Alexandrov sıkıştırılmış
Gelen matematik ve daha kesin olarak , genel topoloji , Alexandrov compactified (bazen yazılı Alexandroff arasında compactified ) matematikçi tarafından sunulan bir amacı Pavel Aleksandrov . Kompaktifikasyon Alexandrov olarak adlandırılan yapısı, Riemann küresini yerel olarak kompakt uzaylar için genelleştirir ve buna " sonsuzluk noktası " ekler .
Tanım
Izin bir yerel kompakt topolojik uzay . Bir nokta ekleyerek kompakt bir alan elde edebiliriz . Bunun için nerede olduğunu düşünüyoruz ve aşağıdaki gibi bir topoloji tanımlıyoruz .
X{\ displaystyle X}
X{\ displaystyle X}
X~=X∪{ω}{\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}
ω∉X{\ displaystyle \ omega \ X konumunda \ değil}![X'te \ omega \ değil \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599059e77f6536ee18328920e64e3e9923c3812b)
Açıklıklar seti şunlardan oluşur:
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
- başlayan ait ;X{\ displaystyle X}
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- formun alt grupları , bir tamamlayıcı olarak , bir hulasanın arasında .{ω}∪Kvs{\ displaystyle \ {\ omega \} \ fincan K ^ {c}}
Kvs{\ displaystyle K ^ {c}}
X{\ displaystyle X}
K{\ displaystyle K}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Böylece bir topoloji tanımladığımız ve üzerindeki ilk topolojinin bu topoloji tarafından indüklenen topolojiyle aynı olduğu kontrol edilir .
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X{\ displaystyle X}
X{\ displaystyle X}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
Son olarak, bu topoloji ile donatılmasının kompakt bir uzay olduğu doğrulandı .
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
Uzay daha sonra yerel olarak kompakt uzaydan sıkıştırılmış Alexandrov olarak adlandırılır ; adı sonsuzda noktası arasında ve ayrıca not edilmelidir .
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X{\ displaystyle X}
ω{\ displaystyle \ omega}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
∞{\ displaystyle \ infty}![\ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21)
Bu fikir, yalnızca başlangıç alanı kompakt değilse ilgi çekicidir. Aslında, Alexandrov kompaktlaştırma sürecini kompakt bir alana uygulamak yalnızca yalıtılmış bir nokta ekler (çünkü o zaman açık olur ).
{ω}{\ displaystyle \ {\ omega \}}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
Eğer ve iki yerel kompakt mekanlardır, sürekli uygulama Alexandrov compactifieds ancak ve ancak o takdirde arasında sürekli bir uygulama uzanır temiz .
X{\ displaystyle X}
Y{\ displaystyle Y}
f:X→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}![f: X \ ila Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c)
Bu yapının , yalnızca yarı kompakt olduğu varsayıldığında da geçerli olduğuna dikkat edin ; O zaman bir elde yarı-yoğun alan ve aşağıdaki özelliği vardır: olup ayrı if (dolayısıyla kompakt) ancak ve ancak yerel kompakt.
X{\ displaystyle X}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Benzersizlik
Lokal olarak kompakt bir topolojik uzaydan ve belirli bir noktadan başlayarak, yukarıdaki gibi inşa edilen Alexandrov sıkıştırılmışının, şu şekilde tek olası topoloji olduğu kolayca gösterilebilir :
X{\ displaystyle X}
ω∉X{\ displaystyle \ omega \ X konumunda \ değil}
X~=X∪{ω}{\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}![{\ tilde X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
-
X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}
kompakttır;
- indüklenen topoloji , başlangıç topolojisiyle aynıdır.X{\ displaystyle X}
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Örnekler
- Aleksandrov ℝ arasında compactified n olduğu homeomorphic için n -sphere , özellikle, içinden, stereografik çıkıntı kutupları birinden bir N -sphere, çıkıntı tarafından tamamlanan . Böylece, ℝ ile sıkıştırılmış Alexandrov, bir daireye homeomorfiktir, ℝ 2 (veya ℂ) küreye, genellikle Riemann küresi olarak adlandırılır . Uzaya eklenen nokta “sonsuzda” bir nokta olarak düşünülebilir: sonsuzda gerçek çizgi bir daire içinde “kapanır”.P{\ displaystyle P}
P↦ω{\ displaystyle P \ mapsto \ omega}![P \ mapsto \ omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a591ff094586019d5a0e2b8037b710b55803b48)
- Herhangi bir ordinal α = [0, α [ sıranın topolojisi ile donatılabilir . Α bir limit ordinal ise, Alexandrov [0, α [α + 1 = [0, α] 'nın sıkıştırılmış hali (eğer α'nın öncülü β ise, o zaman [0, α [ kompakt [0, β + 1 [= [0, β]).
- Bir boşluk Fort (tr) bir Alexandroff uzantısıdır ayrık uzay sonsuz.
Referanslar
-
(inç) John L. Kelley , Genel Topoloji , Van Nostrand,1955( çevrimiçi okuyun ) , s. 150.
Dış bağlantı
Alexandrov , les-mathematiques.net sitesinde
sıkıştırıldı
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">