Dini'den türetilmiştir

Gelen matematik bir Dini türevi kavramını genelleştirilmiş bir miktar türevinin ikinci türevlenebilir değilken işlevin. Dini türevleri Ulisse Dini tarafından tanıtıldı .

Tanım

Let f bir aralık bir fonksiyonu I gerçek değerli açıldı ℝ, ve izin x bir noktaya ben . Dini dört türevleri sırasıyla alt ve üst sınırlar arasında artış oranı , sol ve sağ f :

Sağ üst türev:

{\ displaystyle D ^ {+} f (x) = \ limsup _ {h \ ile 0 ^ {+}} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

Sağ alt türev:

{\ displaystyle D _ {+} f (x) = \ liminf _ {h \ ila 0 ^ {+}} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

Sol üst türev:

{\ displaystyle D ^ {-} f (x) = \ limsup _ {h \ ile 0 ^ {-}} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

Sol alt türev:

{\ displaystyle D _ {-} f (x) = \ liminf _ {h \ ile 0 ^ {-}} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

(sağdaki iki türev, üst ve alt, bazen sırasıyla f ' + d ve f' –d ve soldakiler , f ' + g ve f' –g olarak gösterilir ).

Özellikleri

Dini türevlerinin tanımını iki özellik önemsiz bir şekilde takip eder:

Sağ üst türev, sağ alt türeve eşitse, o zaman f , x'in sağ türevidir . Aynı şekilde solda.
f de ayırt edilebilirdir x ve dört Ö türevleri eşit modelledik.

Aşağıdaki teorem, Arnaud Denjoy tarafından 1915'te sürekli işlevler için gösterildi, ardından 1916'da Grace Chisholm Young tarafından ölçülebilir işlevlere ve 1924'te Stanisław Saks tarafından keyfi işlevlere genişletildi :

Denjoy-Young-Saks'ta teoremi - Let f bir aralık üzerinde tanımlanan I . Sonra, ben bir birliği olduğu önemsiz seti ve aşağıdaki dört bölümden:

I 1 : f'nin sıradan anlamda türevlenebilir olduğu noktalarda ,
I 2 : D + f = D - f (sonlu), D - f = $+ \infty$ ve D + f = $-\infty olan noktalarda$ ,
I 3 : D - f = D + f (sonlu), D + f = $+ \infty$ , D - f = $-\infty olan noktalarda$ ,
I 4 : D - f = D + f = $+ \infty$ , D - f = D + f = $-\infty olan noktalarda$ .

Ayrıca, üst ve alt iki taraflı türevler ( $[-\infty, + \infty]$ değerlerinde ) ölçülebilir.

Bu teoremi ispatlamak için klasik özel durumda güvenebilirsiniz f edilir dolayısıyla hemen her yerde Diferensiyellenebilen, artan .

Notlar ve referanslar

(olarak) AM Bruckner ve JL Leonard , " Türevler " , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 73,1966, s. 24-56.
(inç) Stanislaw Saks , İntegral Teorisi , Dover,1937, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , "IX, § 4".
(inç) Vladimir I. Bogachev , Ölçü Teorisi , Berlin / New York, Springer ,2007( ISBN 978-3-540-34514-5 , çevrimiçi okuyun ) , s. 371-372.

Kaynakça

(tr) Anthony P. Morse (en) , " Sürekli fonksiyonların dini türevleri " , Proc. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 5,1954, s. 126-130 ( çevrimiçi okuyun )