Kütle fonksiyonu (olasılıklar)

In olasılık teorisi , kütle fonksiyonu bir deneyin bir temel sonucu olasılığını verir fonksiyonudur. Olasılık yoğunluklarının yalnızca mutlak sürekli rasgele değişkenler için tanımlanması ve olasılık değerine sahip (değerlerinin kendileri değil) bir alan üzerindeki integrali olması açısından olasılık yoğunluğundan farklıdır .

Matematiksel Açıklama

Olasılıklı bir uzay olalım . (Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}

Biz diyoruz kütle fonksiyonunu ait ve biz tarafından ifade fonksiyonu içinde tanımlanan: P{\ displaystyle \ mathbb {P}}p{\ displaystyle p}Ω{\ displaystyle \ Omega}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

∀ω∈Ω, p(ω)={P({ω})Eğer {ω}∈AT0Eğer {ω}∉AT.{\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ Omega, \ p (\ omega) = {\ başla {vakalar} \ mathbb {P} (\ {\ omega \}) ve {\ text {si}} \ \ {\ {\ mathcal {A}} \\ 0 & {\ text {si}} \ \ {\ omega \} \ notin {\ mathcal {A}} içinde omega \} \. \ end {case}}}

Ne zaman olduğu sağduyulu her şey için,  : P{\ displaystyle \ mathbb {P}}AT∈AT{\ mathcal {A}}} içinde {\ displaystyle A \

P(AT)=∑ω∈AT∩Ω-dep(ω)=∑ω∈Ω-dep(ω)δω(AT){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ toplamı _ {\ omega \ A \ cap \ Omega _ {a}} p (\ omega) = \ toplamı _ {\ omega \ içinde \ Omega _ {a} } p (\ omega) \ delta _ {\ omega} (A)}

burada kümesidir atomu arasında ve Dirac ölçüsüdür noktasında . Ω-de⊂Ω{\ displaystyle \ Omega _ {a} \ alt küme \ Omega}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}δω{\ displaystyle \ delta _ {\ omega}}ω{\ displaystyle \ omega}

Izin bir olasılık alanı, bir olasılık alanı ve rastgele değişken. (Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}(Y,B){\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}X:Ω⟶Y{\ displaystyle X: \ Omega \ longrightarrow Y}

Biz diyoruz kütle fonksiyonunu ait ve biz tarafından ifade fonksiyonu içinde tanımlanan: PX{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X}}pX{\ displaystyle p_ {X}}Y{\ displaystyle Y}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

∀x∈Y, pX(x)={PX({x})Eğer {x}∈B0Eğer {x}∉B={PX({x})Eğer x∈X(Ω)0Eğer x∉X(Ω).{\ displaystyle {\ begin {align} \ forall x \ in Y, \ p_ {X} (x) & = {\ begin {case} \ mathbb {P} _ {X} (\ {x \}) & { \ text {si}} \ \ {x \} \ in {\ mathcal {B}} \\ 0 & {\ text {si}} \ \ {x \} \ notin {\ mathcal {B}} \ end { vakalar}} \\ & = {\ {vakalar} \ mathbb {P} _ {X} (\ {x \}) & {\ text {si}} \ x \ in X (\ Omega) \\ 0 & {\ text {si}} \ x \ notin X (\ Omega). \ end {vakalar}} \ end {hizalı}}}

Ne zaman olduğu sağduyulu her şey için,  : X{\ displaystyle X}B∈B{\ mathcal {B}}} içinde {\ displaystyle B \

PX(B)=∑x∈B∩Y-depX(x)=∑x∈Y-depX(x)δx(AT){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ toplamı _ {x \ B \ cap Y_ {a}} p_ {X} (x) = \ toplam _ {x \ Y_ {a} } p_ {X} (x) \ delta _ {x} (A)}

burada kümesidir atomu arasında ve noktasında Dirac ölçüsüdür . Y-de⊂Y{\ displaystyle Y_ {a} \ alt küme Y}X{\ displaystyle X}δx{\ displaystyle \ delta _ {x}}x{\ displaystyle \ scriptstyle x}

Transferi teoremi herhangi bir işlev için, verir  : φ:Y⟶R{\ displaystyle \ varphi: Y \ longrightarrow \ mathbb {R}}

E(φ(X))=∑x∈Y-deφ(x)pX(x).{\ displaystyle \ mathbb {E} \ sol (\ varphi (X) \ sağ) = \ toplamı _ {x \ Y_ {a}} \ varphi (x) p_ {X} (x).}

Sürekli bir yasa için , kütle işlevi sıfır işlevidir, bu nedenle alakalı değildir. Sürekli bir yasa tekil değilse (yani, kesinlikle sürekli ise ), onun olasılık yoğunluğunu kullanırız .

Misal

Izin vermek bir atışın veya yazıların sonucunu yazı için 0 ve yazı için 1 olarak tanımlayan rastgele bir değişken olsun . Sahibiz : X{\ displaystyle X}

• Ω={pbenle,f-devse}{\ displaystyle \ Omega = \ {\ mathrm {yığın}, \ mathrm {yüz} \}},
• Y=R{\ displaystyle Y = \ mathbb {R}}(örneğin, o zamandan beri önemli olan şey ),Y⊃X(Ω)={0,1}{\ displaystyle Y \ supset X (\ Omega) = \ {0,1 \}}X:Ω⟶Y{\ displaystyle X: \ Omega \ longrightarrow Y}
• AT=P(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (\ Omega)}(örneğin, önemli olan olmasıdır bir ya kabilesi üzerinde deneyimi en az fiziksel olarak mümkün olayları içerir),AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• B=P(Y){\ displaystyle {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {P}} (Y)}(örneğin, önemli olan olmasıdır üzerinde bir kabile ya en azından içeren doğrudan görüntü tarafından fiziksel olarak mümkün olaylar).B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}

Biz olayları olduğunu varsayarsak ve aynı olasılık, o zaman var (Char ) ve bu nedenle her şey için . {pbenle}{\ displaystyle \ {\ mathrm {yığın} \}}{f-devse}{\ displaystyle \ {\ mathrm {yüz} \}}P({pbenle})=P({f-devse})=0,5{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ {\ mathrm {yığın} \}) = \ mathbb {P} (\ {\ mathrm {yüz} \}) = 0,5}P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1}PX({x})=0,5{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (\ {x \}) = 0,5}x∈X(Ω){\ displaystyle x \ in X (\ Omega)}

Böylece kütle işlevi değerdir: X{\ displaystyle X}

∀x∈Y, pX(x)={0,5Eğer x∈X(Ω),0Eğer x∉X(Ω).{\ displaystyle \ forall x \ Y'de, \ p_ {X} (x) = {\ başla {vakalar} 0.5 & {\ text {si}} \ x \ X (\ Omega), \\ 0 & {\ metin {si}} \ x \ notin X (\ Omega). \ end {vakalar}}}

X{\ displaystyle X}ayrı bir rasgele değişkendir, ilişkili olasılık kanunu olan Bernoulli 0.5 parametresi. PX{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X}}

Kaynakça

• Johnson, NL, Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2. Baskı) . Wiley. ( ISBN  0-471-54897-9 ) ( s.36 )

Notlar ve referanslar

1. Bu, İngilizce terimi kütle işlevi .

İlgili makale

• Süreklilik düzeltmesi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">