Tamamen doğal

In matematik , bir doğal sayı bir olan pozitif sayı temelde mümkün hale getirir saymak olarak nesneleri her sayım biri bir belirteç, iki belirteçleri ... bir kart, iki kart, üç kart ... Böyle bir tam sayı: eşdeğer olarak kabul nesneleri saymak ve bu nedenle sonlu dizisi ile yazılabilir basamak içinde ondalık konumsal yazım (olmadan işareti ve virgül olmadan).

Her tamsayının benzersiz bir halefi vardır , yani hemen üzerinde bir tamsayı vardır ve doğal tam sayıların listesi sonsuzdur .

Doğal sayılar kümesinin Richard Dedekind'den dolayı orijinal tanımı sıfır sayısını içermez; daha yakın zamanlarda sıfır içeren başka bir tanım önerilmiştir. Bu iki tanım bugün hala bir arada varlığını sürdürmektedir. Anlamlarına göre, doğal sayıların listesi bu nedenle:

veya

Doğal sayıların ve bunların özellikle toplama ve çarpma işlemleriyle olan ilişkilerinin incelenmesi, Yunan Antik çağından beri " aritmetik  " olarak adlandırılan bir matematik dalı olmuştur  .

Doğal sayıların yapısı edildi axiomatized tarafından ilk kez Peano ve Dedekind'in sonunda XIX inci  yüzyılın. O zamanlar sıfır doğal bir sayı olarak kabul edilmiyordu (ve bazı yazarlar hala bu seçimi yapıyor), bu da aksiyomatizasyonu temelden değiştirmiyor. Ernst Zermelo , küme teorisini aksiyomatize ettiğinde, doğal tam sayıların küme terimleriyle tanımlanabileceğini gösterdi (bugün en çok von Neumann'dan kaynaklanan bir yöntemi kullanıyoruz ).

Sıfır sayısını içersin ya da içermesin, doğal sayılar kümesi "  " veya "   " olarak gösterilir  . Gösterim, onu sıfır olmayan doğal sayılar kümesi için kullanan 1888'deki Dedekind'den kaynaklanmaktadır . Bugün bu son küme aynı zamanda "  " (veya "   ") olarak da belirtilmektedir  .

Doğal sayılar ile tanımlanır pozitif veya sıfır göreli tamsayılar yanı sıra ile pozitif veya sıfır rasyonel bir şeklinde yazılabilir numaraları fraksiyonu ile daha genel payda 1 ve pozitif veya sıfır reals bir fraksiyonel parçası sıfır.

Tasarım (değiştir | kaynağı değiştir)

Numaralandırmadan soyutlamaya

Doğal sayı kavramı, ilk işgal (ve kadar XVII inci  yüzyılın), bütün fikir sayısının muhtemelen toplama kavramına sonra: tamsayı öncelikle bir kardinal olarak tasarlanmıştır. Bazı nesneler veya hayvanlar, birbirlerinden farklı olsalar da, benzerliklerinden veya başka bir ortak özelliklerinden dolayı ortak bir tanıma sahip olabilirler. Bir araya gelmeleri bir inek sürüsü, bir inci kolye, bir taş yığını gibi bir koleksiyon oluşturur.

Sayı, bir koleksiyonun sayılmasında, yani tüm öğelerini tek tek ve tekrar etmeden kaydırmak gerçeğinde filizleniyor. İki eşzamanlı sayımın (örneğin bir sürüden bir muhafazaya ve bir çantadaki taşlara) ya her zaman aynı anda ya da her zaman adım adım bittiği gözleminde tutarlılık gerektirir. Sayı, bir miktarı belirtmek için çakıl torbası veya çentikli çubuk kullanıldığında nihayet temsil edilir.

Bununla birlikte, bütün kavramı yalnızca temsilcisinden ayrıldığında, yani artık herhangi bir çakıl taşı, çentik veya ineği temsil etmediğinde gerçekten doğar: her nesnenin saf bir birim olarak ve olmadan kabul edildiği bir ilk soyutlama vardır. kalite. Bu zihinsel süreç soyutlama olarak bilinir  : nesnenin kalitesinden soyutlanır ve yalnızca nicelikle ilgilidir. İkinci bir soyutlama, bu birimlerin bir birimler koleksiyonu olarak değerlendirilmesine yol açar.

Öklid , Elementlerin VII. Kitabında şu tanımı verir: “Birlik, her nesneye Bir denen şeydir.” Bu soyutlama, daha sonra sayıyı (doğal tamsayı) “birimler koleksiyonu” olarak tanımlamasına izin verir.

Sıfır olmayan ilk doğal sayıların nokta koleksiyonları ile temsili.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
* ** *
**
**
**
*
***
*
*
**
***
**
***
**
* ***
***
***
*
**
***
****

Tamsayıların önyargılılık sınıfı açısından iptal edilmiş tanımı

Frege ( The Foundations of Arithmetic , 1884) tam sayıları önyargılılık sınıfı açısından tanımlamayı düşündü .

Bu fikir, her n tamsayısını n öğeye sahip tüm kümelerin bir araya gelmesi olarak tanımlamayı içerir .

Bu çok çekici tanım, eğer biri ontolojik monizm bakış açısıyla, böyle bir toplantının da bir bütün olması gerektiğini arzularsa, Russell'ın paradoksuna karşı çıkıyor .

Bunun nedeni, 0 tamsayısı haricinde, yalnızca boş kümeyi içeren küme ile tanımlanan, n elemanlı kümeler koleksiyonundaki diğer tam sayılar için uygun bir sınıftır ve bu nedenle bir küme değildir.

Sıralara göre inşaat

Doğal tamsayılar, sıralar olarak , yani von Neumann'ın yöntemiyle , hepsi dahil edilerek karşılaştırılabilen iyi sıralı kümeler olarak tanımlanabilir . Doğal sayılar sonlu sıra sayıları, kimin karşılıklı düzen de iyi bir emirdir, hatta olanlardır halefi ait sıra sayıları her alt bağlı da halefi sıra sayıları olan.

Tanımlama

İfade

Dilde tam sayıların belirlenmesi, genellikle birkaç basit yönteme dayanmasına rağmen, bir dilden diğerine aynı değildir.

İlk tam sayıların birbiriyle ilgisi olmayan belirli bir adı vardır. Fransızcada, bunlardan tam sayılardır biri için on (den tamsayılar isimleri on bir ile on altı bileşik isimlerin gerçeği deformasyonları içindedir). Bazı diller ötesinde belirli kelime yok iki .

İki ismin birleştirilmesi , karşılık gelen tam sayıların toplamasının ( on yedide olduğu gibi ) veya çarpımının ( seksen gibi) sonucunu gösterebilir . Çıkarma, bölme veya uzatma kullanan diğer yöntemler mevcuttur .

Belirli "büyük" sayılara ayrıca belirli bir ad verilir, genellikle belirli bir tabanın belirli güçleri . On tabanı bugün en yaygın olanıdır, ancak örneğin Fransızca'da tamsayıların atanması yirmi tabanının kısmi kullanımının izini korur . Çelişkili uluslararası sözleşmeler, bin veya bir milyonun ilk yüz gücü için standartlaştırılmış gösterimler önermektedir.

Sözcük dağarcığının dayattığı sınırların ötesinde, dil yalnızca eklerle adlandırmalar sunabilir: "bin milyar milyar ..."

Şifreli yazı

Tam sayıların yazımı medeniyetler tarihinde çok çeşitlilik gösterdiyse , rakamların yazılışı bir ülkeden ülkeye az ya da çok önemli değişikliklere uğrayabilse bile , bugün hemen hemen her yerde aynı konumsal ondalık notasyon sistemine dayanmaktadır . .

Her bir doğal sayı, benzersiz bir şekilde, her çarpan katsayı ondan az olacak şekilde, on'un katlarının katları toplamına ayrıştırılır, bu nedenle , 0'dan 9'a kadar on Arap rakamından biriyle temsil edilir . Bu sayının yazımı şöyledir: daha sonra karşılık gelen güçlerin azalan sırasına göre düzenlenmiş bu rakamları birleştirerek yapılır.

Bu yazının ana ilgi alanı, dört temel aritmetik işlem için hesaplama algoritmalarının ortak basitliğidir.

Kodlama

Hesaplama pratiği, önce çakıl başına bir birimi sembolize etmek için, ardından sembollerin değerini farklılaştırmak için (örneğin on çakıl taşı gösteren bir kabuk) çakıl taşlarının veya diğer somut sembollerin manipülasyonuna güvenebilmiştir.

Konumsal gösterim mümkün geliştirilmesi ile sonuçlanmıştır konum ve artık özelliklerine göre sembollerin değerleri ayırt etmek için yapılan abaküs ve abaküs . Bu ilke hesap makinelerinde ve bilgisayarlarda hala geçerlidir .

Aritmetik

Operasyonların temsili

Nesneleri (çakıl ya da örneğin jeton) oluşan bir koleksiyon her tamsayıyı temsil ederek, çalışma ek ise, iki koleksiyon birliği ile temsil edilir çıkarma diğerinden toplama ve çıkarma tutarındadır. Bu temsil, kesinlikle daha küçük bir başka sayıdan bir sayının (doğal sayılarla) çıkarılmasının imkansızlığını açıkça göstermektedir.

Çarpma iki doğal sayılar , dolgu için tekabül dikdörtgenin olan bitişik iki faktörlerden her birini temsil etmektedir.

Öklid bölme bir tamsayı (denilen bir kar başka (denilen) tarafından bölen ve zorunlu olarak sıfır olmayan) bölen temsil etmektedir kaplı bir dikdörtgen içinde kâr temsil toplama düzeneği gösterilmektedir. Tam satırların sayısı bölümü temsil ederken, olası tamamlanmamış satır kalanı temsil eder , zorunlu olarak bölen olandan kesinlikle daha azdır.

Çoklu ve bölücü

Sıfır olmayan doğal sayı göz önüne alındığında, onun kümesi katları olan sonsuz ama düzenli dağılmış ve bir tarafından tarif etmek kolay aritmetik dizinin . Örneğin, 2'nin katı olan hatta sayılar tüm tamsayılar arasında tek sayı ile birbiri ardına.

Aksine, sıfır olmayan bir tamsayının bölenler kümesi her zaman sonludur ve dağılımı aynı türden bir düzenliliğe sahip değildir. Kesinlikle her zaman bölünecek sayıyı ve bu iki uç arasında kalan diğer bölenler olan 1 sayısını içerir. Ancak, bu diğer bölenleri belirli bir tabandaki sayının yazısından listelemek genellikle zordur .

Bu sorun kısmen, bir sayının diğeriyle bölünebilir olup olmadığını hesaplamadan belirlemeye yönelik basit kriterlerin azlığından kaynaklanmaktadır. Ondalık bir konumsal sayı sisteminde , küçük bölenler için (özellikle 2, 3, 5, 9 ve 10 için) çeşitli bölünebilirlik kriteri bilinmektedir, ancak bu birkaç durum dışında, bu soruyu cevaplamamıza izin veren esasen Öklid bölümüdür.

asal sayı

Tek bölen 1 sayısından ayrı olarak, bu nedenle herhangi bir sayı en az iki ayrı bölen kabul eder. Tam olarak iki tane kabul edenlere asal sayı denir . Diğer sayıları, kendileri kesinlikle daha küçük sayıların ürünlerine ayrıştırılmadan, bölünerek azaltabilenler yalnızca onlardır. Orada onlara sonsuz sayıda ve her sayı sonları yıkar asal sayıların bir ürün haline benzersiz. Bu ayrıştırma, diğer şeylerin yanı sıra, bölücüler kümesinin yapısını anlamayı mümkün kılar.

Doğal sayılar kümesi

Notasyonlar

1894'te Giuseppe Peano , Matematiğin resmileştirilmesi için yaptığı büyük projesine giriş niteliğindeki matematiksel mantık notasyonlarında "pozitif tamsayı" için "N  " ve "pozitif veya sıfır tamsayı" için "N 0 " notasyonlarını kullandı. Matematik Formu . Onu bir yüklem olarak kullanıyor , bütününkine çok yakın bir kavram. Böylece Peano, "  x ε N" (şimdi "  " yazıyoruz  ) yazar ve onun için " x pozitif bir tamsayıdır" okur  .

Baskıdaki tüm doğal sayıların tarihsel gösterimi,  kalın bir büyük harf olan " N " olur  . El yazısında (ve özellikle tahtada ), bu karakter, ilk dikey çubuğun veya eğik çizginin "  " ikiye katlanmasıyla başka amaçlar için kullanılan "N" harfinden ayırt edilmiştir  . İkinci seçenek kalın kara tahta yazı tipi için kabul edildi . Modern matematik kurgu artık "iki katına çıkmış" karakterler kullanıyor, ancak kalın tipografi kullanımı da devam ediyor.

Küme teorisi

En küçük sonsuz sıra , doğal tam sayı olan tüm sonlu sıra sayılarının üst sınırıdır. Bunu ω (Yunanca küçük harf omega ) veya ω 0 olarak belirten Georg Cantor tarafından tanıtıldı . John von Neumann , sıra sayılarının katı alt sınır kümesiyle bir sıra tanımlayacak şekilde tanımlanabileceğini gösterdi ve sıra daha sonra doğal sayılar kümesiyle tanımlanır (bir doğal sayının kendisi kümeyle tanımlanır) doğal sayılardan kesinlikle aşağıdır). Küme teorisinde , ω harfi bu nedenle doğal tam sayılar kümesini belirtmek için de kullanılır. Sonsuzluk beliti mümkün bu setin varlığını göstermek için yapar.

Sayılabilir bir küme, doğal sayılar kümesiyle aynı kardinali olan bir kümedir (bazen "sayılabilir sonsuzluk" belirtiriz, bu aynı zamanda "sonlu veya N ile aynı kardinal" anlamına da gelebilir  ). Ana arasında sayılabilir ki, N , küçük sonsuz ana, bir not edilir ℵ 0 , aleph sıfır .

Küme teorisinde, resmi olarak ℵ 0 , en küçük sayılabilir sonsuz sıra olarak tanımlanır, yani ve bu nedenle yine doğal tamsayılar kümesi olarak tanımlanır.

Özellikleri

Toplama ve çarpma işlemleri ilişkisel , değişmeli , nötrlerle sağlanan ve bir dağıtım özelliğini karşılayan doğal tamsayılar kümesi bir yarı halkadır .

Bu bir sipariş o bir yapı verir ilave edilmesi vasıtasıyla neden zamanki sipariş ilişkisi için iyi bir düzen bir boş olmayan kısmı daha küçük bir elemanı kabul yani. Bu özellik, tümevarım yoluyla akıl yürütmenin temelidir .

Grubu, aynı zamanda, ilgili sahip olduğunu bölünebilme a, kısmi sıralama .

Onun kardinali , en küçük sonsuz kardinal sayıdır , ℵ 0 ( alef sıfır ) olarak gösterilir, böylece sayılabilirlik kavramını tanımlar . Aslında, herhangi bir küme için, bu kümenin doğal tam sayılarla bir eşleşmesi varsa, sayılabilir olduğunu söylüyoruz . Bazen bitmiş setleri de dahil etmek için bir enjeksiyondan memnun kalırsınız.

Peano Aksiyomatik

Doğal tam sayıları nasıl eklediğinizden bağımsız olarak, aritmetiğin geliştirildiği aynı temel özelliklere sahiptirler. Richard Dedekind ve Giuseppe Peano, bağımsız olarak, temelde eşdeğer olan aksiyomatizasyonlar önerdiler. Bugün bazen ikinci mertebeden söylenen aksiyomatizasyonla ilgiliydi: küme (veya yüklem ) kavramının bilinmesi gerekiyordu ve aksiyomatizasyon tarafından hesaba katılmıyordu. İşte bu aksiyomların (Peano aksiyomları olarak bilinir) modern bir sunumu :

  1. Sıfır olarak adlandırılan ve 0 olarak belirtilen öğe, doğal bir sayıdır.
  2. Her doğal sayı n'nin benzersiz bir halefi vardır, genellikle s ( n ) veya S n (veya diğer değişkenler) olarak belirtilir.
  3. Hiçbir doğal sayının halefi 0 yoktur.
  4. Aynı halefi olan iki doğal sayı eşittir.
  5. Bir doğal sayı kümesi 0 içeriyorsa ve her bir öğesinin ardılını içeriyorsa, bu küme N'ye eşittir .

İlk aksiyom, doğal tamsayılar kümesinin boş olmadığını , ikincisinin ardılının bir işlev olduğunu , dördüncüsünün bu işlevin enjekte olduğunu , üçüncüsünün de bir birinci öğeye sahip olduğunu belirtmeyi mümkün kılar (bu iki aksiyom, doğal sayılar kümesi sonsuzdur). Beşincisi, tekrarlama ilkesinin bir formülasyonudur .

Richard Dedekind'in bu aksiyomlardan gösterdiği önemli bir özellik, tümevarım yoluyla tanımlama ilkesidir . Örneğin, olağan işlemleri tanımlamaya izin verir.

Notlar

  1. Georg Cantor ilk matematikçi farklı sonsuzlukların incelemiş, o sonsuz bir ilk temelini tanımlamak için doğal sayının emretti sette dayanıyordu ve sonra daha başka sonsuz setleri keşfeder.
  2. Richard Dedekind. Sind ve Sollen die Zahlen miydi? (1888) 2 , e ed. Friedrich Vieweg ve dosyalar 1893. Çevrimiçi okuyun.
  3. "Sayı" girişinin altında, Lexis (1975) bir "doğal sayı" yı 1,2,3, vb. Sıranın tam sayılarının her biri olarak tanımlar . " , Ve Le Petit Robert (1977) " Başlangıçta ve en basit doğal sayılarda (1,2,3,4…) […] "  ; Fransız Akademisi , onun sözlüğe dokuzuncu baskısında, girişi "tamsayı" altında "pozitif tamsayı" olarak "doğal sayı" tanımlar ve giriş altında bir "pozitif sayı '' sıfırdan büyük "olumlu" belirtir Öyle ".
  4. (in) Eric W. Weisstein , Doğal Numarası  " ile MathWorld .
  5. Christian Houzel , “Sayı nedir? », Sayıların Tarihi , Tallandier 2007.
  6. Sigara tamsayılar işlenir III inci Mezopotamya uygarlığı milenyum BC, ama sayıları teorik statüsüne sahip değildir.
  7. Sayı kavramının felsefi yapısı Louis Couturat'ın matematiksel sonsuzluğundan ayrıntılı olarak açıklanmıştır .
  8. Bu tanım, birim içermeyen bir koleksiyon olan sıfır sayısına geriye dönük olarak uygulanabilir .
  9. Georges Ifrah , Evrensel rakamlar tarihine giriş , cilt 1, baskı Robert Laffont (1994), s.  9 , § İlk deneme yanılma.
  10. "Hesaplama" kelimesi "caillou" kelimesiyle ilgilidir.
  11. Göreli tam sayılarda çıkarma her zaman mümkündür .
  12. Giuseppe Peano (1894), Matematiksel mantık notasyonları , Guadagnini, Turin (1894), s.  4 çevrimiçi oku
  13. (in) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ perakende sürümleri ]uçuş. 2 s.  299 .
  14. Peano aslında zamanın geleneklerine karşılık gelen ancak temelde hiçbir şeyi değiştirmeyen 1 (bir) kullanır.

Kaynakça

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantı

Sayılar: merak, teori ve kullanımlar , G. Villemin'in sitesi