Yerçekimi alanı

Yer çekimsel potansiyel Resmin açıklaması Gravitation space source small.png. Anahtar veri
SI birimleri metrekare bölü saniye ( m 2 ⋅ s −2 )
Boyut The 2 · T -2
Doğa Yoğun skaler boyut
Olağan sembol
Diğer boyutlara bağlantı


=
Yerçekimi alanı Moon Earth Tidal Forces.png görüntüsünün açıklaması. Anahtar veri
SI birimleri metre başına ikinci kare ( ms -2 )
Boyut L · T -2
Doğa Boyut Vektörü yoğun
Olağan sembol
Diğer boyutlara bağlantı




Olarak klasik fizik , çekim alanı ya da yerçekimi alanı a, alan bir bazın varlığında, boşluk ve buna bağlı dağıtılmış kütle bir uygulayabilmektedirler yerçekimi etkisi civarı (hemen ya da değil) başka bir gövde şimdiki. Bu büyüklüğün tanıtılması , evrensel çekim kuvvetinin ifadesinde ortaya çıkan bir mesafeden eylem aracılığı probleminin üstesinden gelmeyi mümkün kılar .

Bir nokta cismi tarafından herhangi bir noktada oluşturulan yerçekimi alanının , elektrostatik potansiyele benzer şekilde, not edilen Newton skaler potansiyelden türediğini göstermek mümkündür . Aslında, elektrostatik alan ile yerçekimi alanı ve bunların ilgili skaler potansiyelleri arasında biçimsel bir analoji vardır .

Teorisi genel görelilik bir modifikasyonu olarak yerçekimi alanı yorumlar metrik bir uzay-zaman . Nihayetinde, Einstein'ın alan denklemleri , bu makalede ele alınacak tek olan klasik yerçekimi alanına indirgenmiştir. Newton yaklaşımı olan organlar için geçerlidir hızları boşlukta ışık kıyasla düşüktür , ve eğer çekim potansiyel oluşturdukları şekildedir .

Yerçekimi alanı ve bir nokta kütlenin potansiyeli

Tarihsel yönler: evrensel çekim yasası

Yerçekimi evrensel hukuk tarafından ışık getirildi, Newton 1687 yılında, ifade gücü kütlesinin bir noktaya vücut tarafından uygulanan kütlenin başka vücut üzerinde kökenli için seçilen bir noktaya yerleştirilen noktaya yerleştirilmiş öyle ki :

,

burada G, bir yerçekimi sabiti  :

.

Bu formülün klasik yorumu, başlangıçtaki cismin vücuda , iki cismin kütleleriyle orantılı (kesinlikle ciddi kütlelerine ) ve karesiyle ters orantılı, çekici bir mesafede P'de bir kuvvet uyguladığı şeklindedir. mesafeleri ve bu iki noktayı birleştiren çizgi yönünde yönlendirilir. Bu yasanın gösterilmesinin büyük bir etkisi oldu: özellikle, birkaç on yıl önce deneysel olarak oluşturulan Kepler'in yasalarını göstermeyi mümkün kıldı .

Kadar XX inci  yüzyıl , Newton yerçekimi deneyimi ve gözlem doğrultusunda daha teorik sonuçlar sağlamak için kaçınılmaz kalite oldu. Bununla birlikte, bizzat Newton tarafından bazı noktalarda yetersiz olarak kabul edildi: Yerçekimi kuvveti, bir boşluktan belirli bir mesafede etki eder ve anında hareket eder.

Nitekim, Richard Bentley'e yazdığı 1692 tarihli bir mektupta Newton şunu belirtir: "Yerçekiminin doğuştan, içsel ve madde için gerekli olması, böylece bir cisim başka bir şeyin aracılığı olmaksızın, bir boşluk yoluyla bir başka cisim üzerinde belirli bir mesafeden hareket edebilir. ve eylemlerinin ve gücünün birinden diğerine iletilebilmesi benim için bir saçmalıktır ki, felsefi konularda yetkin bir muhakeme yeteneğine sahip hiçbir insanın asla suçlu olamayacağına inanıyorum. "

Bu eleştiri bazıları tarafından ihmal edildi ya da diğerleri tarafından bir tür mekanik eter , renksiz, anlaşılmaz ve ölçülemez bir ortam kullanılarak atlandı ve çekim gücünü anında iletti: Newton'un kendisi tarafından Principia'nın III . Kitabının Genel Scholium'unda sunulan bir fikir . Ancak bu eter her zaman pasif bir hipotez olarak kalmıştır, hesaplamalara müdahale etmemiştir ve bu teorinin tutarlılığı konusunda güven verici hipotez statüsüne sahiptir.

Sonuç olarak, "uzaktan" eylemden bahsetmek ciddi kavramsal zorlukları ortaya çıkarır: kökenindeki beden, kendisine kuvvet uygulayabilmek için , m kütleli başka bir cismin P'de olduğunu nasıl "bilir"  ? Çekim kuvvetinin "yerel olmayan" karakteri hakkındaki bu soru, başka bir bakış açısı benimseyerek çözülebilir. Gücün ifadesi gerçekten şu şekilde yeniden yazılabilir:

,

diğer bir deyişle, O noktasındaki M kütlesinin , her noktada "test" kütlesi m'yi "hisseden" ve daha sonra kuvvete maruz kalan bir yerçekimi alanı yaratarak uzayın yerel özelliklerini değiştirdiği anlamına gelir .

Alan veya kuvvet alanı çekimi dolayısıyla bağlı bir gövde kütlesine alan bir özellik olarak ortaya çıkar. Bu alanla temas eden başka bir kütle , alan nedeniyle bir etkiye, bir kuvvete maruz kalır. Böylece, yerçekimi etkisi yarattı ve başka bir vücuttan anında taşınan Bu çerçevede, içinde, değil, ama zaten biçiminde tüm uzayda mevcut olduğu alanda ve onunla temas halinde bir vücut kendi görür modifiye dinamikleri .

Yerçekimi kuvveti ve aynı zamanda benimseneceği elektrostatik kuvvet durumunda, bu bakış açısı sadece matematiksel bir "numara" olarak görünür. Bu ilk yarısına, daha sonra ise XIX inci  kavramı bu yüzyılın alanında özellikle önderliğinde, gerçekten geliştirilen Michael Faraday gücünü açıklamak için manyetik alanın uyguladığı, değil durumda aksine, bunun yönüne göre yerçekimi kuvvetinin Bu fikir sonradan çok verimli oldu ve alan kendi başına fiziksel bir nesne haline geldi. Böylece bu kavram, fizikteki sonraki gelişmelerde, özellikle elektromanyetizma için , daha sonra Einstein tarafından kütle çekiminin modellenmesi için gerekli olduğunu kanıtladı .

Durum böyledir, eğer elektromanyetizma alanında alan kavramı daha sonra özellikle alakalı olduğu kanıtlanırsa, enerjiyi taşıyan elektromanyetik alan ve onu yayan vücuttan gelen hareket miktarı , elektromanyetik alan gibi . "Sıradan" fiziksel cisimler. klasik yerçekimi alanı aynı tatminleri vermedi. Özellikle, onu yaratan beden tarafından anında değiştirilme özelliğini miras aldı ve yine de eter , alanın varsayımsal desteği olarak kaldı. Bu zorluklar ancak genel görelilik teorisi ile tamamen çözülecektir .

Yerçekimi alanı ve potansiyel

Fiziksel boyut

Yerçekimi alanı uzaydaki her noktada bir vektörle kendini gösterir, bu noktada yerleştirilen bir kütlenin maruz kaldığı kuvvet:

Kuvvet M · L · T -2 boyutunda ve kütle boyutu M'dir , yerçekimi alanı L · T -2 boyutlarına sahiptir ve bu nedenle Uluslararası Birimler Sisteminde (SI) ms -2 olarak ifade edilir. ivme olarak söyle.

Yerçekimi alanını, tanımı gereği yerçekimi potansiyeli olan gibi bir potansiyelden türetmek mümkündür . Uygun boyut L -1 için operatör nabla , yerçekimi potansiyeli L 2 · T -2 boyutlarına sahiptir ve bu nedenle bir hızın karesine homojendir: IF birimlerinde m 2s −2 cinsinden ifade edilir .

Bazen yararlı olabilmektedir denklemler boyutlar yapmak kütle ve atalet toplu mezar arasındaki farkı . Burada, kuvvetin içerdiği kütle boyutunun hareketsiz bir kütlenin boyutu olduğu, bir yerçekimi alanında kendini gösteren ağırlığın ciddi bir kütleye tekabül ettiği not edilebilir  ; yerçekimi alanı boyutunun her titizlik böylece, (M i .M gr -1 ). L · T -2 ve yerçekimi potansiyeli boyuttadır (M i .M g −1 ). The 2 · T -2

Kütleçekim potansiyelinin , yerçekimi alanının türediği hesaplamalı bir aracı olduğu vurgulanmalıdır . Yerçekimi potansiyeli, tüm gradyan alanlarında olduğu gibi yalnızca bir ek sabit olarak tanımlanır. Bu sabit genellikle, potansiyel sonsuzda sıfır olacak şekilde seçilir; bu, bedenin etkisinin sonsuzda sıfır olduğu fiziksel fikrine karşılık gelir. Seçim, potansiyel çekim enerjisinin tanımı için aynıdır.

Nokta cisim durumu

M kütleli bir nokta cisim , yerçekimi alanını tamamen radyal olarak ve yalnızca kütleden r mesafesine bağlı olarak oluşturur . Bu alanın skaler bir potansiyelden türediği açıktır . Bu alan ve ilişkili potansiyeli genellikle Newtonian olarak adlandırılır . Kütleçekim alanının potansiyelin bir fonksiyonu olarak önceki ifadesi, Newton'un evrensel çekim yasasının "yerel" biçimi olarak görülmelidir.

Çekim potansiyel enerji ve bu çekim alanında varlığında bir nokta kütle m kuvvet geçirmiş formda sırasıyla ifade edilir:

, .

Bir nokta cismi için alanın ve yerçekimi potansiyelinin ifadeleri, fiziksel olmayan orijinde uzaklaşma dezavantajına sahiptir. Nokta yükler için elektrostatikte de bulunan bu zorluk, modellemeden kaynaklanmaktadır. Dakik cisim kavramı, dikkate alınan bedenin boyutlarına kıyasla yalnızca çok uzak mesafelerde geçerlidir: mikroskobik alanda hiçbir fiziksel beden dakik olarak kabul edilemez. Bu, özellikle asteroitler, gezegenler, yıldızlar gibi gök cisimleri için pratikte kayda değer olan yerçekimi alanı çalışmasında özellikle doğrudur ... Kısa mesafede, kütlelerin vücut içindeki şekli ve dağılımı hesaba katıldığı için , önceki ifadelerin tutarsızlıkları ortadan kalkar.

Yerçekimi alanının integral formu ve potansiyel denklemler

Noktasız cisimler söz konusu olduğunda, potansiyelleri ve yerçekimi alanını üst üste gelme ilkesinden ifade etmek mümkündür : noktasal olmayan cisim, her biri bir yerçekimi potansiyeli yaratan nokta olarak kabul edilen "parçalara" bölünmüştür ve bu nedenle, uzayda belirli bir noktada bir alan, potansiyel ve "tam" alan, vücudun çeşitli "bölümleri" tarafından yaratılan potansiyellerin ve alanların toplamına eşittir.

Matematiksel olarak iki yaklaşım benimsenmiştir:

  • ayrı bir açıklama :: kütle gövdesi M çok sayıda oluşur düşünülmektedir malzeme noktaları M i kitlelerin m i yer vektörlerinin tarafından tespitbelirli bir kökeni ile ilgili olarak, ve bu tür. Oluşturulan toplam potansiyel ve alandaha sonra şu şekilde verilir:
, .
  • sürekli bir açıklama : noktasal olmayan cisim daha sonrauzayınsürekli bir alanına (V) asimile edilir. İletanımlananherhangi bir M ' noktasının yakınında, noktaolarak düşünülebilecek küçük birkütlehacmini düşünmek mümkündür. Sınıra geçerek, (V) ' nin herhangi bir noktasında yoğunluk denenskaler bir alantanımlamak mümkün hale gelir, bu durumda vücudun toplam kütlesi verilir. Sonsuz küçükkütle hacminin her bir öğesi, o zaman "temel" potansiyeli oluşturuyor olarak düşünülebilir. Oluşturulan toplam potansiyel ve alandaha sonra şu şekilde verilir:
, .

Bu ifadeler, potansiyelin ve yerçekimi alanının ayrılmaz biçimleridir. Teoride, kütlenin keyfi bir dağılımı için ikincisini hesaplamaya izin verirler, ancak pratik değildirler ve yerçekimi alanı için yerel denklemleri belirlemek yararlıdır.

Yerçekimi alanı ile yerçekimi alanı arasındaki ayrım

Dünya'nın veya başka bir gezegenin yakınında, yerçekimi alanı (veya oldukça basitçe yerçekimi) kavramını tanıtmak mümkündür . Bu alan yıldızın yarattığı kütleçekim alanıyla birleşmez, yıldızın oluşturduğu kütleçekim alanı, yıldızın baskın kısmını oluştursa bile. Ağırlık kütlesi bir gövdesinin m Dünya ya da yıldız olarak göreli olarak küçük olduğu düşünülen, aşağıdaki denklem ile verilmektedir . Yerçekimi alanı, yerçekimi alanıyla, yani bir ivmeyle aynı birimlere sahiptir. Dünya yüzeyinde değeri 9,81 m s −2 mertebesindedir  .

Yerçekimi alanı aslında ağırlıktan tanımlanır, bu , karasal referans çerçevesinde m kütleli bir cismi dengede tutmayı mümkün kılan kuvvetin tersi olarak tanımlanabilir . Bu nedenle, bir yaydan asılı bir cisim, karasal referans çerçevesinde hareketsizse, ağırlık, yay geriliminin tersine eşittir.

Ağırlık ve yerçekimi alanı arasındaki fark, gelen olmayan Galilean karakter çekim alanı uygulandığı referans çerçevesinin: böylece yerçekimi ek olarak, bir yandan göz önüne kıyasla bu bir hızlandırılmış doğasını almak gereklidir için Kepler'in çerçevesi , Celileli'nin onu kabul edilir ve bu yüzden de araç eylemsizlik kuvveti . Yapılan herhangi bir hesaplama , Dünya'nın yakınındaki bir M noktasındaki , dönme ekseni üzerindeki izdüşümü H not edilen yerçekimi alanı şu şekilde verilir:

,

üç terimin göründüğü ifade:

  • Yerçekimi alanı noktasında toprak (ya da yıldız) tarafından oluşturulan M ağırlık% 99'dan fazla temsil eder.
  • Adı verilen bir dönem axifuge olup, , burada ilgili olarak, bağlı Dünyanın dönüşüne eğitim ivme tekabül Dünya, dönme açısal frekansıdır -merkezli kare arasında referans . Bu terim, yerçekimi alanıyla olan farkın çoğunu temsil eder. Bu katkı kutuplarda sıfır ve% -0.3'e ulaştığı ekvatorda maksimumdur.
  • Diferansiyel bir terim, yani diğer yıldızların neden olduğu yerçekimi alanlarını sırasıyla M ve merkezde, Dünya'nın T olarak belirtilen yer ve temsil eder . Bu terimin gelgit olduğu söylenir ve Kepler'in referans çerçevesine göre yer merkezli referans çerçevesinin eğitiminin hızlanmasıyla bağlantılıdır. 10'dan fazla olduğu için bu terim, çoğu uygulamada genellikle önemsiz 7 yerçekimi alanı kat daha zayıftır. Dünya için, bu terime yalnızca Güneş ve Ay önemli ölçüde katkıda bulunur.

Yerçekimi alanının Dünya yüzeyindeki bir noktadaki yönü, tanım gereği yerin dikeyidir . Çünkü axifugal terimin bağlı olarak enlem yerin, bu yönü bile varsayarak tam Dünya'nın merkezinin bununla birleştirilmiyorsa kütlesinin mükemmel küresel dağılımı gibi ikincisi olduğunu. Yerel olarak, yerçekimi alanı tek tip kabul edilebilir. Yerçekimi alanının ölçümü ( gravimetri ) jeofizikte oldukça önemlidir .

Yerçekimi alanının yerel denklemleri

Vurgulama

Olarak da, bir gradyan alanı olan dönme sıfırdır : yerçekimi alanının ilk yerel denklemine olan karşılık gelir.

Üstelik, herhangi bir kütle dağılımı suretiyle yaratılan yerçekimi potansiyel önceki yekpare biçimde terimi integrali görünür çarpımsal faktör haricinde aynıdır için, yeşil işlev çözümüne karşılık gelen Laplace denklemi. , Üç boyutlu , nerede olduğunu Dirac delta "işlev" . Sonuç olarak, herhangi bir kütle dağılımının yarattığı yerçekimi potansiyeli şu şekilde olabilir:

,

Poisson denkleminin çözümünün üç boyutlu Green fonksiyonu cinsinden genel ifadeye karşılık gelen :

,

sonuç olarak, yerçekimi alanının ikinci yerel denkleminin geldiği gerçeğini hesaba katarak :

.

Bu denklem, alanın bir alanını (D ) sınırlayan keyfi bir kapalı yüzey (S) dikkate alınarak integral formda konulabilir : üyeyi üyeye entegre ederek ve soldaki Green teoremi -Ostrogradski'yi dönüştürmek için arka arkaya gelir:

, ,

etki alanında (D) bulunan toplam kütle nerede . Bu sonuç , yerçekimi alanı için Gauss'un teoremini oluşturur . Elektrostatikteki analogu gibi, belirli simetri dağılımları tarafından üretilen yerçekimi alanını kolayca hesaplamayı mümkün kılar: Uygulamadaki en önemli durum, cismin küresel simetriye sahip bir kütle dağılımına sahip olmasıdır .

Küresel simetrik dağılım durumu

Toplam kütlesi bir vücut M bir sahiptir küresel simetriye dağıtım yoğunluğuna değeri :, sadece merkezine olan uzaklığa bağlıdır halinde olan , 'M vücuda dahili bir noktadır. Başka bir deyişle, gövdenin her biri sabit yoğunlukta olan eşmerkezli küresel katmanlardan oluştuğu kabul edilir. Sonuç olarak, küresel gövde olduğu söylenir homojen ise . Böyle bir cismin şeklinin gerçekten küresel olduğu açıktır: bunun tersi doğru olmasa da, küresel şekle sahip bir cismin küresel bir kütle dağılımına sahip olmaması pekala mümkün değildir.

Bu durumda, O'dan geçen herhangi bir eksen , dağılımın simetri eksenidir ve bu nedenle ortaya çıkan yerçekimi alanı: zorunlu olarak radyal olduğunu ve değeri yalnızca r : 'ye bağlı olabilir . Sonuç olarak, O merkezli , r> R yarıçaplı küresel bir yüzeyi (S) düşünmek mümkündür , bu, yerçekimi alanı için Gauss teoremini uygulayarak gelir:

, temel katı açıyı ve birim küre üzerindeki entegrasyonu ifade eden, şöyle gelir: veya nihayetinde yerçekimi alanı için:, kütle dağılımının dışında bulunan herhangi bir nokta için ( r> R ).

Sonuç olarak, herhangi bir küresel simetrik kütle dağıtım gövdesi tarafından dışarıda oluşturulan yerçekimi alanı ve dolayısıyla ortaya çıkan yerçekimi kuvveti, vücudun toplam kütlesine eşit olan ve merkezinde bulunan bir nokta kütleye eşdeğerdir. Bu sonuç bazen Newton'un ikinci teoremi olarak bilinir .

Bu sonuç pratikte çok önemlidir: Çoğu gök cismi (gezegenler, yıldızlar vb.) En azından yaklaşık olarak küresel olarak simetriktir ve bu nedenle yerçekimi potansiyelleri nokta gibi hesaplanabilir. Dahası, gök cisimleri arasındaki mesafeler de kendi boyutlarına göre çok büyük olduğundan, küresel simetriden sapmalar, potansiyele çok uzaktaki bir gelişme kullanılarak belirlenebilir: cf. daha düşük, çok kutuplu gelişme.

Dahası, Gauss teoremini kullanarak , küresel dağılıma sahip bir madde "kabuğu" içinde oluşturulan yerçekimi alanının sıfır olduğunu göstermek kolaydır . Bu sonuç bazen Newton'un ilk teoremi olarak bilinir . Fiziksel olarak oldukça açıktır: küresel simetri nedeniyle, kabuktaki herhangi bir nokta için , zıt yönlerden alınan iki katı açılı eleman , aynı yoğunlukta, ancak zıt yönlerden iç yerçekimi alanına katkılar üretir, yani toplam sıfır katkı. Bu muhakemeyi küresel kabuğun tamamına genişleterek, toplam iç alanın sıfır olduğu açıktır .

Elektrostatik ile analoji

Yerçekimi alanının yerel denklemleri  :

,

elektrostatik alanla aynı formdadır (manyetik alanın sabit olduğu durumda):

,

yoğunluk yükün hacim dağılımı ile ikame edilen ve .

Böylece, elektrostatikte oluşturulan sonuçların çoğu, ilk etapta Gauss teoremi, yerçekimi alanı çalışmasında bulunabilir.

Potansiyel ve uzun menzilli alan: çok kutuplu gelişme

Yerçekimi potansiyeli ve alanın önceki integral formları, hesaplamaların karmaşıklığından dolayı genellikle doğrudan kolayca kullanılamaz. Bununla birlikte, dağılımın dışında yaratılan yerçekimi potansiyelini boyutsuz parametrenin artan düzen terimlerinin bir toplamı olarak ifade etmek mümkündür . Bu toplam, çekim alanının çok kutuplu gelişimi olarak adlandırılır .

Yerçekimi potansiyeli için çok kutuplu gelişimin genel ifadesi

Yerçekimi potansiyelinin integral ifadesinde:

,

terimi şu şekilde yeniden yazmak mümkündür :

, nerede ve arasındaki açı ve .

Nokta halinde p potansiyel dağılımının dışında bulunur ifade edilir, payda olarak ve kare kök başkası değildir oluşturma işlevini arasında Legendre polinomları Elimizdeki bir sonucu olarak,:

,

ve sonuç olarak yerçekimi potansiyeli, çok kutuplu adı verilen aşağıdaki gelişme biçiminde yazılır :

,

k cinsinden 0 derecesinin terimini izole ederek :

,

hesaba katıldığı yerde , dağılımın toplam kütlesi ve ortaya çıktı:

İlk terim, başlangıçta bir nokta cismi tarafından yaratılan potansiyelden başka bir şey değildir veya hatta burada merkezlenmiş küresel simetriye sahip bir kütle dağılımının yarattığı potansiyelden başka bir şey değildir: buna kutupsal terim denir . Elektrostatik durumundan farklı olarak, bu terimin bir kütle dağılımı için asla sıfır olmadığını , bu nedenle her durumda baskın bir rol oynadığını vurgulamak önemlidir .

Ek olarak, dağılımın küresel simetri ile olduğu durumda , diğer tüm terimler sıfırdır: aslında bu durumda, her bir terimdeki integrali radyal kısım ( r ' cinsinden ) ve açısal olarak ayrıştırmak mümkündür ve gelir gerçeği ışığında :

,

veya değişken değişikliğinin yapıldığı yer . Nedeniyle Legendre polinomları, ortogonal özelliğine için sonuç ile herhangi dağıtım için küresel simetri, gelişme sadece kutup terime indirgenir .

Düzenin aşağıdaki terimler izler içinde r dağılımının "küreselliği sapma" temsil eder. İçin k = 1 bu dipolar dönem için, k = 2 dört kutuplu süreli ve genel düzen süresi k olduğu söylenir 2 k -beyaz .

Dipolar terimin iptali

Elektrostatik tarafından karşılaşılan durumdan farklı olarak, dipol terimi her zaman uygun bir orijin O seçimi ile geçersiz kılınabilir . Aslında , bunun şu forma konulduğu gerçeğini dikkate alarak :

.

Geldiği gibi:

,

ancak parantez içindeki integral , dağılımın kütle merkezi C tanımına karşılık gelir :

,

bu nedenle, bu C kütle merkezine sahip olmak için orijin olarak seçmek yeterlidir .

Sonuç olarak, dağılımın kütle merkezinin kökeni ile yerçekimi potansiyelinin çok kutuplu gelişimi şu şekli alır:

Elektrik yüklerinin dağılımı için basit bir başlangıç ​​seçimi ile dipolar teriminin iptal edilmesinin mümkün olmadığının altını çizmek ilginçtir . Aslında bu durumda ρ negatif veya pozitif olabilir ve o zaman iki "yük merkezi" nin ayırt edilmesi tavsiye edilir: pozitif yükler için olan ve genel olarak çakışmayan negatif yükler için. Bu nedenle, genel olarak, elektrik dipol terimini iptal eden belirli bir orijinin seçilmesi imkansızdır: bu nedenle, bu, yerçekimi alanı durumundan farklı olarak önemli bir öneme sahiptir.

Öte yandan, maddenin genel elektriksel nötrlüğü nedeniyle, kutupsal terim sıklıkla iptal edilir ve bu nedenle, kütleçekim alanı durumunda olduğu gibi aynı öneme sahip değildir.

Yerçekimi potansiyelinin uzun menzilli gelişimi - Dört kutuplu moment

Yeterli kütleye sahip çoğu gök cismi için kütle dağılımı pratik olarak küresel olarak simetriktir. Bundan başka, çeşitli terimler 2 k -beyaz azalma ile hızla k ve uzun mesafe ( r 'r' ) yalnızca ilk sıfır olmayan terimi tutmak mümkündür dört kutuplu bir terimdir:

.

Sonuç olarak, terim , dağılımın yarattığı yerçekimi potansiyelinin küreselliğinden büyük bir mesafede sapmayı temsil eder. Bu terim , dağılımın dört kutuplu momenti olan ikinci dereceden simetrik bir tensörü içeren bir biçimde ifade edilebilir . Dikkate alınarak ve bu dört kutuplu dönem yazılabilir:

Dört kutuplu anı göstermek için o Kartezyen bileşenler için tensör gösterimi benimsemeye tavsiye edilir ve ayarlayarak ve . Dahası, yazıyı basitleştirmek için, toplamın tekrarlanan indekslerde de ima edildiği Einstein'ın konvansiyonunu kullanmak mümkündür . İntegranddaki köşeli parantez içindeki ifade şöyle yazılır:

,

burada bileşenleridir tensör ürün arasında tek başına ve kişilerce Kronecker'in tensörü ile tanımlanır:

.

Sonunda geliyor:

,

burada bileşenlerin ikinci dereceden simetrik tensör olan adlandırılan dört kutuplu moment kütle dağılımının.

MacCullagh Formülü

Dört kutuplu moment değeri gövdesi içinde maddenin dağılımı ile bağlantılıdır: dolayısıyla arasında bir ilişki vardır ve atalet tensör aynı zamanda vücut içinde kitlelerin geometrisini gösterir gövdenin.

Eylemsizlik tensörünün bileşenler için vardır , bu nedenle iki ifadenin karşılaştırılmasıyla elde edilir:

, eylemsizlik tensörünün izini, bu köşegen terimlerin toplamı veya yine içsel formda , birim matris ile çarpılan eylemsizlik tensörünün izini gösterir.

Sonuç olarak, dört kutuplu terim şöyle yazılır:

,

Şimdi , tarafından verilen yöne göre kütle dağılımının eylemsizlik momentini tanıtmak mümkündür , ardından sözde MacCullagh formülü gelir :

Bu, aynı zamanda , cismin temel eylemsizlik momentlerinin , köşegen olduğu yerde (dolayısıyla dört kutuplu momentin de olduğu yerde) bileşenleri olduğu belirtilerek yazılabilir . Bu durumda ve önceki formül şöyle olur:

.

Kütle dağılımının küresel olarak simetrik olduğu bir cisim durumunda, cismin geometrik merkezinden geçen herhangi bir eksenin eylemsizliğin ana ekseni olduğu ve tüm ana eylemsizlik momentlerinin eşit olduğu vurgulanmalıdır. beklendiği gibi, köşeli parantez içindeki terim.

Son olarak, M kütleli bir cismin uzun mesafeli yerçekimi potansiyeli , başlangıç ​​noktası olarak kütle merkezi alınarak yazılır:

Genel görelilikte yerçekimi alanı

Teorisinde genel görelilik, çekim alanı bir değişiklik olarak yorumlanır metrik ait uzay-zaman madde etkisi altında ve enerji. Einstein'ın denklemini çözerek elde edilir :

Burada T olduğu enerji-momentum tensörü , G, Einstein tensörü ve c ışık hızı vakumla. Enerji-momentum tensörü, maddenin ve enerjinin uzay-zamanda dağılımını açıklarken, Einstein'ın tensörü bu uzayın eğriliği ile ilgilidir. Aslında bu , Ricci'nin tensörü ve metrik tensör ile ilişkilidir:

,

R olmak skaler eğrilik aslında metrik göre Ricci tensörünün izidir uzay-zaman, bir. Kendisi metriğe bağlı olan Ricci tensörü, "düz" Öklid uzayına göre uzay-zamanın eğriliği ile ilgilidir. Basit yönüne rağmen, Einstein'ın denklemini çözmek genel durumda, esas olarak doğrusal olmayan doğası nedeniyle zordur. Bu nedenle ve klasik Newton kütleçekim alanı durumundan farklı olarak, toplam alanı elde etmek için farklı parçaların katkılarını eklemek mümkün değildir. Zayıf alanların sınırında, yerçekimi alanının denklemleri, klasik Newton alanı denklemlerine indirgenir.

Uygulamada, özellikle yoğun bir alan oluşturan kara delikler veya pulsarlar gibi cisimler dışında, kütleçekim alanı üzerindeki göreceli etkilerin dikkate alınmasından kaynaklanan sapmalar zayıftır . Ancak, hatta güneş sisteminin relativistik etkileri ölçülebilir: Genel görelilik nedenle sadece teori tamamen peşin açıklayabilir arasında Merkür'ün günberi teorisinin geçerlilik tarihi bir testtir. Ek olarak, GPS sistemi , istenen hassasiyette çalışabilmek için göreceli etkileri, özellikle bir yerçekimi alanındaki saatlerin yavaşlamasını hesaba katmalıdır.

Notlar ve referanslar

  1. (in) "  Arama Sonuçları  " üzerine physics.nist.gov (erişilebilir 2018 4 Ocak )
  2. Sözlük ve Bilim Felsefesi Sözlüğünden Alıntı . M me Françoise Balibar'ın yazdığı makale alanı .
  3. Newton, “  tüm katı cisimlere nüfuz eden bu çok ince ruhaniyet türünden [...]; Bu ruhun kuvveti ve eylemi sayesinde vücut parçacıkları birbirini çeker ”. Einstein 1905 kitabından alıntı. Françoise Balibar, PUF editörü, 1992.
  4. Dixit Françoise Balibar, Einstein 1905 adlı kitabında . Ether'den quanta'ya , PUF editörü, 1992.
  5. Bu konuya bakın A. Einstein ve L. Infled, The evolution of ideas in Physics , trad. Orijinal 1938 baskısından Murice Solovine, Flammarion, col. "Alanlar", 1993, ( ISBN  978-2080811196 ) .
  6. Bu ilke aslında yerçekimi alanının yerel denklemlerinin doğrusallığının bir sonucudur. Elektrostatikte de durum aynıdır.
  7. Bkz. Perez, op. cit. , Bölüm 7.
  8. Karasal referans çerçevesinde hareketsiz bir cisim dikkate alınarak verilen ağırlık tanımı , Coriolis kuvveti sıfırdır.
  9. Özellikle Perez, op. cit. .
  10. örneğin bakınız Pomerol vd., Jeoloji Elemanları , 12 inci  baskı, Bölüm 5.
  11. Örneğin Güneş, Dünya-Güneş mesafesinden yaklaşık 150 kat daha küçük çaptadır.
  12. Bu gelişme, potansiyel ve elektrostatik alan için de mevcuttur, ancak farklılıklar ortaya çıkar çünkü yerçekimi alanı için yoğunluk her zaman pozitiftir.
  13. Gerçekten, bir cismin kütlesi büyürse , yerçekimi onu hidrostatik dengede tutar ve pratik olarak küresel bir şekil alır, kendi dönüşü vücudun düzleşmesini sağlama eğilimi gösterir, daha önemli ise, daha hızlıdır, bkz. Gezegen makalesi .
  14. Dağılımın kütle merkezinde alınan koordinatların orijini.
  15. Kartezyen koordinatlarda, taban ortonormaldir, vektörlerin ve tensörlerin kovaryant ve kontravaryant bileşenleri arasında ayrım yapmaya gerek yoktur. Bununla birlikte, bir kez kurulduktan sonra, tensör içeren ifadeler tüm koordinat sistemlerinde geçerlidir.
  16. Bu tensör, tüm koordinat sistemlerinde aynı bileşenlere, kovaryantlara ve kontravranlara sahip olma özelliğine sahiptir.
  17. Krş Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t.  2: Alan teorisi [ baskıların detayı ]ve Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. ve John L. Safko, Classical Mechanics [ edisyonların ayrıntıları ].
  18. Kesin olarak söylemek gerekirse, bu tensör yalnızca katı olarak kabul edilen bir cisim için tanımlanmıştır , ancak bu, çoğu gök cismi için ilk yaklaşımdır.
  19. , tensörün daralmasına karşılık gelir , bu nedenle, taban değişikliği ile değişmeyen bir skalerdir.
  20. Krş Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t.  2: Alan teorisi [ baskıların detayı ], §99, bu ilişkiyle ilgili.
  21. Krş. Goldstein, op. cit. Bölüm 5.
  22. Aynı zamanda simetri ile kütle merkezidir.
  23. Yerçekimi , JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ( ISBN  0-7167-0344-0 )
  24. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t.  2: Alan teorisi [ baskıların detayı ], § 95.
  25. Görelilik Teorisi , W. Pauli, Dover yayınları Inc., 1981, ( ISBN  0-486-64152-X ) , özellikle bölüm IV.
  26. Görelilik teorisine giriş , PG Bergmann, Dover yayınları Inc., 1976, ( ISBN  0-486-63282-2 ) .
  27. kozmolojik sabit burada genel olarak kabul edilmektedir sıfır değerinin olduğu varsayılır.
  28. "  GPS ve Görelilik  " , Astronomy.ohio-state.edu

Kaynakça

  • Perez Mekaniği - Temelleri ve Uygulamaları , 4 th  edition, Masson Bilimler, (bir ilköğretim giriş için) Paris 2001.
  • Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t.  2: Alan teorisi [ baskıların detayı ] özellikle §99.
  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. ve John L. Safko, Classical Mechanics [ baskıların detayı ], özellikle Bölüm 5.
  • Dominique Lecourt ve Thomas Bourgeois , Dictionary of History and Philosophy of Science , Presses Universitaires de France - PUF , coll.  "Quadrige Dicos Poche",2006, 4 th  Ed. ( Mayıs ISBN  978-2-13-054499-9 )Diğerlerinin yanı sıra, M me Françoise Balibar'ın  yazdığı " Alan " makalesini buluyoruz  .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">