Cohn'un indirgenemezlik kriteri

Olarak polinom aritmetik , Cohn'un indirgenemezlik kriteri a, başına yeterli bir için polinom ile tamsayı katsayıları olduğu indirgenemez .

Eyaletler

Formda on tabanında bir asal sayı $p$ yazılırsa

p = a_ {m} 10 ^ {m} + a _ {{m-1}} 10 ^ {{m-1}} + \ dots + a_ {1} 10 + a_ {0} {\ text {with} } 0 \ leq a_ {k} \ leq 9

sonra polinom

a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0}

indirgenemez . $\ mathbb {Z} [X]$

Bu teorem diğer temellere genelleşir : Herhangi bir tamsayı $b$ ≥ 2 için, formun bir polinomu $P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} {\ text {with}} 0 \ leq a_ {k} \ leq b-1$ $P$ $($ $b$ $)$ asal olduğu anda indirgenemez . $\ mathbb {Z} [X]$

Tarihsel Notlar

Baz 10 versiyonu Pólya ve Szegő tarafından Issai Schur'un öğrencisi Arthur Cohn'a atfedilir ve herhangi bir $b$ ≥ 2 tabanına genellemesi Brillhart , Filaseta ve Odlyzko'ya aittir .

2002 yılında, Bay Ram Murty (in) , bu teoremin basitleştirilmiş bir kanıtını ve tarihsel ayrıntılarını sunarak, aşağıdaki değişkeni de gösterdi: Ya ve . ${\ displaystyle P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} \ in \ mathbb { Z} _ {m} [X]}$ ${\ displaystyle H = \ max _ {0 \ leq i <m} | a_ {i} / a_ {m} |}$ Bir tamsayıdır var ise $b \geq H + 2$ , öyle ki $p ( B )$ ana, daha sonra $p$ ℤ üzerinde indirgenemez.

Gösteri

Tarafından nedeni , tersine , varsayılarak $P olmak$ indirgenebilir ve daha sonra, tam sayılar için olduğunu gösteren $b \geq H + 2$ , $P ( B )$ olduğu oluşan .

Bu nedenle olsun şekilde $P-QR =$ . ${\ displaystyle Q, R \ in \ mathbb {Z} [X] \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

Eğer $S$ daha sonra sabit değildir çünkü her biri, birlikte bir köküdür $P$ , (bakınız, gerçek veya karmaşık polinom # bir birinci tahmininin kök nedenle) . ${\ displaystyle Q = c \ prod _ {i} (X- \ alpha _ {i})}$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle | \ alpha _ {i} | <H + 1}$ ${\ displaystyle | Q (b) | \ geq \ prod _ {i} (b- | \ alfa _ {i} |)> \ prod _ {i} (H + 2-H-1) = 1}$
Eğer $Q$ sabitse ve tabii ki hala $|$ $Q$ $($ $b$ $) |$ $> 1$ . ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

$R$ için de aynı mantık , yani $P ( b ) = Q ( b ) R ( b )$ ile $| Q ( b ) |, | R ( b ) | > 1$ .

Notlar ve referanslar

( Fr ) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde “ Cohn'un indirgenemezlik kriter ” ( yazarların listesini görmek ) .

Paul Cohn ile karıştırmayın .
(in) " Arthur Cohn " , Matematik Şecere Projesi'nin web sitesinde .
(De) George Pólya ve Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , cilt. II, Springer ,1971, 4 th Ed. ( 1 st ed. 1925) ( okuma çizgi ) , s. 351- çeviri: (tr) George Pólya ve Gábor Szegő, Analizde Problemler ve Teoremler , cilt. II, Springer,1976( çevrimiçi okuyun ) , s. 330.
(içinde) John Brillhart, Michael ve Andrew Odlyzko Filaseta, " A. Cohn'un indirgenemezlik teoremi üzerine " , CJM , cilt. 33, n o 5,bin dokuz yüz Seksen bir, s. 1055-1059 ( çevrimiçi okuyun ).
(inç) M. Ram Murty, " Asal sayılar ve indirgenemez polinomlar " , Amer. Matematik. Ay. , cilt. 109, n o 5,2002, s. 452-458 ( çevrimiçi okuyun [dvi]).

İlgili Makaleler