Daire

Gelen Öklid geometrisi , bir daire a, kapalı bir düzlem eğri olarak adlandırılan bir noktadan eşit mesafede yer alan noktaları oluşur merkezi . Bu mesafenin değerine dairenin yarıçapı denir .

Gelen Öklid düzleminde , bu dönem daire ile Fransızca ilişkilidir “yuvarlak” dir. Öklidyen olmayan bir düzlemde veya Öklidyen olmayan bir mesafenin tanımlanması durumunda, şekil daha karmaşık olabilir. Herhangi bir boyuttaki bir uzayda, bir merkezden sabit bir uzaklıkta bulunan noktalar kümesine küre denir .

Diğer şekiller "yuvarlak" olarak nitelendirilebilir: belirli düzlem bölümleri daire olan yüzeyler ve katılar ( silindirler , koniler , torus , halka vb.).

kullanır

Daire, birçok fenomeni modellemek için kullanılabilen soyut bir matematiksel nesnedir. Belirli sayıda üretilmiş nesnenin dairesel bir bölümü vardır: silindirler (silindirler, tekerlekler, silolar), küreler (balon, toplar, mermerler), koniler (silindirler, huniler). Bu nedenle dairelerin özellikleri, nesnenin kütlesini ( yoğunluğunu bilerek ) veya kapasitesini çıkarmayı mümkün kılan hacimleri gibi nesnelerin özelliklerini çıkarmayı mümkün kılar . Dairesel kesit nesneleri birkaç ana nedenden dolayı ilgi çekicidir:

Bazı nesneler bu öğelerin birden fazlasına yanıt verir. Örneğin, bir namlunun silindirik olması:

Bir nesnenin eğri bir yüzeyi varsa, yerel olarak bir daire ile yakınlaştırılabilir. Böylece, dairenin özelliklerini biliyorsak, nesnenin yerel özelliklerini de biliyoruz. Bu, salınımlı daire , eğrilik yarıçapı ve küresel harmonik kavramlarını veren şeydir .

Bir daire içinde nesneler veya insanlar varsa, onlara merkezden aynı çabayla ulaşabileceğinizi, aynı zamanda onları aynı şekilde görebileceğinizi, bu da gözetimi kolaylaştırabileceğini bilirsiniz. . Ayrıca tek bir parametre, yön kullanılarak da belirlenebilirler; örneğin iğneli kadranların ilgi alanı budur . Bu aynı zamanda silindirik ve küresel koordinat kavramlarını da verir .

Tanımı gereği, Öklid çemberini çizmek çok kolaydır: iki ucu sabit bir mesafeye sahip bir nesneye, örneğin gergin bir ipe veya bir dal (hatta bükülmüş) veya daha yaygın olarak bir pusulaya sahip olmak yeterlidir . Bu nedenle "mükemmel" bir daire çizmek kolaydır, bu da onu geometri için ayrıcalıklı bir çalışma aracı yapar.

Daha karmaşık problemler ve şekiller için elips kavramını kullanabiliriz .

Daire, "az ya da çok yuvarlak" nesneleri sembolik olarak temsil etmek için kullanılabilir:

Tamamen sembolik bir bakış açısından, şunları temsil eder:

Tanımlar

Uzun bir süredir, gündelik dil eğrisini isim kadar kelime "daire" kullandı ( çevresi ) o sınırlandıran yüzey olarak. Günümüzde matematikte daire, yalnızca eğri çizgiyi belirtir ve yüzey de disk olarak adlandırılır .

Oranı çevresi de çemberdeki çapı numarası tanımlayan pi .

Diğer terimler tanımlanmayı hak ediyor:

denklemler

Kartezyen ve parametrik denklemler

Bir ile donatılmış bir düzlemde koordinat sistemi ortonormal , Kartezyen denklem merkezi ile çemberin C ( a , b ) ve yarıçapı r bir:

, ya birim çember ya da trigonometrik çember için (merkezi referans çerçevesinin orijini olan ve yarıçapı 1 olan çember ):

Bu denklem, aslında bir uygulamadır Pisagor teoreminin için dik üçgen daire alanına ve eksenlerine iki ışın paralel olarak çıkıntı oluşturduğu.

Vurgulayarak y , biz (aslında yatay çapının sınırlanan her yarım daire için bir denklem) dairenin çift Kartezyen denklem elde:

.

Olası parametrik denklemler dairenin (parametre bağlı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ile verilir burada birim referans çerçevesinin yatay vektör ile ilgili olarak, bu nokta birine dairenin merkezini birleştiren vektörü yönlendirilmiş bir açı ifade):

yani, orijin merkezli (0; 0) bir daire için  :

ve birim çember için:

.

Bir yarım daire içinde yazılı açı ve bunun tersi teoremi sayesinde, [ AB ] çapındaki C dairesi için de bir denklem belirleyebiliriz  :

Bir çizgi ile kesişme noktaları

Analitik geometri bir dairenin kesişimini ve belirlemek için düz bir çizgi . Genelliği kaybetmeden , koordinat sisteminin orijini dairenin merkezi ve absis ekseni olan paralel çizgi. O zaman bu, şu biçimdeki bir sistemi çözme sorunudur:

,

çözeltileri için, bu nedenle bakmak x arasında

.

Dairenin merkezi ile çizgi arasındaki mesafenin yarıçaptan büyük, eşit veya daha küçük olmasına bağlı olarak üç durum ortaya çıkar :

Bir bölüm olarak görülen daire

Daire, odakları dairenin merkeziyle çakışan bir elipstir ; ana eksenin uzunluğu, yan eksenin uzunluğuna eşittir. Eksantrikliği e 0'a eşit olan bir konik kesittir . Düzlem koninin dönüş eksenine dik olduğunda bir düzlemin bir dönüş konisi ile kesişmesiyle elde edilebilir (bazen "sağ bölüm" den bahsederiz) koni).

Olarak endüstriyel tasarım , bir daire genellikle yatay eksen ve (merkez olarak: Uzun ve kısa çizgi oluşan ince çizgi) dikey ekseni ile temsil edilir, ya da sadece kendi merkezi ile ince çizgiler düz bir haç "+" ile gerçekleşmiştir. Bir dönüş şekli, katı veya içi boş ( silindir , koni , küre ) ve dönüş ekseni boyunca görülen bir daire ile temsil edilir.

geometrik özellikler

Ölçümler

Bir yay uzunluğu yarıçapı r bir tarafından çapın merkezi açıya a ifade, radyan eşittir aR . Böylece, 2π'lik bir açı için (bir tam dönüş), dairenin uzunluğu 2π r'dir .

Alan disk yarıçaplı bir daire ile sınırlanan r olan π r 2  ; l uzunluğunda bir kiriş alır ve bunu kapalı bir yüzeyi sınırlamak için kullanırsak, en büyük alana sahip yüzey bir daire ile sınırlandırılır.

Kartaca'nın kuruluş efsanesine göre , hükümdar Fenikelilerin, çevresi bir sığır derisiyle sınırlanacak bir şehir kurmasına izin vermişti  ; Dido ondan büyük bir şerit yaptı ve en geniş yüzeye sahip olmak için dairesel bir şekil seçti.

Bir yay halat ve ok

Bir α açısı tarafından karşılanan bir kirişin uzunluğu 2 r sin ( α / 2) 'ye eşittir .

Bu yarıçap ifade edebilir r bir daire, kiriş ve c ve ok f doğru oluşturduğu üçgenin Pisagor teoreminin uygulanması ile, iki tanesi uyarınca kendi yay herhangi birine göre R - f , C / 2 ve r olan hipotenüs:

.

Kıvrım aynı sürekli türevlenebilir düzlemde birleştirilmiş bir dairenin iki karşılıklı benzer yaylarının çemberin yarıçapı bağımsızdır.

Teğet

Çemberin bir noktasındaki teğet, o noktadaki yarıçapa diktir.

Bu özelliğin geometrik optikte uygulamaları vardır  : küresel bir aynanın merkezinden geçen bir ışık ışını aynı yönde zıt yönde tekrar çıkar ( aynaya dik bir yansımamız vardır ). Küresel bir aynanın ortasına bir ampul koyarsak, ışık diğer tarafa geri döner, bu da örneğin ışığı parabolik bir aynaya doğru "katlamaya" (karşı ayna prensibi) izin verir.

O merkezli bir daire ve bu dairenin dışında bir A noktası düşünün . A'dan geçen bu daireye bir teğet arıyoruz  ; teğet noktasına T denir .

AOT üçgeninin bir T- dikdörtgeni olduğu gerçeğini kullanıyoruz . Bu nedenle bu dik üçgen , merkezi [ AO ] ' nin orta noktası olan bir daireye yazılmıştır , hatta bu, hipotenüsün dik açıdan kaynaklanan medyanın iki katı uzunluğa sahip olmasına eşdeğerdir .

Bu nedenle, orta noktayı belirlemek ı arasında [ AO ] , o zaman merkezi olan bir dairenin bir yay çizmek I ve yarıçap IO . Bu dairesel yay, çemberi teğet noktalarında keser.

arabulucu

Dik açıortay bir dizi dairesinin merkezinden geçer. Bu, bir dairenin merkezini bulmayı mümkün kılar: paralel olmayan iki kiriş çizmek ve bunların dik açıortaylarının kesişimini bulmak yeterlidir.

Bir üçgenin üç dik açıortayının eşzamanlı olduğunu ve kesişme noktasının , üçgenle sınırlandırılmış bir daire olarak adlandırılan üç köşeden geçen dairenin merkezi olduğunu da gösterebiliriz .

Daire ve sağ üçgen

Bir çember üzerinde , ikisi - A ve C - taban tabana zıt olan üç A , B ve C noktası alalım (yani [ AC ] bir çaptır). O halde ABC üçgeni B dikdörtgenidir .

Bu, dik açıdan elde edilen medyanın hipotenüsün yarısı değerinde olmasından kaynaklanır (yarıçapımız ve çapımız var); bu, yarım daire açı teoremi veya Thales teoremi (Almanya'da ve bazı İngilizce konuşulan ülkelerde) adı verilen üçgenin bir özelliğidir.

Tersine, A ve C bir dairenin taban tabana zıt iki noktası olsun. Ya da B olarak düzlemde bir nokta ABC dikdörtgendir B . O zaman B daireye aittir.

Yazılı açı, merkez açı

Çemberin iki farklı A ve B noktasını alalım . O , dairenin merkezi ve C , dairenin başka bir noktasıdır. Böylece sahibiz

Merkez açısı için , C'yi içeren yayın karşısındaki yayı kesen açısal sektörü dikkate almalıyız .

Bu özellik dalga boyu dağılımı ile spektral analiz cihazlarında kullanılır , odaklama çemberi veya Rowland çemberi kavramıdır .

Bir daireye göre bir noktanın gücü

Eğer M bir noktadır ve Γ merkezi olan bir dairedir , O ve yarıçap R geçen herhangi bir hat için, daha sonra, M ve de daire toplantı A ve B , elimizdeki

.

Bu değer seçilen doğruya bağlı değildir, sadece M'nin daireye göre konumuna bağlıdır .

bunu fark edebiliriz

Noktasının güç M daire göre y sonra denir cebirsel önlemlerin ürün MA ve MB . Bu ürün seçilen hattan bağımsızdır ve her zaman geçerlidir .

M noktası çemberin dışındayken çembere teğet yapmak mümkündür. Çağırarak yine T , bu teğetler birinin temas noktasını göre Pisagor teoreminin üçgeni OMT , gücü M olan MT 2 .

eşitlik:

doğrusunun ( MT ) çembere teğet olduğunu söylemek yeterlidir .

Bir noktanın gücü gerçekten, eğer: dört puan cocyclic olduğunu doğrulamak mümkün kılar

o zaman dört nokta kosikliktir.

Kayıtlı çevreler raporu

Bu bölüm yayınlanmamış çalışmaları veya doğrulanmamış ifadeleri içerebilir  (30/08/2015) . Referans ekleyerek veya yayınlanmamış içeriği kaldırarak yardımcı olabilirsiniz.

Bir daire, bir eşkenar üçgen, bir kare içinde aynı yarıçapa sahip dairelerin yazıtı

Notlar ve referanslar

  1. CNRTL web sitesindeki sıfat turu tanımına bakın .
  2. Pierre de Ronsard , Cenevre'nin hangi vaizleri ve bakanlarının hakaret ve iftiralarına cevap bilmiyorum ,1563.
  3. "  Yunan gelişmeleri: Daire ve küre  " , Fransa Ulusal Kütüphanesi'nin sanal galerilerinde .
  4. Johannes Kepler , Kozmografik Gizem ,1596.
  5. Diderot ve d'Alembert'in ansiklopedisinde, örneğin, daire "çevre tarafından çevrelenen boşluktur" ( s: L'Encyclopédie / 1re baskı / CERCLE ) ve Robert baskısı 1993, sözlüğün üçüncü anlamını verir. daire kelimesi: "mevcut uzantıya göre: bir daire ile sınırlı düz yüzey" .
  6. Jean Dieudonné , Lineer cebir ve elementer geometri , Paris, Hermann ,1964, ör. 2p.96
  7. Plandaki sayfa istiflemesinde dairelerin bu yazıt şekillerini bulun .

Şuna da bakın:

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">