Homolojik boyut

Olarak cebri , homoloji boyut a halka R genel olarak farklı Krull boyutu ve tanımlanmış olan yansıtmalı veya injektif çözünürlükleri ve R -modüller. Ayrıca tanımlar düşük bir boyut gelen düz çözünürlük ve R -modüller. R'nin Krull boyutu (sırasıyla homolojik, zayıf), bu halkanın Artinian sınıfına olan mesafesinin bir ölçüsü olarak görülebilir (sırasıyla Yarı basit , normal von Neumann halkaları (en) ), bu boyut eğer ve sadece R artiniyse (yani yarı basit, normal von Neumann). Bir halinde Notherian değişmeli halka R ise, bu üç boyutlu denk R, ise normal olarak homoloji boyutu sonlu ise, özellikle.

Kararlar

Izin vermek bir R -module. tam dizisi $M$ ${\ displaystyle \ longrightarrow ... \ longrightarrow E_ {n} \ longrightarrow ... \ longrightarrow E_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}$ sol çözünürlüğü olarak adlandırılır . Her şey için , modül yansıtmalı ise (sırasıyla Düz, serbest), bu çözünürlüğün yansıtmalı olduğu söylenir (sırasıyla Düz, serbest). Eğer ve herkes için bu çözünürlük uzunluğu olduğu söylenir . Böyle bir tamsayı yoksa , bu çözünürlüğün sonsuz uzunlukta olduğu söylenir. $M$ $ben$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {n} \ neq 0}$ ${\ displaystyle E_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle i> n}$ $değil$ $değil$
Tam sıra ${\ displaystyle \ longleftarrow ... \ longleftarrow E ^ {n} \ longleftarrow ... \ longleftarrow E ^ {0} \ longleftarrow M \ longleftarrow 0}$ doğru çözünürlük olarak adlandırılır . Her şey için , modül enjekte edildiyse , bu çözünürlüğün enjekte edici olduğu söylenir. Yukarıdaki gibi bir enjeksiyon çözünürlüğünün uzunluğunu tanımlıyoruz. $M$ $ben$ $E ^ {n}$
Herhangi bir R modülü , ücretsiz çözünürlüklere ve dolayısıyla projektif ve düz çözünürlüklere izin verir. Herhangi bir R modülü, aynı zamanda, enjekte edici çözünürlükleri de kabul eder. $M$ $M$

Bir modülün boyutları

Daha sonra gelende, ve biz herhangi bir anlaşma için bunu alabilir , , ve . ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}} = \ mathbb {Z} \ cup \ sol \ {- \ infty, + \ infty \ sağ \}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle - \ infty <n <+ \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty + n = - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty + n = + \ infty}$
Solda bir R modülü olalım . Belirtilen Bu yansıtmalı boyutu (sırasıyla. İnjektif, düz), (sırasıyla. ) Mi alt bağlı olarak yansıtmalı (sırasıyla. İnjektif, düz) kararları uzunlukları . $M$ ${\ displaystyle dp_ {R} \ sol (M \ sağ)}$ ${\ displaystyle di_ {R} \ sol (M \ sağ), df_ {R} \ sol (M \ sağ)}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}}}$ $M$
Biz var . ${\ displaystyle dp_ {R} \ sol (0 \ sağ) = di_ {R} \ sol (0 \ sağ) = df_ {R} \ sol (0 \ sağ) = - \ infty}$
Olması için (sırasıyla. İnjektif, düz) yansıtmalı olması gerekli ve yeterli olduğu (sırasıyla. ). $M$ ${\ displaystyle dp_ {R} \ sol (M \ sağ) \ leq 0}$ ${\ displaystyle di_ {R} \ sol (M \ sağ) \ leq 0, df_ {R} \ sol (M \ sağ) \ leq 0}$

Bir yüzüğün boyutları

Burada Krull boyutuna geri dönmeyeceğiz.

Homolojik boyut

Düşünün kategori içinde R solda-modüller. Aşağıdaki miktarlar eşittir: ${\ displaystyle _ {R} Mod}$

${\ displaystyle \ sup \ sol \ {dp_ {R} \ sol (M \ sağ): M \ in _ {R} Mod \ sağ \}}$
${\ displaystyle \ sup \ sol \ {di_ {R} \ sol (M \ sağ): M \ in _ {R} Mod \ sağ \}}$

Hepsinin ortak değeri olarak adlandırılır sola küresel boyut ve R ve sonra gelende belirtilmektedir . Bu miktar, solda iki R- modülünün olduğu ve örneğin ( Türetilmiş fonksiyon makalesine bakın ) miktarlarda üst sınırdır . ${\ displaystyle dgg (R)}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}}}$ $değil$ $M$ $DEĞİL$ ${\ displaystyle Ext_ {R} ^ {n} \ sol (M, N \ sağ) \ neq 0}$

Biz aynı şekilde tanımlamak sağa küresel bir boyut içinde R aşağıda da belirtildiği gibi, . ${\ displaystyle dgd (R)}$

Tüm = (bu tabii ki durumda R, değişmeli), ortak bir değer olarak adlandırılan genel bir boyut ve R ve not edilir . ${\ displaystyle dgg (R)}$ ${\ displaystyle dgd (R)}$ ${\ displaystyle dg (R)}$
Küresel boyut kavramı, herhangi bir değişmeli kategori durumuna kadar uzanır, böylece, eğer (sırasıyla ), Bu boyut, yukarıda tanımlanan miktarla (karşılık ) çakışır . ${\ mathfrak {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {C =}} _ {R} Mod}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {C =}} Mod_ {R}}$ ${\ displaystyle dg \ sol ({\ mathfrak {C}} \ sağ)}$ ${\ displaystyle dgg (R)}$ ${\ displaystyle dgd (R)}$

Düşük boyut

Aşağıdaki miktarlar eşittir:

${\ displaystyle \ sup \ sol \ {df_ {R} \ sol (M \ sağ): M \ in _ {R} Mod \ sağ \},}$
${\ displaystyle \ sup \ sol \ {df_ {R} \ sol (M \ sağ): M \ Mod_ {R} \ sağ \}.}$

Onların ortak değeri, aşağıda belirtilen , R'nin zayıf küresel boyutu olarak adlandırılır . Bu miktar, sağda bir R modülü ve solda ( Türetilmiş işlev makalesine bakın) gibi bir modül bulunan miktarların üst sınırıdır . ${\ displaystyle dgf (R)}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Z}}}}$ $değil$ $M$ $DEĞİL$ ${\ displaystyle Tor_ {n} ^ {R} \ sol (M, N \ sağ) \ neq 0}$

Özellikleri

Biz var . ${\ displaystyle dg (0) = dgf (0) = - \ infty}$
Soldaki R Noetherian ise eşitliğimiz var . ${\ Displaystyle dgf \ sol (R \ sağ) \ leq dgg \ sol (R \ sağ)}$
Eğer R Notherian, biz var . ${\ displaystyle dgf (R) = dgg (R) = dgd (R) = dg (R)}$
Bir değişmeli halka olalım ; sonra ( Hilbert'in syzygy teoremi ). Bu nedenle, eğer bir değişmeli cisim ise (veya daha genel olarak, yarı basit bir değişmeli halka) . $AT$ ${\ displaystyle dg (A \ sol [X \ sağ]) = dg (A) +1}$ $K$ ${\ displaystyle dg (K \ sol [X_ {1}, ..., X_ {n} \ sağ]) = n}$
Let R olduğu bir değişmeli halka, hiçbir ihtiva çarpımsal grubu sıfır bölenler ve lokalize bir . Biz ve . ${\ displaystyle S \ alt küme R}$ $T$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle dg (T) \ leq dg (R)}$ ${\ displaystyle dgf (T) \ leq dgf (R)}$
Bir Ore R halkası , ancak ve ancak bir cisim olmayan bir Dedekind halkasıdır. ${\ displaystyle dg (R) = 1.}$
Bir değişmeli halka bütünleştirir R, a, Prüfer halkası (en) ve eğer sadece . ${\ displaystyle dgf (R) \ leq 1}$
Bir değişmeli Bezout halka R değil temel bir Prüfer halka ve bu nedenle doğrular olup . Öte yandan, Noetherian değildir, bu nedenle Dedekind'in bir halkası değildir ve bu nedenle . ${\ displaystyle dgf (R) \ leq 1}$ ${\ displaystyle dg (R)> 1}$

Düzenli halkalar

Halka R, olduğu söylenir düzenli kalan varsa R soldaki Modül sonlu Çeşidi sonlu çözünürlük kabul eder. Sağda da aynı şekilde bir normal yüzük tanımlanır ve solda ve sağda düzenli ise bir yüzük düzenli olduğu söylenir .
Eğer , R solda açıkçası düzenli olmakla Nagata 1962 yılında sonsuz küresel boyutta düzenli Notherian değişmeli halka örnek verdi. ${\ displaystyle dgg (R) <+ \ infty}$
Eğer R, daha sonra herhangi bir düzenli değişmeli bir halka olup, lokalize bir R düzenlidir. Eğer R düzenli ve Noetherian, sonra böyledir . ${\ displaystyle T = S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle R \ sol [X_ {1}, ..., X_ {n} \ sağ]}$
Soldaki R bir Bézout yüzüğü olsun . Sonlu tipin solundaki herhangi bir R modülü, sonlu sunumdur , bu nedenle R , solda düzgündür.

Notlar ve referanslar

Notlar

McConnell ve Robson 2001 , 7.1.9; Lam 1999 , (5.94), (5.95).
Goldie boyutu olarak da adlandırılan, homojen boyut oldukça farklı anlamı vardır, burada değinilmemiştir. Örneğin bkz. McConnell ve Robson 2001 , §2.2.
Rotman 2009 , Prop. 6.2 ve 6.4.
de İngilizce kelime ilk harfi olabilir dairede veya Fransızca kelime zayıf . $f$ ${\ displaystyle df_ {R}}$
McConnell ve Robson 2001 , 7.1.8.
Bu, yalnızca soldaki modülleri dikkate alan Bourbaki 2007'nin (§8.3), R halkasının homolojik boyutunu adlandırdığı ve not ettiği şeydir . Zayıf homolojik boyutu tanımlamaz. ${\ displaystyle dh (R)}$
McConnell ve Robson 2001 , 7.1.11. İngilizce gösterim: soldaki global boyut için, sağdaki global boyut için, global boyut için. ${\ displaystyle lgld (R)}$ ${\ displaystyle rgld (R)}$ ${\ displaystyle gld (R)}$
Mitchell 1965 . "Yeterli projektife" veya "yeterli enjektöre" sahip olduğunu varsaymak gerekli değildir . ${\ mathfrak {C}}$
McConnell ve Robson 2001 , §7.1.
İngilizce Değerlendirme: . ${\ displaystyle wgld (R)}$
Bourbaki 2007 , §8, Thm. 1.
McConnell ve Robson 2001 , §7.4. Payda kümesi kavramını getirerek değişmeli olmayan durumda benzer sonuç .
Rotman 2009 , Örnek 8.20.
Rotman 2009 , §4.4.
Normal bir von Neumann yüzüğü ile karıştırılmamalıdır.
McConnell ve Robson 2001 , 7.7.1.
Lam 1999 , s. 201, diğer yazarlarla birlikte, ayrıca, R'nin solda Noetherian olmasını gerektirir .
Lam 1999 , (5.94); Nagata 1962 , Ek.
McConnell ve Robson 2001 , 7.7.3, 7.7.5. Burada belirtilen özelliklerin değişmez durumunun uzantıları bu referanslarda verilmiştir.
Bu, elbette, yalnızca düzenlilik tanımında Noetherian özelliğine ihtiyaç duyulmadığında doğrudur.

Referanslar

N. Bourbaki , Cebir, Bölüm 10: Homolojik cebir , Springer,2007, 216 p. ( ISBN 978-3-540-34492-6 ve 3-540-34492-6 )
N. Bourbaki , Değişmeli Cebir, bölüm 1 ila 4 , Springer,2006, 356 s. ( ISBN 3-540-33937-X )
(tr) Paul Moritz Cohn , Free Rings and their Relations (2. baskı) , London / Orlando / San Diego vb., Academic Press,1985, 588 s. ( ISBN 0-12-179152-1 )
(en) Tsit Yuen Lam , Modüller ve Halkalar Üzerine Dersler , New York / Berlin / Heidelberg, Springer,1999, 557 p. ( ISBN 0-387-98428-3 )
(en) John C. McConnell ve James C. Robson , Noncommutative Noetherian Rings , American Mathematical Society,2001, 636 p. ( ISBN 0-8218-2169-5 , çevrimiçi okuyun )
(en) Masayoshi Nagata , Yerel Halkalar , Bilim,1962, 234 s. ( ISBN 0-470-62865-0 )
(en) Barry Mitchell , Kategoriler Teorisi , New York / Londra, Academic Press,1965, 273 s. ( ISBN 0-12-499250-1 )
(en) Joseph J. Rotman , Homological Cebire Giriş , Springer,2009, 2 nci baskı. , 710 s. ( ISBN 978-0-387-24527-0 ve 0-387-24527-8 )