Bir Markov zincirinin grafiği ve durumların sınıflandırılması

Bir grafiği Markov zinciri ve durumlarının sınıflandırılması kavramları olan grafik teorisi kullanılan olasılık hesabı .

Markov zincirinin grafiği

Grafik a Markov zinciri bir edilir çizge durumu alanı tanımlanmış ve geçiş matrisi $G$ $E$

{\ displaystyle \ P = \ sol (p_ {i, j} \ sağ) _ {(i, j) \ E içinde ^ {2}}}

Bu Markov zincirinin :

köşeleri unsurlarıdır $G$ ${\ displaystyle E,}$
kenarları doğrulayan çiftler $G$ ${\ displaystyle (i, j) \ E ^ {2}}$

{\ displaystyle p_ {i, j}> 0.}

Devletlerin sınıflandırılması

İçin biz demek olduğunu erişilebilir gelen ancak ve ancak varsa böyle Biz belirtmek: ${\ displaystyle (i, j) \ E ^ {2}}$ $j$ $ben$ $n \ geq 0$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = j \ orta X_ {0} = i)> 0.}$

\ {j \ leftarrow i \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {\ var n \ geq 0 {\ text {örneğin}} p _ {{i, j}} ^ {{(n)}}> 0 \ sağ \}.

Biz söylemek ve onlar var ancak ve iletişim şekilde ve göstermektedirler Biz: $ben$ $j$ ${\ displaystyle (n, m) \ in \ mathbb {N} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = j \ orta X_ {0} = i)> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {m} = i \ ortada X_ {0} = j)> 0.}$

\ {j \ leftrightarrow i \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {j \ leftarrow i {\ text {ve}} i \ leftarrow j \ right \}.

İçin ilişki iletişim kaydetti is an denklik ilişkisi . Bir Markov zincirinin durumlarından bahsederken sınıftan bahsettiğimizde, bahsettiğimiz genellikle ilişkinin eşdeğerlik sınıflarıdır . Tüm devletler iletişim kurarsa, Markov zincirinin indirgenemez olduğu söylenir . ${\ displaystyle \ leftrightarrow,}$ $\ leftrightarrow$

Erişilebilir , belirtilen ilişki eşdeğerlik sınıflarına kadar uzanır: iki sınıf için ve bizde ${\ displaystyle \ leftarrow,}$ $VS$ ${\ displaystyle C ^ {\ prime}}$

\ {C \ leftarrow C ^ {{\ prime}} \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {\ var (i, j) \ C \ times C ^ {{\ prime}}, \ qquad i \ leftarrow j \ right \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {\ forall (i, j) \ in C \ times C ^ {{\ prime}}, \ qquad i \ leftarrow j \ right \}.

İlişki , eşdeğerlik sınıfları arasındaki bir sıra ilişkisidir . $\ sol ok$

A sınıfı olduğu söylenir son sınıf ilişkisi için minimal eğer yani başka yol yoksa. Aksi takdirde, sınıf olduğu söylenir geçicidir . ${\ displaystyle \ leftarrow.}$

Dır-dir

{\ displaystyle M_ {ij} = \ {n \ geq 0 \ | \ P (X_ {n} = j \ mid X_ {0} = i)> 0 \}.}

Dönem hal kümesinin OBEB olduğunu. İki devlet iletişim, bunlar aynı dönemi var: Biz bu nedenle devletlerin bir sınıfın dönemin konuşabilir. Dönem 1 ise, sınıfın periyodik olmadığı söylenir . $ben$ ${\ displaystyle M_ {ii}.}$

Durumların sınıflandırılması, Markov zincirinin grafiğinde basit bir şekilde okunabilir.

Sonlu bir grup üzerinde rastgele yürüyüş:

Bir düşünün grubu ve bir olasılık ölçüsünü bu grup üzerinde ve bir süit ait rasgele değişkenler bağımsız hukuk ortaya atılır ${\ displaystyle (G, \ oplus)}$ $\ mu$ ${\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ mu.}$

{\ displaystyle X_ {0} = x_ {0} \ in G \ quad {\ text {et}} \ quad \ forall \, n \ geq 1, \ X_ {n} = X_ {n-1} \ oplus Y_ {değil}.}

Bu nedenle , grupta değil rastgele yürüyüş olarak adlandırılır , stokastik süreç bir Markov sürecidir . Bu ise Markov zinciri ise (bu durumda sonlu ya da sayılabilir olan ). Not destek ait : $(X_ {n}) _ {{n \ geq 0}}$ $\ mu$ ${\ displaystyle (G, \ oplus).}$ $(X_ {n}) _ {{n \ geq 0}}$ $G$ ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {g}) _ {g \ G içinde}}$ ${\ displaystyle {\ text {supp}} (\ mu)}$ $\ mu$

{\ displaystyle {\ text {supp}} (\ mu) = \ {g \ G \ quad | \ quad \ mu _ {g}> 0 \},}

ve O zaman tarafından üretilen alt grubu gösterir Sağdaki modulodaki sınıflar (tipin ) aynı zamanda ilişkinin sınıflarıdır.Bu sınıfların hepsi son sınıftır. $H$ ${\ displaystyle {\ text {destek}} (\ mu).}$ $H,$ ${\ displaystyle xH = \ {xh \ | \ h \ H \}}$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow.}$

Küp üzerindeki adımlar:

Küpün kenarlarındaki rastgele yürüyüş, basamak grubu üzerinde yürüyüş olarak görülebilir , aslında kanonik tabanın 3 vektöründen birini eklemek, başlangıç noktasının üç koordinatından birini değiştirmek anlamına gelir, yani bu, ödünç almak anlamına gelir. rastgele, başlangıç noktasından 3 kenardan biri. Bu durumda ve yürüyüş indirgenemez. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {2} ^ {3}, +),}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0} = {\ tfrac {1} {3}} (\ delta _ {(1,0,0)} + \ delta _ {(0,1,0)} + \ delta _ {(0,0,1)}):}$ ${\ displaystyle H_ {0} = \ langle {\ text {supp}} (\ mu _ {0}) \ rangle = G,}$
Adım ise ve adımın iki final sınıfı varsa: 2 yatay yüz. ${\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (\ delta _ {(1,0,0)} + \ delta _ {(0,1,0)}),}$ ${\ displaystyle H_ {1} = \ langle {\ text {supp}} (\ mu _ {1}) \ rangle = \ mathbb {Z} _ {2} ^ {2} \ times \ {0 \},}$
Adım ise ve yürüyüşün 4 final sınıfı varsa: 4 dikey kenar. ${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ delta _ {(0,0,1)},}$ ${\ displaystyle H_ {2} = \ {0 \} ^ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2},}$
Adım ise ve yürüyüşün iki final sınıfı varsa: 2 yazılı tetrahedra. ${\ displaystyle \ mu _ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (\ delta _ {(0,1,1)} + \ delta _ {(1,0,1)}),}$ ${\ displaystyle | H_ {3} | = 4,}$

Sekizgende rastgele adımlar:

1 st Şekil Karşı Markov zincir rasgele bir mesafededir siklik grubu no Bu örnekte, ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8},}$ ${\ displaystyle \ mu = p \ delta _ {1} + q \ delta _ {- 1}.}$ ${\ displaystyle H = \ langle {\ text {supp}} (\ mu) \ rangle = \ mathbb {Z} _ {8}.}$
2 E karşı şekil Markov zincir rasgele bir mesafededir dihedral grubu adımlarının simetri kare olan, (a, c) diyagonal (ABCD) göreli yatay eksende kare şeklinde bir simetri olan diğer iki simetri ve ; açı dönüşüdür Bu örnekte, ${\ displaystyle D_ {4},}$ ${\ displaystyle \ nu = p \ delta _ {\ tau} + q \ delta _ {\ rho},}$ ${\ displaystyle \ tau = (b, d)}$ ${\ displaystyle \ rho = (a, b) (c, d)}$ ${\ displaystyle \ tau \ circ \ rho \ circ \ tau}$ ${\ displaystyle \ rho \ circ \ tau \ circ \ rho}$ ${\ displaystyle \ sigma = \ rho \ circ \ tau = (a, b, c, d)}$ ${\ displaystyle \ pi / 2.}$ ${\ displaystyle H = \ langle {\ text {supp}} (\ nu) \ rangle = D_ {4}.}$

Bu nedenle, iki zincir indirgenemez ve tekdüze durağan yasanın pozitif olarak tekrarlanır.

Sözlük: Markov zincir grafikleri

Raporda olduğunu erişilebilir raporundan ve aşağıdaki iki koşullardan yalnızca biri karşılandığında ise: j{\ displaystyle j} $j$ ben{\ displaystyle i} $ben$
- grafikte yukarıdan yukarıya giden bir yol var $ben$ $j$ ${\ displaystyle G,}$
- ${\ displaystyle i = j.}$
Bir Markov zinciridir indirgenemez ise ve grafik yalnızca güçlü bağlı , yani herhangi bir çifti için, eğer bir yol vardır Grafiğin köşeler için ve bir yol için $i \ neq j$ $ben$ $j$ $j$ ${\ displaystyle i.}$
Bir Markov zinciri sınıfı , grafiğinin güçlü bir şekilde bağlantılı bir bileşenidir . Sayfanın üst kısmındaki ilk şekilde (1, 2, 3, 4, 5 durumlarıyla), Markov zincir grafiğinin neden olduğu yönsüz grafiğin birbirine bağlı 2 bileşeni vardır , ancak Markov zincir grafiği (yönlendirilmiş bir grafiktir) sahip 3 kuvvetle bağlı bileşenleri nedeniyle 2 iletişim kurduğu ne 1'den, ne de 3 ile.

Bir Markov zincirinin grafiği ve olasılıksal özellikler

Bir Markov zincirinin durumlarının belirli olasılık özellikleri, aynı sınıfın tüm durumları tarafından paylaşılır. Daha kesin:

bir sınıf nihai değilse, tüm durumları geçicidir (veya geçicidir), $VS$
bir sınıf hem nihai hem de sonlu ise, tüm durumları pozitif yinelemelidir . $VS$

Nihai bir sınıfın durumlarının tümü geçici olabilir (örneğin, önyargılı basit yürüme durumunda veya sıfır tekrarlayanların tümü) (örneğin, simetrik basit yürüyüş durumunda en fazla, söz konusu son sınıf sonsuzdur Pozitif yinelenen sonsuz son sınıf örnekleri de vardır. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}),}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}).}$

Aksi takdirde,

varsa tekrarlayan sınıfında , daha sonra herhangi bir devlet arasında , tekrarlayan olduğunu $ben$ $VS$ $j$ $VS$
Bir varsa olumlu tekrarlayan sınıfında , daha sonra herhangi bir devlet arasında olumlu tekrarlayan olduğunu $ben$ $VS$ $j$ $VS$
varsa boş tekrarlayan sınıfında , daha sonra herhangi bir durum arasında , boş tekrarlayan $ben$ $VS$ $j$ $VS$
varsa geçici sınıfında , daha sonra herhangi bir devlet arasında , geçici olduğunu $ben$ $VS$ $j$ $VS$
varsa bir dönem sınıfında , daha sonra herhangi bir devlet arasında bir dönemdir $ben$ $d$ $VS$ $j$ $VS$ ${\ displaystyle d}$
varsa sınıfta periyodik olmayan , daha sonra herhangi bir devlet arasında aperiodic olduğunu. $ben$ $VS$ $j$ $VS$

Bu nedenle, sınıfın geçici, tekrarlayan, periyodik olmayan vb. Olduğunu söylüyoruz . çünkü bunlar aslında sınıfın özelliklerinin yanı sıra belirli bir durumun özellikleridir. $VS$