Bir kürenin manyetik dipolü
Izin vermek O merkezi, R yarıçaplı, yüzey akımı tarafından kat edilen , manyetik momentli , topun V hacmine sahip bir küre olsun.
jS→(P)=j0sbendeğilθ⋅senϕ→{\ displaystyle {\ vec {j_ {S}}} (P) = j_ {0} sin \ theta \ cdot {\ vec {u _ {\ phi}}}} m→=j0V⋅senz→{\ displaystyle {\ vec {m}} = j_ {0} V \ cdot {\ vec {u_ {z}}}}
Daha kesin :
m→=12∫d2r[r→∧js→(r→)]=j0Vsenz→{\ displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {1} {2}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} r [{\ vec {r}} \ wedge {\ vec {j_ {s }}} ({\ vec {r}})] = j_ {0} V {\ vec {u_ {z}}}}
Harici manyetik alan
R >> R ise, B (M) 'nin m tarafından oluşturulan olduğu açıktır.
Çok şaşırtıcı: tüm r> R için doğru!
Dır-dir :
B→(M)=μ0m4πr3(2çünkü(θ)sen→r+günah(θ)sen→θ)=μ04π⋅r3⋅(3senr→(m→⋅senr→)-m→){\ displaystyle {\ vec {B}} (M) = {\ frac {\ mu _ {0} {\ mathfrak {m}}} {4 \ pi r ^ {3}}} (2 \ cos (\ theta ) {\ vec {u}} _ {r} + \ sin (\ theta) {\ vec {u}} _ {\ theta}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi \ cdot r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} 3 {\ vec {u_ {r}}} ({\ vec {m}} \ cdot {\ vec {u_ {r}}}) - {\ vec {m}} {\ bigr)}}
yazabileceğimiz:
B→(M)=μ0j0R3r3⋅(senr→(senz→⋅senr→)-13senz→){\ displaystyle {\ vec {B}} (M) = \ mu _ {0} j_ {0} {\ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} { \ vec {u_ {r}}} ({\ vec {u_ {z}}} \ cdot {\ vec {u_ {r}}}) - {\ frac {1} {3}} {\ vec {u_ { z}}} {\ bigr)}}
Kapalı manyetik alan
Tabii ki, akım dağılımı bir solenoidi andırıyor . Aslında, akım sadece kenarlarda iptal edilir, böylece içerideki alan tek tip olur:
B(M)=B(Ö)=Bexterdeğile(0,0,R){\ displaystyle B (M) = B (O) = B_ {harici} (0,0, R)} B.'nin normal bileşeninin sürekliliği ile
B→(M)=μ0m→2πR3=2μ0j03senz→{\ displaystyle {\ vec {B}} (M) = {\ frac {\ mu _ {0} {\ vec {m}}} {2 \ pi R ^ {3}}} = {\ frac {2 \ mu _ {0} j_ {0}} {3}} {\ vec {u_ {z}}}}
Gösteri
Mevcut dağıtım kompakttır : çözüm mevcuttur ve benzersizdir. Bu nedenle, verilen çözümün iyi div B = 0, rot B = 0 ve sonsuzdaki (doğru) ve küre üzerindeki sınır koşullarını sağladığını kontrol etmek yeterlidir :
[Bext-Bbendeğilt]∧senr(P)=-3μ0m→∧senr→4πR3=-3μ0m.sbendeğil(θ)4πR3senϕ→=-μ0jS→{\ displaystyle [B_ {ext} -B_ {int}] \ wedge u_ {r} (P) = - {\ frac {3 \ mu _ {0} {\ vec {m}} \ wedge {\ vec {u_ {r}}}} {4 \ pi R ^ {3}}} = - {\ frac {3 \ mu _ {0} m.sin (\ theta)} {4 \ pi R ^ {3}}} { \ vec {u _ {\ phi}}} = - \ mu _ {0} {\ vec {j_ {S}}}}.
veya:
[Bext-Bbendeğilt]=μ0jS→∧senr→{\ displaystyle [B_ {ext} -B_ {int}] = \ mu _ {0} {\ vec {j_ {S}}} \ wedge {\ vec {u_ {r}}}}Herhangi bir kapalı alan hattı üzerindeki sirkülasyonun Ampère teoremini karşıladığını doğrulayabiliriz.
Sonuç
Eğer R küçük harfli ve çok büyük olursa , m O'da tekillik rolünü oynar, ancak B orada sonsuz değildir ve topun üzerindeki integrali ( ) değerindedir : birim başına bir moment dipol olduğunu söyleme alışkanlığı ediniriz. hacim (A / m cinsinden) bu nedenle bir dipolün alanını oluştururj0{\ displaystyle j_ {0}}8π3m→{\ displaystyle {\ frac {8 \ pi} {3}} {\ vec {m}}}J{\ displaystyle J}+m→8π3δ(r){\ displaystyle + {\ vec {m}} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ delta (r)}
Bir topun elektrostatik dipolü ile karşılaştıracağız .
Notlar ve referanslar
Ekler
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">