eşdoğrusallık

Olarak lineer cebir , iki vektör U ve V a vektör uzayı E olan kolineer bir varsa skalar k , öyle ki U = kv veya v = ku . Bir vektör çizgisinin herhangi iki vektörü eşdoğrusaldır. Bir vektör çifti ile ilgili olduğunda, doğrusallık , doğrusal bağımsızlığın tersidir : ( u , v ) çifti serbest değilse, iki u ve v vektörü eşdoğrusaldır .

Etimolojik olarak eşdoğrusal , aynı doğru üzerinde demektir : klasik geometride, aynı doğru üzerinde yer alan iki temsilci bulabilirsek, iki vektör eşdoğrusaldır.

Eş-doğrusallık orta öğretimde geometride önemli bir araçtır: nokta bir çift düz veya boşluk tanımlayan geometrik vektör ; if ve (resp ve ) çakışık olmayan noktalarsa, vektörler ve vektörleri , ancak ve ancak ve ancak doğrular ve paralelse eşdoğrusaldır . Bu denklik, afin geometride eşdoğrusallığın önemini açıklar . $(A, B)$ $\ aşırı ok {AB}$ $AT$ $B$ $AT'$ $ben$ $\ aşırı ok {AB}$ $\ overrightarrow {A'B '}$ $(AB)$ $(A'B')$

Örnekler

Herhangi bir boyutta, eğer U olduğunu sıfır vektör , daha sonra u ve v tüm kolineerdir v içinde E , çünkü u = 0 v .

Eğer U bir sıfır olmayan bir vektördür E , vektörler grubu eş doğrusal olan u hattı K u .

Bir vektör uzayı içinde alanı F 2 , ve eşit sadece eğer iki sıfır olmayan vektörler kolineerdir.

afin geometri

Gelen afin geometri ve aynı üzerinde bulunan bu vektörlerin iki temsilci olmaması durumunda ise, iki vektör kolineerdir hattı , yani A, B, C, üç nokta vardır hizalanmış şekilde

\ overrightarrow {AB} = \ vec u

\ overrightarrow {AC} = \ vec v

Eşdoğrusallık, afin geometride önemli bir kavramdır çünkü karakterize etmeye izin verir.

Hizalama : noktalar A, B ve C, ancak ve ancak vektörler hizalanır ve doğrudaş. $\ aşırı ok {AB}$ $\ aşırı ok {AC}$
Paralellik iki çizgi: hatları (AB) ve (CD) paralel ya da, ancak ve ancak vektörler durumunda tesadüf ve doğrudaş $\ aşırı ok {AB}$ $\ aşırı ok {CD}$

denklik bağıntısı

Sıfır olmayan vektörler kümesinde eşdoğrusallık ilişkisi şu şekildedir:

dönüşlü : bir vektör kendi kendisiyle doğrusaldır
simetrik: Eğer bir vektör bir vektör ile aynı doğrultuda ise, o zaman vektör ile doğrusaldır. ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec v}$ ${\ vec {u}}$
geçişli : Bir vektör ile eşdoğrusal ise ve eğer eşdoğrusal ise o zaman ile eşdoğrusaldır ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec v}$ ${\ vec w}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec w}$

Bu, (sıfır olmayan vektörler kümesinde) eşdoğrusallık ilişkisinin , denklik sınıfları vektör uzayı ile ilişkili projektif uzayı oluşturan bir denklik ilişkisi olduğunu söylememize izin verir.

Koordinatlarda hesaplama

R 2 düzleminde koordinatları u = ( u 1 , u 2 ) ve v = ( v 1 , v 2 ) olan iki vektör u ve v olsun . Her ikisi de sıfır değilse, u ve v iki vektörünün eşdoğrusallığı, ( u 1 , u 2 ) ve ( v 1 , v 2 ) çiftleri arasında bir orantı ilişkisi ile sonuçlanır . Çapraz çarpım kuralı şu anlama gelir: u ve v , ancak ve ancak u 1 v 2 = u 2 v 1 ise eşdoğrusaldır .

Bu denklik daha yüksek boyuta genellenebilir. u ve v , koordinatları sabit bir tabanda olan iki vektör olsun.

u = (u_1, \ noktalar, u_n)

{\ displaystyle v = (v_ {1}, \ nokta, v_ {n}).}

O halde u ve v , ancak ve ancak herhangi bir i indeksi ve herhangi bir j > i indeksi için u i v j = u j v i ise eşdoğrusaldır .

Üçüncü boyutta, iki vektör ancak ve ancak çapraz çarpımları sıfır ise eşdoğrusaldır .

filogenide