Tahmin lemması
Gelen matematik , kestirim lemması (aynı zamanda standart tahmin lemması ) bir verir üst sınırı a (modülü) karmaşık kavisli integrali . Bu lemma , belirli bir sınıra geçerken bir kontur parçası boyunca integralin sıfıra eğilim gösterdiğini göstermek için karmaşık analizde yaygın olarak kullanılır . Böylece kalıntı teoremini kullanarak tam olarak belirli integralleri hesaplayabiliriz .
Devletler
Eğer f karmaşık değişkenli bir fonksiyondur ve değerleri kompleks , devam yolu düzeltilebilir üzerine y elimizde:
|∫yf(z)dz|≤L(y)maksimumz∈benmy|f(z)|{\ displaystyle \ sol | \ int _ {\ gamma} f (z) \ matematik {d} z \ sağ | \ leq \ matematik {L} (\ gamma) \ max _ {z \ in \ matematik {Im} \ , \ gama} | f (z) |}![{\ displaystyle \ sol | \ int _ {\ gamma} f (z) \ matematik {d} z \ sağ | \ leq \ matematik {L} (\ gamma) \ max _ {z \ in \ matematik {Im} \ , \ gama} | f (z) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5be5b8c286c2d029c42f477322e765cec21f778)
burada L (γ) olan doğrultulabilir yolunun uzunluğu . Üst sınırın var olduğuna ve ulaşıldığına (bu nedenle bir maksimum olduğuna) dikkat edin, çünkü doğrultulabilir bir yolun görüntüsü kompakt ve f süreklidir. Karıştırmamaya burada dikkatli olun Im y burada yol imajını belirler y bir alt kümesini demek ki, birlikte, hayali parçanın bir y .
VS{\ displaystyle \ matematik {C}}![\ matematik {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
Biz sezgisel haklı lemma , aşağıdaki gibi: yol bölerek y içine n -1 art arda küçük uç yay z 1 , ..., z , n , bir Riemann toplamı kavisli integralini yaklaşım:
ben=∫yf(z)dz≈∑k=1değil-1f(vsk)(zk+1-zk){\ displaystyle I = \ int _ {\ gama} f (z) \ matematik {d} z \ yaklaşık \ toplam _ {k = 1} ^ {n-1} f (c_ {k}) (z_ {k + 1} -z_ {k})}![{\ displaystyle I = \ int _ {\ gama} f (z) \ matematik {d} z \ yaklaşık \ toplam _ {k = 1} ^ {n-1} f (c_ {k}) (z_ {k + 1} -z_ {k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d00f5b59fa92ed3329884b74e4a71fa2224ca7)
burada c k , z k ile z k +1'i birleştiren yayın keyfi bir noktasıdır . Toplamın her teriminin modülü M | z k 1 - z k | , burada M maksimum | f | üzerine y ve | z k 1 - z k | z k ile z k +1'i birleştiren kirişin uzunluğudur . Bu dizilerin uzunluklarının toplamı γ yolunun uzunluğuna yaklaştıkça , artış | ben | ≤ M L (y) .
gösteri
Ya parçalı bir sınıf yolu , elimizde:
y:[de,b]→VS,t↦y(t){\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {C}, t \ mapto \ gamma (t)}
VS1{\ görüntü stili {\ matematiksel {C}} ^ {1}}![{\ görüntü stili {\ matematiksel {C}} ^ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9791a5c97f2cf7a4a7ab3559dc4968fc60590fe)
|ben|=|∫yf(z)dz|=|∫debf(y(t))y′(t)dt|{\ displaystyle | I | = \ sol | \ int _ {\ gamma} f (z) \ matematik {d} z \ sağ | = \ sol | \ int _ {a} ^ {b} f (\ gama (t) )) \ gama '(t) \ matematik {d} t \ sağ |}![{\ displaystyle | I | = \ sol | \ int _ {\ gamma} f (z) \ matematik {d} z \ sağ | = \ sol | \ int _ {a} ^ {b} f (\ gama (t) )) \ gama '(t) \ matematik {d} t \ sağ |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362ed378f09f4f2902a731999e1e2f01a6d04d6f)
aşağıdaki gibi artırılabilir:
|ben|≤∫deb|f(y(t))||y′(t)|dt{\ displaystyle | I | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ sol | f (\ gamma (t)) \ sağ | \ sol | \ gama '(t) \ sağ | \ matrm {d} t }![{\ displaystyle | I | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ sol | f (\ gamma (t)) \ sağ | \ sol | \ gama '(t) \ sağ | \ matrm {d} t }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c731cdfc81a996d31dfbccc92c6d56040b9d5459)
Yoldaki f modülünü artırarak ve bir yayın uzunluğunu tanımlayarak , şunları elde ederiz:
|ben|≤maksimumt∈[de,b]|f(y(t))|∫deb|y′(t)|dt ve L(y)=∫deb|y′(t)|dt{\ displaystyle | I | \ leq \ max _ {t \ [a, b]} | f (\ gamma (t)) | \ int _ {a} ^ {b} \ sol | \ gama '(t) \ sağ | \ matematik {d} t {\ metin {et}} \ matematik {L} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ sol | \ gamma '(t) \ sağ | \ matematik {d} t}![{\ displaystyle | I | \ leq \ max _ {t \ [a, b]} | f (\ gamma (t)) | \ int _ {a} ^ {b} \ sol | \ gama '(t) \ sağ | \ matematik {d} t {\ metin {et}} \ matematik {L} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ sol | \ gamma '(t) \ sağ | \ matematik {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb02f5e8c2275c18ed910200f71fe89088231aa)
dolayısıyla nihayet:
|ben|≤L(y)maksimumz∈benmy|f(z)|{\ displaystyle | I | \ leq \ matematik {L} (\ gamma) \ maks _ {z \ in \ matematik {Im} \, \ gamma} | f (z) |}![{\ displaystyle | I | \ leq \ matematik {L} (\ gamma) \ maks _ {z \ in \ matematik {Im} \, \ gamma} | f (z) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a525d7c846f6d1442a3ee8adb40fede66438d4)
Kullanım örneği
bunu göstermeye çalışıyoruz
∫-∞+∞1(x2+1)2dx=π2.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} \, \ matematik {d} x = {\ frak {\ pi} {2}}.}![{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} \, \ matematik {d} x = {\ frak {\ pi} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858e2468abfb08278001f757868507ad79ef4ffd)
Bunun için iki parçadan oluşan bir dantel ele alacağız : a birincisi, merkezi 0 ve yarıçapı a > 1 olan, üst düzlemde yer alan, γ a ile gösterdiğimiz doğrudan yönde çaprazlanan yarım dairedir (karşıdaki şekil 2'de gösterilmiştir). ) ve ikincisi [- a , a ] segmentidir . Hesaplamaya çalıştığımız integralin integralini f ile gösterelim , yani
f(z)=1(z2+1)2.{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}}.}![{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c231980ba66472c802e7ffe59accd00a5ce3dcab)
Bu ise meromorfik fonksiyonu ile ilgili olan (çift) kutuplar yer almaktadır z = ± i . Sadece z = i'deki kutup dantelin içindedir ve bu noktada kalan şudur:
VS{\ displaystyle \ matematik {C}}![\ matematik {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
$es(f,+ben)=limz→benddz((z-ben)2(z2+1)2)=14ben{\ displaystyle \ matrm {Res} (f, + i) = \ lim _ {z \ ila i} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ matrm {d} z}} \ sol ({\ frac { (z- \ matematik {i}) ^ {2}} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ) = {\ frac {1} {4 \ matematik {i}}}}![{\ displaystyle \ matrm {Res} (f, + i) = \ lim _ {z \ ila i} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ matrm {d} z}} \ sol ({\ frac { (z- \ matematik {i}) ^ {2}} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ) = {\ frac {1} {4 \ matematik {i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ae1af6e82f9f8d848ca6a1edf47c740a0c92f4)
1. dereceden türevi, kutbun çift olduğu gerçeğinden gelir.
Göre kalıntı teoremi ne olursa olsun, bir > 1:
(∗)∫-dededx(x2+1)2+∫ydedz(z2+1)2=2πben$es(f,+ben)=π2.{\ displaystyle (*) \ qquad \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {\ matematik {d} x} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} + \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ matrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} = 2 \ pi \ matrm {i} \, \ matrm {Res } (f, + \ matematik {i}) = {\ frac {\ pi} {2}}.}![{\ displaystyle (*) \ qquad \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {\ matematik {d} x} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} + \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ matrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} = 2 \ pi \ matrm {i} \, \ matrm {Res } (f, + \ matematik {i}) = {\ frac {\ pi} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a42dcf81eaecacd542599147d0b0f86c178443)
Daha sonra aşağıdakiler için bir üst sınıra göre bulması gerektiğinde sınıra geçmeye çalışır :
de→+∞{\ displaystyle a \ to + \ infty}![{\ displaystyle a \ to + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c96fc1185b9611bd7b25217dcfbcfcb3720bb6)
|∫ydedz(z2+1)2|{\ displaystyle \ sol | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ matematik {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ |}![{\ displaystyle \ sol | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ matematik {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3894a24f504774608fc0edf7c066ac1fa9f82326)
tahmin lemması sayesinde elde edeceğiz. Yolun uzunluğu, yarıçapı a olan bir dairenin çevresinin yarısıdır ; Böylece sahibiz :
L(yde)=πde{\ displaystyle \ matematik {L} (\ gamma _ {a}) = \ pi a}![{\ displaystyle \ matematik {L} (\ gamma _ {a}) = \ pi a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc545b522cb9cbb5468fdf9c07692aa73f533d4)
Daha sonra yol üzerindeki integralin modülü için bir üst sınır M a ararız. By üçgen eşitsizliği elimizde:
|z|2=|z2+1-1|≤|z2+1|+1{\ displaystyle | z | ^ {2} = | z ^ {2} + 1-1 | \ leq | z ^ {2} +1 | +1}![{\ displaystyle | z | ^ {2} = | z ^ {2} + 1-1 | \ leq | z ^ {2} +1 | +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175c9e1588b2b905d7c6a7adc667882b6b0e8068)
Bu nedenle, γ a yolunda ,
|z2+1|≥|z|2-1=de2-1>0{\ displaystyle | z ^ {2} +1 | \ geq | z | ^ {2} -1 = bir ^ {2} -1> 0}![{\ displaystyle | z ^ {2} +1 | \ geq | z | ^ {2} -1 = bir ^ {2} -1> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464705478d457f2d27cdb2ed2dea0183eff2f05b)
Yani :
∀z∈yde{\ displaystyle \ forall z \ in \ gamma _ {a}}![{\ displaystyle \ forall z \ in \ gamma _ {a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47b7b7eff0b0821f9f28d41e30e05ad08a3f1ed)
|1(z2+1)2|≤1(de2-1)2=Mde{\ displaystyle \ sol | {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ | \ leq {\ frac {1} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}} = M_ {a}}![{\ displaystyle \ sol | {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ | \ leq {\ frac {1} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}} = M_ {a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb86128a30c464cc398031c7000142ce4983943)
Bu nedenle, lemmayı uygulayarak şunları elde ederiz:
|∫ydedz(z2+1)2|≤πde(de2-1)2{\ displaystyle \ sol | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ matematik {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ | \ leq { \ frac {\ pi a} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ sol | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ matematik {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ sağ | \ leq { \ frac {\ pi a} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3ea0f6a9f84684f2d52c126f4316e9b4b7e0f2)
Bunu takip ediyor
limde→+∞∫ydedz(z2+1)2=0.{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {\ gama _ {a}} {\ frac {\ matematik {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2} }} = 0.}![{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {\ gama _ {a}} {\ frac {\ matematik {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2} }} = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9eacccda69f0343e979b65f121043e02713fc30)
Sınıra geçerek içinde , biz açıkladı ilişkiyi anlamak.
de→+∞{\ displaystyle a \ to + \ infty}
(∗){\ görüntü stili (*)}![(*)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae74f24018ce1ff0dc698dbe8181555eb4cd768)
Şuna da bakın:
Notlar
-
kullanarak üçgen eşitsizliği sadece yani için gerçek veya karmaşık bir k .|∑k=1değildek|≤∑k=1değil|dek|{\ displaystyle \ sol | \ toplam _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ sağ | \ leq \ toplam _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} |}
Referanslar
(in) Serge Lang , kompleks analiz , Springer, 1999, 4 th Ed. ( ISBN 0-387-98592-1 )
-
Michèle Audin , Karmaşık Analiz , Strasbourg Üniversitesi'nden ders notları
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">