Doğrusal kombinasyon

Gelen matematik , bir lineer kombinasyonu , bir sabit ile her dönem çarpılması sonucu ekleyerek terimler kümesi yapılmış bir ifadedir. Örneğin, x ve y'nin doğrusal bir kombinasyonu, a ve b'nin sabit olduğu durumlarda ax + by formunun bir ifadesi olabilir .

Doğrusal kombinasyon kavramı, doğrusal cebirin ve matematiğin ilgili alanlarının merkezidir . Bu makalenin çoğu, değişmeli bir alan üzerindeki vektör uzayı bağlamında doğrusal kombinasyonları ele almakta ve makalenin sonunda bazı genellemelere işaret etmektedir.

Tanımlar

Let K bir değişmeli saha ve E bir vektör uzayı üzerinde K . Unsurları E adı verilen vektörler ve elemanlarını K skalerler . Eğer v 1 ,…, v n vektörlerse ve a 1 ,…, a n skaler ise, katsayı olarak bu skalerlere sahip bu vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1 v 1 +… + a n v n vektörüdür .

Bir doğrusal kombinasyonunun konuşmak için ailesi ( v i ) i ∈ I ait vektörlerin E bir tarafından dizine muhtemelen sonsuz seti ben , varsaymak için gerekli olduğunu ailesi ( bir i ) i ∈ I skalerler ait sahiptir sonlu destek olduğunu, endeksleri tek sonlu grubu ise, orada ı olan bir i sıfır değildir. V i a i katsayılarının doğrusal kombinasyonu bu durumda ∑ i ∈ I a i v i toplamıdır (özellikle, herhangi bir vektöre dayanmayan doğrusal bir kombinasyon , sıfır vektörüne eşit olan boş toplamdır ).

" Doğrusal bağımlılık ilişkisi ", sıfır vektörüne eşit doğrusal bir kombinasyondur. Bir vektör ailesi , en az bir " önemsiz " doğrusal bağımlılık ilişkisine sahipse , yani katsayılarla, yani tamamen sıfır değilse , bağlanır .

Bir parçası olmayan boş F arasında E a, vektör alt uzay ancak ve ancak F vektörlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun söylemek için olan "kombinasyonları doğrusal dengeli", olan K yine bir vektör olan F .

Örnekler

Let K olmak alanı ℝ reel sayılar ve E Öklid vektör uzayı ℝ 3 . E 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) ve e 3 = (0, 0, 1)
vektörlerini düşünün . O halde, ℝ 3'ün herhangi bir vektörü ( a 1 , a 2 , a 3 ) e 1 , e 2 ve e 3'ün doğrusal bir kombinasyonudur . Aslında, ( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + bir 3 e 3 .
Let K olmak alanı ℂ karmaşık sayılar ve E ℂ için ℝ gelen fonksiyonların uzayı. Euler formüller fonksiyonu ifade $f : X \mapsto e i x$ ve $g : X \mapsto e -i X$ olarak işlev doğrusal kombinasyonları kosinüs ve sinüs : $f = cos + i, sin g = cos - i sin$ ve ters: $cos (= 1/2) f + (1/2) g , sin = (-i / 2) f + (i / 2) g$ . Öte yandan, sıfır olmayan sabit fonksiyonlar $f$ ve $g'nin$ doğrusal kombinasyonları değildir , başka bir deyişle: $1$ , $f$ ve $g$ fonksiyonları doğrusal olarak bağımsızdır.

Oluşturulan vektör alt uzayı

Yine değişmeli alan düşünün K , bir K -vector uzay E ve v 1 , ..., v n vektörler E . Bu vektörlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesi, bu vektörler tarafından " üretilen vektör alt uzay " (veya sadece "oluşturulmuş alt uzay") olarak adlandırılır ve $Vect$ ( v 1 ,…, v n ) ile gösterilir:

{\ mathrm {Vect}} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ {a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} \ mid a_ {1} , \ ldots, a_ {n} \ in K \}.

Genellemeler

Eğer D a, topolojik vektör uzayı , o zaman bir doğrusal kombinasyonu anlam vermek mümkündür Sonsuz topolojisini kullanan, E . Örneğin, sonsuz toplamdan bahsedebiliriz a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 +….

Bu tür sonsuz doğrusal kombinasyonlar her zaman mantıklı değildir; sahip olduklarında onları yakınsak olarak nitelendiriyoruz . Bu durumda daha doğrusal kombinasyonları dikkate alabilmek, üretilen vektör alt uzay, doğrusal bağımsızlık ve tabanlara ilişkin daha geniş kavramlara da yol açabilir.

Eğer K bir olduğunu değişmeli halka yerine tarla olma, olmuştur o zaman herşey herhangi bir değişiklik olmadan lineer kombinasyonlar genelleştirir hakkında yukarıda söyledi. Tek fark bu boşluk diyoruz ki E ait modüllerin yerine vektör alanlarının.

Eğer K sigara değişmeli halkalar üzerinde modülü olabilir çünkü sağa veya sola modülü, bizim lineer kombinasyonları da sağda yazılabilir: olmayan bir değişmeli halka, daha sonra doğrusal kombinasyon kavramı ancak bir kısıtlama, ayrıca jeneralize olduğu veya solda, yani modülün yapısına bağlı olarak sağa veya sola yerleştirilmiş skalarlarla.

Zaman daha karmaşık uyarlama meydana e a, bimodule iki halkada, ilgili K G ve K D . Bu durumda, gibi en genel lineer kombinasyon görünüm bir 1 v 1 b 1 + ... + bir n- V , n b , n , bir 1 , ..., bir n aittir K G , b 1 , ..., b , n ait K D ve v 1 , ..., v n E'ye aittir .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Lineer kombinasyon " ( yazarların listesini görmek ) .