Kruskal-Szekeres için iletişim bilgileri
Kruskal-Szekeres ( ) koordinatları olan maksimum analitik uzantısı arasında schwarzschild metriği . Schwarzschild'in çözümlerine ek çözümler sağlarlar, özellikle kara deliklere karşılık gelen ikili bir alan vardır : beyaz delikler .
v,sen,θ,ϕ{\ displaystyle v, u, \ teta, \ phi}
Eponymous koordinatlar matematikçi ve fizikçi Amerikan Martin D. Kruskal (1925-2006) ve Hungaro - Avustralyalı matematikçi György (George) Szekeres (1911-2005) her ikisi de onları teklif etti 1960Schwarzschild kara deliğinin geometrisini tanımlamak için .
Kruskal-Szekeres koordinatlarında Schwarzschild metriği yazılır:
ds2=32G3M3rvs6tecrübe(-rvs22GM)(dv2-dsen2)-r2(dθ2+günah2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {rc ^ {6}}} \ operatöradı {exp} \ sol (- {\ frac {rc ^ {2}) } {2GM}} \ sağ) \ sol (dv ^ {2} -du ^ {2} \ sağ) -r ^ {2} \ sol (d \ teta ^ {2} + \ günah ^ {2} \ teta \, d \ phi ^ {2} \ sağ)},
veya:
-
G{\ görüntü stili G}olan yerçekimi sabiti ,
-
vs{\ görüntü stili c}bir ışık hızı ,
-
M{\ görüntü stili M}bir kütle ,
-
r{\ görüntü stili r}bir fonksiyonudur ve .sen{\ ekran stili u}v{\ görüntü stili v}
İle ( bakınız schwarzschild yarıçapı ), ( bakınız, üstel fonksiyon ) ve ( bakınız katı açı ), yazılıdır:
$S=2GM/vs2{\ displaystyle R _ {\ matematik {S}} = 2GM / c ^ {2}} tecrübe(x)=ex{\ displaystyle \ operatöradı {exp} \ sol (x \ sağ) = e ^ {x}} dΩ2=dθ2+günah2θdϕ2{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ teta ^ {2} + \ günah ^ {2} \ teta \, d \ phi ^ {2}}
ds2=4$S3re-r$S(dv2-dsen2)-r2dΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4R _ {\ matematik {S}} ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {R _ {\ matematik { S} }}}} \ sol (dv ^ {2} -du ^ {2} \ sağ) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}.
Olarak geometrik birimi ( ), yazılıdır:
vs=G=1{\ görüntü stili c = G = 1}
ds2=32M3re-r2M(dv2-dsen2)-r2dΩ2{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {32M ^ {3}} {r}} \, e ^ {- {\ frac {r} {2M}}} \ sol (dv ^ {2} -du ^ {2} \ sağ) -r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}.
Tarihi
İçinde Aralık 1915, Karl Schwarzschild ilk kesin çözüm tarif Einstein denklemlerinin beklenmedik tekillik, ortaya, Schwarzschild çapındaki kötü uzun süre anlaşılamamıştır doğası olan,.
1924'te Arthur Eddington , bu ünlü yarıçapa sahip ilk tekil olmayan koordinat sistemini çizdi. 1938'de Georges Lemaître senkron bir metrik geliştirdi ( Lemaître metriği ); David Finkelstein (tr) 1958'de senkron olmayan bir başkasını keşfetti ve bugün Eddington-Finkelstein metriği olarak adlandırıldı . Synge, bu son ölçümün, tıpkı Lemaître'deki gibi, Schwarzschild'in uzay-zaman geometrisinin yalnızca bir kısmını kapsadığını gösterecek: bu ölçümler, bir Schwarzschild kara deliğinin ortamındaki bir cismin tüm dinamik durumlarını dikkate almamıza izin vermiyor . Ancak bu yarıçapın gerçek, fiziksel bir tekillik olmadığını, sadece Schwarzschild tarafından seçilen metrik için olduğunu göstermişlerdir.
In 1960 , Martin Kruskal ve George Szekeres bir vücut dışından ve Schwarzschild yarıçapı altında hareketlerin her türlü çalışma yeni bir metrik inşa etti.
Kruskal-Szekeres iletişim bilgileri
Kural: Metrik imzası (- + + +) şeklindedir.
Kruskal ve Szekeres , yeni metrikteki terimi ortadan kaldırmak için tanımlanan radyal koordinat ve zaman koordinatı için boyutsuz koordinatlar kullanır . Aşkın işlevlerle yeniden yapılandırılırlar .
sen{\ ekran stili u}v{\ görüntü stili v}(1-$sr){\ görüntü stili (1- \ metin stili {\ frac {R_ {s}} {r}})}r(sen,v),t(sen,v){\ görüntü stili r (u, v), t (u, v)}
Değişkenler ve şu şekilde tanımlanır:sen{\ ekran stili u}v{\ görüntü stili v}
- sen2-v2=(r$s-1)er$s{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = (\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}} - 1) e ^ {\ textstyle {\ frac {r} {R_ {s} }}}}
- sen+vsen-v=evst$s{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {u + v} {uv}} = e ^ {\ textstyle {\ frac {ct} {R_ {s}}}}}
Zaman için iki durum vardır:
- eğer öyleyse ;r(sen,v)>$s{\ displaystyle r (u, v)> R_ {s}}tanvst2$s=vsen{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {v} {u}}}
- öyleyse o zaman .r(sen,v)<$s{\ görüntü stili r (u, v) <R_ {s}}tanvst2$s=senv{\ displaystyle \ tanh {\ frac {ct} {2R_ {s}}} = {\ frac {u} {v}}}
Köşegen metriği alıyoruz:
ds2=4.$s3re-r$s(dsen2-dv2)+r2(dθ2+sbendeğil2θdϕ2){\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4.R_ {s} ^ {3}} {r}} e ^ {- \ textstyle {\ frac {r} {R_ {s}}}} (dan ^ {2} -dv ^ {2}) + r ^ {2} (d \ teta ^ {2} + günah ^ {2} \ teta d \ phi ^ {2})}
hangi her şey için tanımlanmıştır . Zaman t ise Schwarzschild ( ) yarıçapında sonsuzdur .
r(sen,v)>0{\ görüntü stili r (u, v)> 0}sen=±v{\ displaystyle u = \ pm v}
Özellikleri
Schwarzschild metriğinin tekil patolojisi için , ilişki ikame edilir .
r=0{\ görüntü stili r = 0}v2-sen2=1{\ displaystyle v ^ {2} -u ^ {2} = 1}
Yani şimdi iki tekilliğimiz var .
{sen=v2-1sen=-v2-1{\ displaystyle {\ başlangıç {durumlar} u = {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \\ u = - {\ sqrt {v ^ {2} -1}} \ bitiş {durumlar}}}
Çizgiler olarak Schwarzschild koordinatları hiperbollerin olan Kruskal koordinatlarda. Asimptotları bisektörlerdir ve . Hatlar Schwarzschild koordinatlarda hatlarıdır Kruskal koordinatlarında kökenli geçen. Tekillikler, yandaki çizimde gri hiperbolik bölgelerin sınırları ile temsil edilmektedir.
r=VSste{\ displaystyle r = Cste}sen2-v2=VSste{\ displaystyle u ^ {2} -v ^ {2} = Cste}sen=v{\ görüntü stili u = v}sen=-v{\ görüntü stili u = -v}t=VSste{\ görüntü stili t = Cste}v/sen=VSste{\ displaystyle v / u = Cste}
Hafif tip jeodezikler, 45 ° 'ye yönlendirilmiş çizgilerdir. Sahip olduğumuzu doğrulamak kolaydır .
ds=0{\ görüntü stili ds = 0}dsen2=dv2{\ displaystyle du ^ {2} = dv ^ {2}}
Schwarzschild metriği, olay ufku tarafından sınırlandırılan iki uzay-zaman bölgesi arasında ayrım yapar. Bölge Kruskal-Szekeres metriği ile ikiye bölünmüştür.
r>2M{\ displaystyle r> 2M}
Koşul karşılık gelir .
r>$s{\ displaystyle r> R_ {s}}sen2>v2{\ displaystyle u ^ {2}> v ^ {2}}{sen>|v|sen<-|v|{\ displaystyle {\ başlangıç {durumlar} u> | v | \\ u <- | v | \ bitiş {durumlar}}}
Bu nedenle tüm Schwarzschild geometrisi Kruskal koordinatlarında dört farklı bölge ile temsil edilir.
Notlar ve referanslar
-
Taillet, Villain ve Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinatları), s. 414, sütun. 1 .
-
Hobson, Efstathiou ve Lasenby 2010 , bölüm. 11 , § 11.9 , s. 264.
-
Taillet, Villain ve Febvre 2018 , sv Kruskal-Szekeres (koordinatları), s. 414, sütun. 2 .
-
Kruskal 1960 .
-
Szekeres 1960 .
-
Kuyruk 2013 , s. 61.
-
(in) AS Eddington , ' Whitehead'in ve Einstein'ın formüllerinin karşılaştırılması "Şubat 1924( DOI 10.1038 / 113192a0 , Bibcode 1924Natur.113..192E ) ,s. 192 url =http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
-
Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 2: Alan teorisi [ baskıların ayrıntıları ], §102, dipnot.
-
Synge, JL, Bir parçacığın yerçekimi alanı , 1950, Proc. R. İrlanda Acad. 53, 83-114.
-
Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 2: Alan teorisi [ baskıların ayrıntıları ], §103, dipnot. Landau , 1963'te benzer özelliklere sahip senkron bir metrik elde eden Igor Novikov'un çalışmalarını da çağrıştırıyor .
Şuna da bakın:
Kruskal ve Szekeres'in orijinal makaleleri
-
[Kruskal 1960] (tr) MD Kruskal , “ Schwarzschild metriğinin maksimum uzantısı ” , Phys. Rev. , cilt 119, n o 5,Eylül 1960, s. 1743-1745 ( DOI 10.1103 / PhysRev.119.1743 , Bibcode 1960PhRv..119.1743K , özet ).
-
[Szekeres 1960] (tr) G. Szekeres , “ Bir Riemann manifoldunun tekillikleri üzerine ” , Yayın. Matematik. (Debr.) , Cilt. 7,1960, s. 285-301 ( Bibcode 1960PMatD ... 7.285S ).
bibliyografya
-
[Hobson, Efstathiou ve Lasenby 2010] MP Hobson , GP Efstathiou'yla ve AN Lasenby ( trans. Of Engl. By L. Villain , devir. By R. Taillet ) Genel Görelilik [ " Genel Görelilik: fizikçiler için bir giriş "], Brüksel , De Boeck Üniv. , col hariç . ,Şubat. 2010, 1 st ed. , 1 cilt , XX -554 s. , hasta. 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690.272.413 , ihbar BNF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuma ) , böl. 11 (“Schwarzschild kara delikleri”), § 11.9 (“Kruskal koordinatları”), s. 261-267.
-
[Misner, Thorne ve Wheeler 1973] (tr) Ch. W. Misner , KS Thorne ve JA Wheeler , Gravitasyon ["Yerçekimi"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 cilt , XXVI -1279 s. , hasta. 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 ve 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300.307.879 , bildirim BNF n O FRBNF37391055 , bibcode 1973grav.book ..... E , SUDOC 004.830.148 , Online okuma ) , s. 827 ve s. 831-836.
-
[Taillet, Villain ve Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain ve P. Febvre , Fizik Sözlüğü , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , col hariç . ,Ocak 2018, 4 th Ed. ( 1 st ed. Mayıs 2008), 1 cilt. , X -956 s. , hasta. ve şek. , 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuma ) , sv Kruskal-Szekeres (iletişim bilgileri), s. 414-415.
Dış bağlantı
-
[Szeftel 2013] J. Szeftel , " Matematiksel bir bakış açısından genel göreliliğe giriş ", Ecole polytechnique'in Gargantua tabanı ,Aralık 2013, 79 s. , böl. 6 (“Açık çözüm örnekleri”), bölüm. 6.2 (“Schwarzschild çözümü”), 6.2.1. (“Çözüm ve maksimum uzatma”), s. 59-61 ( çevrimiçi okuyun ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">