Açı

İn geometrisi , genel kavramı açısı olabilir pek çok kavram bölünebilir.

Eski anlamda, açı düzlemsel bir rakamı, bir kısmıdır düzlem iki tarafından sınırlandırılan yarım satır . Bir çokgenin açılarından böyle bahsediyoruz . Bununla birlikte, artık böyle bir rakam için "köşeli sektör" terimini kullanmak gelenekseldir. Açı ayrıca, iki düzlemle (iki yüzlü açı ) sınırlandırılmış boşluğun bir bölümünü de belirleyebilir . Bu tür açıların ölçümü genellikle ancak yanlış bir şekilde açı olarak da adlandırılır.

Daha soyut bir anlamda, açı bir eşdeğerlik sınıfıdır , yani izometri ile tanımlanabilen tüm açı şekillerini kendi aralarında asimile ederek elde edilen bir kümedir . Tanımlanan şekillerden herhangi biri daha sonra açı temsilcisi olarak adlandırılır. Tüm bu temsilciler aynı ölçüye sahip, soyut açının bir ölçüsünden bahsedebiliriz.

Kavramını tanımlamak mümkündür yönlendirilmiş açısı içinde Öklid geometrisi düzlemi, hem de çerçevesine açısının kavramını uzatmak prehilbertian vektör uzayı veya Rieman manifoldları .

Birkaç çeşit açı vardır: Dik Açı , Dar Açı ve Geniş Açı

Tarih

Açı kelimesi, "köşe" anlamına gelen Latince angulustan türemiştir . Matematikçi Antakya Karposuna göre açı, onu içeren çizgilerin veya yüzeylerin bir miktarı ve aralığıdır; bu boşluk bir şekilde boyutlandırılır, ancak açı bunun için bir çizgi değildir.

Bir düzlem veya uzay figürü olarak açı

Açısal sektör ve açı

Düzlemde, aynı orijine sahip iki yarım çizgi, açısal sektörler adı verilen iki bölgeyi sınırlar .

İki açısal sektörün üst üste bindirilebilir olduklarında aynı açıyı tanımladığını söylüyoruz (daha resmi olarak: bir açısal sektörün açısı, eşleşme sınıfıdır ). Geleneksel olarak bu açı kavramı için geometrik açıdan söz ederiz, ancak bu terim aynı zamanda modern terminolojide benzer daha az ince bir kavramı da gösterebilir ( aşağıya bakınız ).

Bir açının, onu temsil eden açısal sektörlerin dışbükey olması durumunda belirgin olduğu ve değilse yeniden giriş yaptığı söylenir .

Bu nedenle, aynı orijine sahip bir çift yarım çizgi genellikle iki açı tanımlar: biri çıkıntı yapan ve diğeri yeniden giriş (istisnai durum, düz açıdır ).

Düzlemde, kesişen iki çizginin açısından bahsedebiliriz. İki sekant çizgi, uçağın karşısındaki iki açı çiftine karşılık gelen 4 çıkıntılı açısal sektöre böler. Zıt açılar eşittir ve bitişik açılar ilavedir . Bu açılar için genellikle iki olası değer vardır. Bazen en küçük açıyı, yani akut veya dik açıyı tercih ederiz.

Açı değeri

Bir açısal sektörün açısının ölçüsü, açısal sektörün kapladığı düzlemin oranını ölçen pozitif gerçek sayıdır. Birimler olarak ölçmek için kullanılmaktadır radyan , kadran ve alt bölümleri, derecesi , bunun alt birimleri ve sınıf . Açılar genellikle küçük bir Yunan harfiyle gösterilir, örneğin α, β, θ, ρ… Açı bir çokgenin tepesindeyken ve belirsizlik yoksa, o zaman bir şapka ile üst üste gelen tepenin adı kullanılır. örnek  .

Bu açı, bu "yüzeyin oranı" değerlendirmek için, bir kesişme noktasında merkezlenmiş bir disk alır ve bir arasındaki oranı gerçekleştirir alan açısal sektör tarafından ele disk kısmının ve toplam alanı disk. Bunun aynı zamanda kesilen yayın uzunluğu ile çemberin çevresi arasındaki ilişkiyi de oluşturduğunu gösterebiliriz ; 1'den küçük olan bu değere dönüş sayısı denir . Değeri 1/4 (çeyrek dönüş) karşılık gelen kadran .

Yaygın olarak kullanılan bir birim, kadranın 90 eşit parçaya bölünmesinin sonucu olan derecedir . Tam dönüş bu nedenle 360 ​​dereceye karşılık gelir. Ark dakikası, derecenin 1 / 60'ına eşit olan bir derecenin alt katıdır. Aynı şekilde, yayın saniyesi de yay dakikasının 1 / 60'ına veya bir derecenin 1 / 3600'üne eşittir. Kadranın yüzdelik bir alt bölümüne karşılık gelen derece daha nadir kullanılır .

Bununla birlikte, açılar için uluslararası ölçü birimi radyan olup, kesilen yayın uzunluğu ile dairenin yarıçapı arasındaki oran olarak tanımlanır. Tam devrim bu nedenle radyanlara karşılık gelir .

Açılar, trigonometri kullanılarak çokgenlerin , özellikle üçgenlerin kenar uzunluklarından hesaplanabilir .

Öncelikle ordu tarafından kullanılan açılar için ölçü birimi bininci . 1 metre ile 1 kilometre arasında gördüğümüz açıdır. 6283 binde biri 2π radyan veya 360 dereceye veya 360 ° / arktan'a (1  m / 1000  m ) karşılık gelir. Başka bir deyişle, bininci = mrad (miradyan).

"Tarlada" açılar gonyometre adı verilen bir cihazla ölçülebilir  ; genellikle açıölçer adı verilen, derece olarak derecelendirilmiş kavisli bir cetvel içerir .

Bilgisayar biliminde, derecenin 1 / 16'sı veya 360 ° için 5760 kullanılabilir.

Açıların adı

Tam sayı çeyreğe karşılık gelen açıların özel bir adı vardır. Aşağıdaki tablo, çeşitli birimlerdeki belirli açıların değerlerini temsil etmektedir.

Açı Temsil Dönüş sayısı Kadran sayısı Radyan Derece Derece
Tam açı Angolo giro.png 1 dönüş 4 çeyrek 2π rad 360 ° 400 gr
Düz açı Angolo piatto.png 1/2 dönüş 2 kadran π rad 180 ° 200 gr
Dik açı Dik açı.svg 1/4 dönüş 1 çeyrek π / 2  rad 90 ° 100 gr
Sıfır açı Açı boş1.svg 0 tur 0 çeyrek 0  rad 0 ° 0 gr

Dik açılı dört eşit sektörlere düzlemi bölmek iki hat dikkate alınarak elde edilir. Bu tür çizgilerin dik veya dik olduğu söylenir .

Açı sıklıkla ölçüsü ile karıştırılır. Bu nedenle, örneğin, düz bir açı yanlış olarak 180 ° 'ye "eşittir" denir. Bu istismar, bu makalenin geri kalanında yaygın olarak uygulanmaktadır.

Aşağıdaki niteleyiciler, bu dikkat çekici değerler arasında ara değerler alan açılar için kullanılır:

İki açının göreceli değerlerini nitelemek için aşağıdaki ifadeleri kullanıyoruz:

Bir şekil üzerindeki açıların konumunu, yani daha doğrusu, açısal sektörlerin göreceli konumunu nitelemek için hala başka ifadeler kullanıyoruz:

İki tamamlayıcı veya ek açının mutlaka bitişik olması gerekmediğini unutmayın: Örneğin, B'de dik açılı ABE üçgeninde  ve Ê açıları tamamlayıcıdır.

Uzantı olarak, bu nesneleri taşıyan çizgileri kesişme noktalarına kadar genişleterek yarım çizgiler, doğru parçaları ve vektörler arasındaki açıları da tanımlıyoruz . Yarım çizgiler veya vektörler ile tanımlama, ilave açılar arasındaki belirsizliği ortadan kaldırmayı, yani yönlerin eğimini tanımlamak için hangi açısal sektörün kullanılacağını belirsizlik olmadan tanımlamayı mümkün kılar.

Geometrik açı

Bir geometrik açısı , güncel terminolojide bir eşdeğerlilik sınıfı olan çift bunlar, aynı kökenli yarı hatları, bu gibi iki çift eşit olarak kabul edilen üst üste .

Yarım doğru çifti ile ilişkili geometrik açı not edilirse , biri ( açıortay ile karşılaştırıldığında simetri yoluyla ) : yani bu açının yalnızca çifte bağlı olduğu anlamına gelir .

Dış açı ve böyle bir çifti ile bağlantılı yeniden giriş açısı ( bakınız yukarıdaki dış açı olduğunda tercih edilen temsili olan, aynı “geometrik açısı” olarak bu yeni terminoloji ile, bu nedenle karşılık gelir) (0 ile 180 arasında ölçülür ° ).

Çeşitli şekillerde yorumlanabilir: iki yön arasındaki sapma, bir nesnenin yüzlerinin yönleri (köşe), kuzeye göre yön (bir pusula ile verilen açı) ... Açı aynı zamanda nesnenin açıklığı olarak da yorumlanabilir. açısal sektör. Bir yarım çizginin diğerine göre eğiminin ölçüsüdür.

Bir ederse çeviri dönüşümleri içinde ve de bu geometrik açısını değiştirmez: . Bu nedenle, sıfır olmayan iki vektörün geometrik açısını ve bu iki vektör tarafından yönlendirilen iki yarım doğru arasındaki açı ve keyfi ortak orijin olarak tanımlayabiliriz . Ve yine, iki çift ve sıfır olmayan vektörler (aynı geometrik açı ifade etmektedir) bir varsa eşdeğerdir vektör izometri dönüştüren birim vektörleri ve içine ve . (Böylece çiftler arasında bir denklik ilişkisi tanımlarız , çünkü vektör izometrileri bir grup oluşturur .)

Düzlemde yönlendirilmiş açılar

Çoklu bir yaklaşım

Yönlendirilmiş açıların bir düzlemde sunumu sezgisel veya daha biçimsel bir şekilde yapılabilir.

İlk yaklaşım, açıyı bir dönüşün izi olarak görmekten ibarettir: Yarım çizgiyi (Öküz) yarım çizgiye (Oy) gönderen dönüş, genel olarak (Öküz) üzerindeki göndermeden (Oy) farklıdır. Açıların (Öküz, Oy) ve (Oy, Öküz) daha sonra farklı olduğu düşünülür, bu da aynı ölçüye ancak farklı hareket yönlerine sahip olduklarını gösterir.

Başka bir yaklaşım, yönlendirilmiş açıyı ve ölçüsünü karıştırmaktan ibarettir. Bu yaklaşım, sözde olumlu anlamı tanımlayabilmek için planın önceki bir yöneliminin tanımlanmasını gerektirir . Bir birim daire üzerinde belirlediği yönlendirilmiş dairesel yayın uzunluğunu kullanarak bir çift birim vektörün yönelimli açısının ölçüsünü tanımladığımızda bulduğumuz bu tür bir yaklaşımdır.

Son, daha resmileştirilmiş yaklaşım, yönlendirilmiş bir açıyı, düzlem rotasyonlarını modulo vektör yarım çizgi çiftlerinin eşdeğerlik sınıfı olarak görmekten veya grup eylemiyle vektör yarım çizgi çiftlerinin yörüngeleri olarak aynı şeyi görmekten ibarettir. arasında pozitif izometrileri.

Ardından, daire yaylarının uzunluklarına göre yaklaşımlar ve denklik sınıfları sunulacaktır. Yukarıdakilerle aynı teknikleri kullanarak, açılar hakkında konuşurken, aynı orijinden iki yarım çizgiyi, sıfır olmayan iki vektörü veya iki birim vektörü düşünmek aynı anlama gelir. Bu nedenle tartışmayı ikinci durumla sınırlıyoruz.

Yönlendirilmiş dairesel yaylar

O merkezi ve yarıçapı 1 olan bir çemberde, pozitif hareket yönü olarak adlandırılan , genel olarak trigonometrik yön adı verilen saat yönünün tersi yönü tanımlarız . Eğer A ve B çemberin iki noktasıysa, yönlendirilmiş yayın AB'nin uzunluğunu, A'dan başlayıp B'ye varan çember üzerindeki herhangi bir rotanın uzunluğunu diyoruz. Gidilen dairenin tam dönüşlerinin eklenmesinden oluşan birkaç olası yol vardır. pozitif yönde veya negatif yönde. Bir uzunluğu , bir bilinen varlık, yönlendirilmiş yayın diğer uzunlukları bu nedenle tüm formu olan bir +2 k tt k göreli bir tamsayıdır. A'dan B'ye gitmek için en kısa yola karşılık gelen uzunluk, AB arkının ana ölçümü olarak adlandırılır (iki olası yol varsa, pozitif ölçümü seçeriz). Ana ölçü bu nedenle] -π, π] aralığına ait bir sayıdır.

Izin vermek ve iki birim vektörler ve A ve B noktaları öyle olsun ve , yönlendirilmiş açı AB'nin herhangi bir uzunluktaki ölçüsünü çağırıyoruz . Bu nedenle, açının ana ölçüsü, mutlak bir değer olarak geometrik açının ölçüsüne sahiptir . Bu ana ölçümün işareti, A'dan B'ye en kısa yol doğrudan yöndeyse pozitiftir, aksi takdirde negatiftir. Aynı ölçüye sahip iki vektör çifti aynı yönelimli açıyı tanımlar.

Bu yaklaşımda, gerçek düz çizginin çember üzerindeki "sargısının" doğal olarak algılanması, resmileştirilmesi gereken bir sargı olması gerekir.

Eşdeğerlik sınıfına göre vektörlerin yönlenmiş açıları

Düzlem, daha yüksek boyutlara kıyasla aşağıdaki özelliğe sahiptir : geometrik açı için tanımlanan uygunluk ilişkisi, çiftler ve genel olarak artık aynı açıyı temsil etmeyecek şekilde rafine edilebilir . Bunun için, ilgili bir önler yansımaları izometrileri arasında yani çiftler arasında yeni bir ilişki tanımlamak için yetkili bir sınırları için, kendini alt grup arasında devir arasında vektör düzlemi (örneğin boyut 3'te, bu sınırlama başarısız olur çünkü iki çift, sadece açıortay düzlemine göre yansıma ile değil, aynı zamanda yarım dönüşlük bir dönüşle de birbirinden dönüştürülür. Bu, aşağıdaki tanıma götürür:

Yönlendirilmiş vektör açısı bir eşdeğerlik sınıfıdır

(Şimdi vektörler üzerindeki geleneksel oklardan vazgeçiyoruz.)

Düzlemin birim vektörlerinin iki çifti (u, v) ve (u ', v'), u '= g (u) ve v' = g (v) şeklinde bir g dönüşü varsa aynı yönelimli açıyı temsil eder.

Bir çifti ve temsil ettiği yönelimli açıyı yanlış bir şekilde karıştırarak, örneğin: (–u, –v) = (u, v) yarım dönüş g = - Id ile elde ederiz .

Bu yeni eşdeğerlik ilişkisi, geometrik açıları tanımlayandan daha ince . Daha kesin olarak, bir eşdeğerlik sınıfı olarak, geometrik açı , iki yönlendirilmiş açının birleşimidir ve .

Yönlendirilmiş her açı bir dönüşe karşılık gelir

İki birim vektör verildiğinde, birinciyi ikinciye gönderen düzlemin tek bir dönüşü vardır.

Bu benzersizlik, birim vektör çiftinin (u, v) dönüşü f'yi f (u) = v olacak şekilde ilişkilendiren bir uygulamayı tanımlamayı mümkün kılar.

Bu harita T: (u, v) ↦ f, vektör çiftlerinden rotasyonlara, “  bölüme geçer  ” ve böylece rotasyonlara yönelik açılardan bir bijeksiyon S'yi tanımlar . Aslında :

Teorem  -  (u, v) ve (u ', v') aynı yönelimli açıyı temsil eder ancak ve ancak ve ancak v'ye u gönderen döndürme, u 'üzerinde v' gönderenle aynı ise.

Bunun nedeni, vektör düzleminin dönme grubunun değişmeli olmasıdır .

Gösteri

Tanım gereği, (u, v) ve (u ', v') aynı yönelimli açıyı temsil eder ancak ve ancak u 'üzerine u' gönderen dönüş v 'üzerinde v' gönderenle aynı ise, başka bir deyişle: T (u, u ') = T (v, v'). Dönme grubunun değişme gücüne göre, bu T (u ', v) ∘T (u, u') = T (v, v ') ∘T (u', v) 'ye eşdeğerdir, yani T (u, v) = T (u ', v').

Vektörlerin yönelimli açıları bir grup oluşturur

Bu eşleme S'yi kullanarak , dönme grubunun değişmeli grup yapısını  (en) açılar kümesi üzerinde "eşleyebiliriz" , yani, döndürmelerin bileşiminden açıların eklenmesini şu şekilde belirleyerek tanımlayabiliriz :

.
  • Bu ekleme ile vektörlerin yönelimli açıları değişmeli bir grup oluşturur.
  • T (u, v) ∘ T (v, w) = T (u, w) ile, açılar için Şaseler bağıntısını (u, v) + (v, w) = (u, w) elde ederiz .
  • Sıfır açısı özdeşliğe karşılık gelir: (u, u) = 0.
  • (v, u) + (u, v) = (v, v) = 0 ve bu nedenle (v, u), (u, v) 'nin tersidir (bkz. yukarıdaki şekil).
  • Herhangi bir açı n ile n şekilde bölünebilir . Örneğin n = 2 için:
    • çift ​​sıfır açı (u, u) olan iki açı düz açı (u, –u) ve sıfır açıdır;
    • iki dik açı vardır, 2 (u, v) = (u, –u) 'nun çözümleri.
İzometrilerin vektörlerin yönelimli açıları üzerindeki etkisi
  • Direkt izometriler (rotasyonlar), tanım gereği vektörlerin yönelimli açılarını korur.
  • Dolaylı izometriler (yansımalar), vektörlerin herhangi bir yönlendirilmiş açısını zıt açıya dönüştürür çünkü herhangi bir D doğrusu için, bir açı her zaman D'nin açıortay olduğu bir çift (u, v) ile temsil edilebilir ve eksen yansıması D daha sonra u değiş tokuş eder. ve v.
Eh, neredeyse gerçek bir açı ölçüsü

Yönlendirilmiş açılarda bir ölçü tanımlayacağız, böylece toplamın ölçüsü ölçülerin toplamına eşittir (geometrik açılar için, açıların ve karşılık gelen ölçülerin bir toplamasını kısmen tanımlayabiliriz: sadece " çok büyük "açılar).

Düzlemin iki olası yönünden birinin seçimi, düzlem dönme matrislerinin SO (2) grubu ile veya modül 1'in karmaşık sayılarının U grubu ile dönme grubunun iki izomorfizminden birini belirler . Kompleks üstel o zaman mümkün bir dönme açısının ölçümünü belirlemek için yapar 2n dahilinde (radyan cinsinden) "modülo 2π" ya da. Θ, f = T (u, v) dönme açısının bir ölçüsü ise, θ'nin aynı zamanda vektörlerin (u, v) yönelimli açısının da bir ölçüsü olduğunu söyleyeceğiz.

Örneğin, doğrudan yönün dik açısının ölçüsü not edilir:

veya

.

Özetle, seçilen düzlemin bir yönelimi, yönlendirilmiş bir vektör açısının ölçüsü şu şekilde tanımlanır:

,

burada matris, herhangi bir doğrudan birimdik tabanda T (u, v) ' nin matrisidir .

Bu, “gerçek modulo 2 add” toplamalı grubundaki yönlendirilmiş açılar grubunun bir izomorfizmidir . Bu nedenle, açıların ölçümü nihayet katkı sağlar.

Bununla birlikte, bunun çekimin yönelim seçimine bağlı olduğunu unutmayın  : bu seçimi tersine çevirmek, tüm önlemleri karşıtlarına dönüştürür . Burada, 0 ve π arasında α ölçüsüne sahip bir geometrik açının, iki zıt yönlü açıya karşılık geldiğini buluyoruz, α ölçüsünün bire atfedilmesi (modulo 2π) ve dolayısıyla –α diğerine yönelim fonksiyonudur. uçağın.

Dahası, Daniel Perrin ve Jean Dieudonné , iki açı ölçümü arasında karşılaştırma yapılamayacağı için kesin olarak ölçümden söz edilemeyeceğine dikkat çekiyorlar .

İki çizginin yönlendirilmiş açısı

Bir düzlemde, iki çizginin yönlendirilmiş açısı, yön vektörleri tarafından oluşturulan yönlendirilmiş açının modulo π sınıfıdır. Bu modülo π çalışması, bir u veya -u doğrusunun yöneltici vektörü olarak alabilmemizden ve bir vektörün zıt miktarlara değiştirilmesinin, karşılık gelen açının ölçüsüne adding eklemeye kadar olmasından kaynaklanmaktadır.

İki yansımadan oluşan bir dönmenin açısını belirlemek için doğru yönelimli açılar kullanılır. Bu fikir aynı zamanda tüm hizalama ve döngüsellik problemleri için de yararlıdır.

Uzayda Açılar

Kesişen iki çizgi zorunlu olarak eş düzlemlidir, bu nedenle çizgiler arasındaki açı, yukarıdakiyle aynı şekilde bu düzlemde tanımlanır.

Uzayda, yönlendirilmiş bir doğru açısı kavramı yoktur, ancak uzaydaki herhangi iki çizginin açısını, yön vektörleri üzerinde çalışmak şartıyla, sekant olsun veya olmasın tanımlayabiliriz. İki çizginin açısı, yön vektörlerinin oluşturduğu geometrik açı olarak adlandırılır. Seçilen yön vektörlerine bağlı olarak bu açı için genellikle iki olası değer vardır. Bazen en küçük açı tercih edilir. Böylece iki paralel çizgi arasındaki açı sıfırdır ve iki dik çizgi arasındaki açı 90 ° veya π / 2 rad'dir.

U ve v yön vektörlerinin iki çizgisinin açısı, skaler çarpım kullanılarak belirlenebilir: kosinüsü eşit olan açıdır .

Eksenlerin yönünün oluşturdukları açıya tek bir değer yüklediği, iki eksenin komşu açı kavramını da düşünebiliriz.

İki düzlem arasındaki açıyı veya dihedral açıyı tanımlamak için , normalleri tarafından yapılan açıyı dikkate alıyoruz .

Bir düzlem ve bir doğru arasındaki açıyı tanımlamak için, doğru ile düzlemdeki ortogonal izdüşümü arasındaki α açısını veya doğru ile normal arasındaki tamamlayıcı açıyı dikkate alırız: doğru ile normal arasındaki β açısını çıkarırız: dik açı düzlemine normal (radyan cinsinden α = π / 2 - β).

Ayrıca katı açıları da tanımlıyoruz  : bir nokta (bazen "gözlem noktası" olarak adlandırılır) ve uzayda bir yüzey ("gözlemlenen yüzey") alırız, katı açı, alanın tepe noktası için dikkate alınan noktaya sahip olan koni tarafından sınırlandırılan bölümüdür. ve yüzeyin konturu üzerinde dinleniyor. Katı açıyı, yarıçaplı bir küre üzerinde koni tarafından kesilen kapağın alanını hesaplayarak ve koninin tepesini ortalayarak ölçüyoruz. Katı açı için ölçü birimi steradyan'dır (kısaca sr), tam alan 4π sr'dir.

Açıların kullanımı

  • In jeodezi ( coğrafya ):
    • azimut  : bu ekseni içeren bir düzlemde Kuzey-Güney eksenine göre açı ve saat yönünde sayılan Kuzeye göre sayılan hedef nokta;
    • enlem  : bir noktadan başlayan ve ekvator düzlemine göre Dünya'nın merkezine giden bir dikey tarafından yapılan açı ; aynı enleme sahip noktalar, "paralel" daire adı verilen bir daire oluşturur;
    • boylam  : Kendini Dünya'da konumlandırmayı mümkün kılan açı: Kuzey-Güney eksenini içeren düzlem tarafından oluşturulan ve "meridyen düzlemi" olarak adlandırılan ve Kuzey-Güney eksenini de içeren bir referans düzlemi olarak adlandırılan nokta tarafından oluşturulan açı; Dünya yüzeyi ile meridyen düzlemi kesişimi olan yarım daire adı meridyen . Referans meridyeni " Greenwich meridyeni " dir;
    • yükseklik çizgisi  : tahmini bir noktaya göre azimut ve açısal fark dahil olmak üzere hesaplanan bir noktanın konumu;
    • eğim  : bir arazinin yataya göre açısının tanjantı.
  • In astronomi  :
    • azimut (veya azimut): Dünyanın merkezinden bir noktaya nişan alırken, bu ekseni ve hedef noktayı içeren bir düzlemde, Güney'e göre sayılan, Kuzey-Güney eksenine göre açı;
    • görünür çap  : bir nesneyi veya bir yıldızı gördüğümüz açı;
    • zenith mesafesi  : dikey ve hedef nokta arasındaki açı;
    • yükseklik  : yatay ve hedef nokta arasındaki açı;
    • eğim  : bir gök cismi yörünge düzlemi ile referans düzlem arasındaki açı;
    • paralaks  : bir nesnenin herhangi bir noktasını ve konum değişikliğini sabitleyen bir kişinin bakışının oluşturduğu açı;
    • nadir  : gözlemcinin ufkuna dikey olarak dik açı;
    • zenith  : gözlemcinin ufkuna dikey olarak dik açı.
Ek olarak, açı kavramı, bir uzunluk birimi olan parsek tanımlamayı mümkün kılar .

Notlar ve referanslar

  1. Matematik , CEPL, arş .  "Modern bilginin ansiklopedileri",1975( çevrimiçi okuyun ) , s.  154.
  2. Nadine Jacob, Claude Courivaud, Matematik. Üçüncüsü , Brevet Sequence, Bréal, s. 200
  3. Dany-Jack Mercier, AGA Yükseltmesi: Cebir, Geometri ve Aritmetik Temaların Dengeli İncelemesi , cilt.  1,2011( çevrimiçi okuyun ) , s.  242.
  4. Matematik CRPE , cilt.  2, Dunod,2017( çevrimiçi okuyun ) , s.  51.
  5. Michèle Audin , Geometri ( L3 M1) , Les Ulis, EDP ​​Sciences ,2006, 3 e  ed. , 420  p. ( ISBN  978-2-86883-883-4 , ihbar BNF n o  FRBNF40151336 , çevrimiçi okuma ) , s.  79-80.
  6. Bu sunum, örneğin 1988'de Strasbourg IREM'in dördüncü sınıfında Fransızca öğretiminde bulduğumuzdur, Matematik - 4 -collectinn Istra, s. 236)
  7. Bu, Daniel Perrin tarafından A önerileri yönelimli , s.2'de önerilen yaklaşımdır .
  8. Bu sunum, örneğin 1994 yılında ikinci sınıfta Fransızca öğretiminde bulduğumuz sunumdur (Terracher Koleksiyonu, Math - Seconde - Hachette eğitimi, s. 189)
  9. Marcel Berger, Géométrie T.2 Öklid uzayları, üçgenler, daireler ve küreler, Cedic Fernand Nathan, 1977, s. 42
  10. GEPS of mathematics, eşlik eden belge 1er S, 08-01-2001, S. 7/30
  11. Düz açı veya sıfır açı olmadığı sürece .
  12. Audin 2006 , s.  73-74.
  13. Audin 2006 , s.  75.
  14. Audin 2006 , s.  76.
  15. Daniel Perrin, Yönlendirilmiş açılar hakkında , s.4.
  16. Marie-Claude Davis, Frédéric Haglund ve Daniel Perrin, Öklid afin geometrisi , Capes 2009-2010, Université Paris sud Orsay, s. 27-28.
  17. "iki çizgi açısı" levha üzerine algoritmalar sitenin Geometri ve teori Liège Üniversitesi
  18. Collective (yönetmen W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) (  College de France'da profesör olan Jacques-Louis Lions yönetiminde tercüme edilmiştir ), Small Encyclopedia of mathematics ["Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paris, Didier ,1997( 1 st  ed. 1980), 896  , s. ( ISBN  978-2-278-03526-7 ) , s.  585.
  19. Burada Dünya'nın küresel olduğunu varsayıyoruz, bu tamamen doğru değildir: genel şekli iki kutupta hafifçe düzleşmiştir ve yüzeyinde pürüzler (okyanus siperleri, dağlar) vardır.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

  • (tr) "  Açıları  " , üzerinde Matematik Açık Referans
  • (tr) David A. Wallis, "Açı Ölçümünün Tarihi" , Proceedings, FIG Workshop Week 2005 & 8th International Conference on the Global Spatial Data Infrastructure , Kahire ,Nisan 2005( çevrimiçi okuyun )

Kaynakça

  • Gilles Cohen (yön.), Les angles sous tous les angles , Bibliothèque Tangente, Number 53, Editions Pôle Paris, 2015, (Çevrimiçi sunum) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">