Bir üçgenin yüksekliği

Olarak düzlem geometrisi , bir üçgenin yüksekliği olarak adlandırılır üçgenin ve bu tepe tarafı üzerindeki ortogonal çıkıntının her biri tarafından oluşturulan üç düz parçaların her.

Diklik merkezi

Bir üçgenin üç yüksekliği eşzamanlıdır. Kesişme noktaları H, üçgenin ortası olarak adlandırılır .

Gösteri

Merkezin homotitesini , üçgenin ağırlık merkezi ve –2 oranını ele alıyoruz . ABC üçgenini A'B'C 'üçgenine dönüştürür.

[BC] nin orta noktası I noktası, görüntü için A noktasına sahiptir ve bu nedenle [B'C "nin orta noktasıdır. A'dan kaynaklanan yükseklik [BC] 'ye, dolayısıyla [B'C'] 'ye diktir. Aynı zamanda orta noktasından da geçtiği için, segmentin [B'C '] dikey açıortayını oluşturur.

Böylelikle ABC üçgeninin üç yüksekliğinin A'B'C 'üçgeninin üç dikey bisektörü olduğunu kanıtlıyoruz. Bu nedenle eşzamanlıdırlar .

Ortomerkez, sistemlerin bariyer merkezidir  :

(ATBVSbronzlaşmak⁡AT^bronzlaşmak⁡B^bronzlaşmak⁡VS^){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\\ tan {\ hat {A}} & \ tan {\ hat {B}} & \ tan {\ hat {C}} \ end {pmatrix} }}veya hatta . (ATBVS-de/çünkü⁡AT^b/çünkü⁡B^vs/çünkü⁡VS^){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ a / \ cos {\ hat {A}} & b / \ cos {\ hat {B}} & c / \ cos {\ hat {C} } \ end {pmatrix}}}(ATBVS1b2+vs2--de21vs2+-de2-b21-de2+b2-vs2){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ {\ frac {1} {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}}} ve {\ frac {1} { c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}}} & {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}} \ end {pmatrix }}}

Onun trilinear koordinatları üçgenin kenarları ile ilgili olarak vardır ya . 1/çünkü⁡AT^:1/çünkü⁡B^:1/çünkü⁡VS^{\ displaystyle 1 / \ cos {\ hat {A}}: 1 / \ cos {\ hat {B}}: 1 / \ cos {\ hat {C}}}çünkü⁡AT^-günah⁡B^günah⁡VS^:çünkü⁡B^-günah⁡VS^günah⁡AT^:çünkü⁡VS^-günah⁡AT^günah⁡B^{\ displaystyle \ cos {\ widehat {A}} - \ sin {\ widehat {B}} \ sin {\ widehat {C}}: \ cos {\ widehat {B}} - \ sin {\ widehat {C} } \ sin {\ widehat {A}}: \ cos {\ widehat {C}} - \ sin {\ widehat {A}} \ sin {\ widehat {B}}}

Üçgenin üç köşesi ve bunların ortası bir ortoentrik dörtgen oluşturur  : bu noktaların her biri, diğer üç noktanın oluşturduğu üçgenin merkez merkezidir.

Bir üçgende, üçgende yazılı dairenin merkezi ve dışarı atılan dairelerin merkezleri de bir ortoentrik dörtgen oluşturur.

Orto merkezin simetrik

Üçgenin kenarlarının orta noktalarına göre orto merkez H'nin simetrik A 1 , B 1 ve C 1'i , sınırlı daire üzerinde bulunur .

Ortogonal simetrik bir 2 , B 2 ve C 2 üçgenin kenarlarının göre orthocenter da sınırlandırılmış daire üzerinde bulunmaktadır.

Gözlemden bir yandan , diğer yandan bunun için ve aynı şey olduğu sonucuna varılır . ATHVS^=AT^+VS^{\ displaystyle {\ widehat {AHC}} = {\ widehat {A}} + {\ widehat {C}}}ATB1VS^=ATHVS^=π-B^{\ displaystyle {\ widehat {AB_ {1} C}} = {\ widehat {AHC}} = \ pi - {\ widehat {B}}}B2{\ displaystyle B_ {2}}

Eşitliği kullanan başka bir kanıt için bkz. Euler Çemberi .

Taylor Çemberi

A ', B' ve C 'üçgenin yüksekliklerinin ayakları olsun. Biz A ile ifade 2 ve A 3 ortogonal projeksiyonlar 'iki AB ve üçgenin ac ve B, aynı şekilde tanımlamak A 2 ve oda 3 B'ye göre' ve C 2 ve C 3 C ile ilgili '. Bu şekilde tanımlanan altı nokta koksikliktir: üçgenin Taylor dairesinde yer alırlar .

Şunlara sahibiz: (A 2 A 3 , BC) = (AB, AC), (A 2 A 3 ) çizgisi (AB) ve (AC) 'ye göre (BC)' nin antiparalelidir ve (B 2 B 3 ) ve (C 2 C 3 ).

(B 2 C 2 ), (BC) 'ye paraleldir. Aynı şekilde (A 2 C 3 ) // (AC) ve (A 3 B 3 ) // (AB).

Taylor çemberi adı verilen belirli bir Tücker çemberinin konfigürasyonudur .

A 2 A 3 = B 2 B 3 = C 2 C 3 buluyoruz .

Bu altı çıkıntıya sahip olan altıgen, Katalan altıgenidir .

Taylor daire merkezi

Çıkıntıları birleştiren üç çizgi (A 1 A 2 ), (B 1 B 2 ) ve (C 1 C 2 ) ortik üçgenin kenarlarına paraleldir ve orta noktaları P, Q ve R'de kenarlarını keser. Bu çizgiler ortik üçgenin orta üçgeni olan PQR üçgeninin kenarlarını belirler .

Merkez , O-X52'nin ortasındaki X15, X32 noktalarından geçen, çevrelenmiş dairenin O merkezini Lemoine noktasına bağlayan çizgi üzerindedir.

ABC üçgeninin ise acutangle sonra Taylor dairenin merkezi orthic üçgenin medyan üçgeninde çizilen çemberin merkezidir.

ABC üçgeni genişse , Taylor dairesinin merkezi PQR üçgeninin açıklanmış dairelerinin merkezlerinden biridir . Daha doğrusu, ABC A'da geniş ise (sırasıyla B'de, C'de), Taylor dairesinin merkezi, PQR'de köşe açısı P, [B'C ']' nin orta noktası (sırasıyla Q [C'A '] orta noktası, [A'B'] R orta noktası).

Ortik eksen

ABC üçgeninde, A '(sırasıyla B' ve C ') A'dan (sırasıyla B ve C'den) yüksekliğin ayağı olsun.

A 1 , B 1 ve C 1 , ABC üçgeninin kenarlarının ve A'B'C ' ortik üçgeninin kenarlarının diğer üç kesişme noktasıdır: A 1 ile (BC) ve (B' C'nin kesişimini gösteriyoruz) '), B 1 (AC) ve (A'C') kesişimidir , C 1 (AB) ve (A'B ') kesişimidir.

Üç nokta A 1 , B 1 ve C 1 , üçgenin ortik ekseni adı verilen bir doğru üzerinde hizalanır .

Orthic eksen de radikal ekseni arasında sınırlandırılmış daire ve Euler daire .

Euler hattı , iki dairenin merkezinin çizgi eksenine diktir.

Ayrıca görün

Kaynakça

• Jacques Bouteloup, "  Tücker Çemberleri  ", Quadrature ,Ocak-Mart 2007( çevrimiçi okuyun )
• Jean-Denis Eiden, Klasik analitik geometri , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Jean Fresnel, Geometride modern yöntemler
• Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , C&M ( ISBN  978-2-916352-12-1 )

İlgili Makaleler

• Hamilton teoremi

Dış bağlantılar

• Patrice Debart, "  Orthic Üçgen  " , Descartes ve Matematik üzerine