d(f(y),f(x))+d(f(x),g(x))+d(g(x),g(y))≤3ϵ,{\ Displaystyle d (f (y), g (y)) \ leq d (f (y), f (x)) + d (f (x), g (x)) + d (g (x), g (y)) \ leq 3 \ epsilon,}

dolayısıyla istenen katılım.

Notlar ve referanslar

1. (inç) John L. Kelley , Genel Topoloji , Springer , diğerleri.  "  GTM  " ( n o  27)1975( çevrimiçi okuyun ) , s.  238.

N. Bourbaki , Genel Topoloji. Bölüm 5-10 , Springer,2006, 336  s. ( ISBN  3-540-34399-7 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">