Origami matematiği

Origami kıvrımları matematikte geometrik yapılar yapmak için kullanılır . Kullanılan bükme yöntemlerine bağlı olarak, cetvele ve pusulaya özgü olanlardan daha zengin süreçler elde edilir .

Origami resmileştirme

En sık atıfta bulunulan biçimcilik Huzita'nındır . Aslında herhangi bir origamiyi parçalamak için 6 temel kat olan 6 aksiyom içerir . İşte liste:

• Aksiyom 1. Tek bir kat iki noktadan geçer ve belirtilir. p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}

• Aksiyomu 2. Tek kat bir noktaya getiren bir noktaya . p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}

• Aksiyom 3. Katlama, iki çizgiyi üst üste getirir ve . l1{\ displaystyle l_ {1}}l2{\ displaystyle l_ {2}}

• Aksiyom 4. Tek bir katlama bir noktadan geçer ve bir çizgiye diktir . p1{\ displaystyle p_ {1}}l1{\ displaystyle l_ {1}}

• Aksiyom 5. Bir doğru ve iki nokta olsun ve  ; Bir kat geçer ve getiriyor üzerinde . l1{\ displaystyle l_ {1}}p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}p2{\ displaystyle p_ {2}}p1{\ displaystyle p_ {1}}l1{\ displaystyle l_ {1}}

• Aksiyomu 6. Let iki hat ve iki puan ve  ; bir katlama getiren ilgili ve ilgili . l1{\ displaystyle l_ {1}}l2{\ displaystyle l_ {2}}p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}p1{\ displaystyle p_ {1}}l1{\ displaystyle l_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}l2{\ displaystyle l_ {2}}

1'den 4'e kadar aksiyomlar her zaman aksiyomlar 1, 2 ve 4'e özgü en az bir olası yapıya sahiptir. Aksiyom 5 ve 6, nokta ve çizgilerin düzenlenmesine bağlı olarak hiçbirine, bir veya daha fazlasına sahip olabilir. Bu son iki aksiyom, en az bir çözüm olduğunda bunun origami ile elde edilebileceğini ifade eder.

Origami ile oluşturulabilen noktalar, çizgiler ve sayılar

Kendimize iki temel nokta veriyoruz. Bu iki noktadan, origami ile oluşturulabilen noktaları ve çizgileri özyinelemeli olarak şu şekilde tanımlarız:

• Temel noktalar varsayımla oluşturulabilir.
• Yapılandırılabilir nesnelerden 1 ila 6 aksiyomları tarafından tanımlanan kıvrımlar üzerine inşa edilen çizgiler inşa edilebilir.
• İki inşa edilebilir çizginin bir nokta kesişimi inşa edilebilir.

Origami tarafından oluşturulabilen bir sayıya, iki inşa edilebilir noktanın mesafesine eşit bir sayı diyoruz, iki temel nokta bir birim uzaklıkta.

Daha sonra 1) ila 4) aksiyomlarını şu şekilde yorumlayabiliriz:

• Aksiyom 1. İki inşa edilebilir noktadan geçen bir çizgi inşa edilebilir.
• Aksiyom 2. Uçları inşa edilebilir olan bir parçanın dik açıortayının inşa edilebilir olması.
• Aksiyom 3. İki inşa edilebilir hattın açıortay'ı inşa edilebilir.
• Aksiyom 4. İnşa edilebilir bir noktayı inşa edilebilir bir çizgiye geçiren dikey yol inşa edilebilirdir.

Bu dört aksiyom aracılığıyla oluşturulabilen sayılar , cetvel ve kuru noktalı pusula ile oluşturulabilenlerle tamamen aynıdır . Örneğin ya da ama ne ne ne de . Örneğin, bir P noktasının bir çizgiye (L) göre simetrik yapısı. 5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}2+2{\ displaystyle {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}23{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}1+2{\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ sqrt {2}}}}}

(L) 'ye dik olanı P'den geçerek, sonra bu dikeye dik olanı P'den geçerek (başka bir deyişle, (L)' ye paralel olanı P'den geçerek) inşa ederiz. İki bisektörü P'de (L) 'ye paralel ve (L)' ye dik olarak inşa ediyoruz. Bu iki açıortay, (L) 'ye iki yeni dik çizdiğimiz iki noktada (L) kesecektir. Son iki bisektör, aranan P'ye simetrik olarak kesişecektir.

• Aksiyomu 5 düz bir hat ve bir daire kesiştiği aramaya eşdeğerdir.

İlk beş aksiyom aracılığıyla oluşturulabilen sayılar , bir cetvel ve bir pusula ile oluşturulabilen sayılarla tamamen aynıdır .

• Aksiyomu 6 teklifler özellikle güçlü inşaat süreçleri. Bu iki teğet oluşturarak tutarındadır benzetmelerle odak noktaları ve ve ilgili kılavuzların ve .p1{\ displaystyle p_ {1}}p2{\ displaystyle p_ {2}}l1{\ displaystyle l_ {1}}l2{\ displaystyle l_ {2}}

Aksiyom 6, üçüncü dereceden ve dördüncü dereceden denklemlerin yapılandırılabilir katsayılarla çözülmesini mümkün kılar. Bu örneğin verir bir açı üçe bölmek için, küp çoğaltmak veya inşa etmek düzenli yedigen , bir cetvel ve pergel ile yapılamaz şeyler. Altı aksiyom kullanılarak oluşturulabilen sayılar kümesi, rasyonelleri içeren en küçük alandır ve karekök ve kübik kök hesaplama işlemleriyle kararlıdır.

İşte örneğin yapımı . 23{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}

Üçe katladığımız kare bir ABCD olarak düşünüyoruz. A'nın R'ye ve E'nin S'ye getirilmesi için üçüncü bir katlama yapılır. Ardından CR / BR eşittir . 23{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}

Origami ve fraktal katlama

Not yükseklik OA ve bir dikdörtgen genişliği OO' . Let noktasını OB eşit şekilde . Segment üzerine inşa etmek için aynısını yapalım . -de{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}(Ö,AT,AT′,Ö′){\ displaystyle (O, A, A ', O')}B{\ displaystyle B}[Ö,AT]{\ displaystyle [O, A]}b{\ displaystyle b}B′{\ displaystyle B '}[Ö′,AT′]{\ displaystyle [O ', A']}

(Ö,B,B′,Ö′){\ displaystyle (O, B, B ', O')}bir karedir. Geri ikame içinde üzerinde . Kareyi oluşturmak için yüz yüze görüşüne dikkat çekiyoruz . B′{\ displaystyle B '}VS{\ displaystyle C}[AT,AT′]{\ displaystyle [A, A ']}VS′{\ displaystyle C '}[B,B′]{\ displaystyle [B, B ']}(AT′,VS,VS′,B′){\ displaystyle (A ', C, C', B ')}

Dikdörtgen kaldı  ; özellikleri nelerdir? İşte bu şeklin bazı bölümlerinin uzunlukları: (VS,AT,B,VS′){\ displaystyle (C, A, B, C ')}

• [Ö,AT]{\ displaystyle [O, A]}uzunluğu ,-de{\ displaystyle a}
• [Ö,Ö′]{\ displaystyle [O, O ']}ve uzunluğu ,[Ö,B]{\ displaystyle [O, B]}b{\ displaystyle b}
• [AT,B]=[AT,Ö]-[B,Ö]{\ displaystyle [A, B] = [A, O] - [B, O]}bu nedenle uzunluktadır ,-de-b{\ displaystyle ab}
• [AT′,VS]{\ displaystyle [A ', C]}ayrıca uzunluktur ,-de-b{\ displaystyle ab}
• ve bu nedenle uzunluktur .[AT,VS]=[AT,AT′]-[VS,AT′]{\ displaystyle [A, C] = [A, A '] - [C, A']}b-(-de-b){\ displaystyle b- (ab)}

Not dikdörtgenin uzunluğun genişliğe oranı . Elde ederiz : r{\ displaystyle r}(VS,AT,B,VS′){\ displaystyle (C, A, B, C ')}r=b-(-de-b)-de-b{\ displaystyle r = {b- (ab) \ ab üzerinde}}eğer daha uzunsa[AT,VS]{\ displaystyle [A, C]}[AT,B]{\ displaystyle [A, B]} veya r=-de-bb-(-de-b){\ displaystyle r = {ab \ b- (ab)}} üzerindeeğer daha uzunsa .[AT,B]{\ displaystyle [A, B]}[AT,VS]{\ displaystyle [A, C]}

Hızlı rapora dayanarak üzerinde (gösterilir ) . Sırasıyla elde ederiz: r{\ displaystyle r}[Ö,AT]{\ displaystyle [O, A]}[Ö,B]{\ displaystyle [O, B]}α{\ displaystyle \ alpha}α=-deb{\ displaystyle \ alpha = {a \ b üzerinde}}r=2-αα-1{\ displaystyle r = {2- \ alpha \ \ alpha -1 üzerinde}} veya r=α-12-α{\ displaystyle r = {\ alpha -1 \ 2- \ alpha üzerinde}}.

Değeri özellikle ilginçtir; bu, iki ardışık kare kaldırıldıktan sonra kalan dikdörtgenin oranlarının (önce sonra ) orijinal dikdörtgeninki ile aynı olduğu anlamına gelir. r{\ displaystyle r}r=α{\ displaystyle r = \ alpha}(B,Ö,Ö′,B′){\ displaystyle (B, O, O ', B')}(B′,VS′,VS,AT′){\ displaystyle (B ', C', C, A ')}

İki olası çözüm vardır: α=2-αα-1{\ displaystyle \ alpha = {2- \ alpha \ \ alpha -1 üzerinde}} veya α=α-12-α{\ displaystyle \ alpha = {\ alpha -1 \ 2- \ alpha üzerinde}}, sırasıyla veren α=2{\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2}}} veya α=1+52{\ displaystyle \ alpha = {1 + {\ sqrt {5}} \ 2'den fazla}}

İlk durum, yaprakların oranlarıdır (örneğin , standart dikdörtgen yapraklar): ATdeğil{\ displaystyle An}AT4{\ displaystyle A4}

Biçim	Genişlik	Yükseklik
ATdeğil{\ displaystyle An}	2-1/4-değil/2{\ displaystyle 2 ^ {- 1/4-n / 2}}	21/4-değil/2{\ displaystyle 2 ^ {1/4-n / 2}}

İkinci durum altın oranı gösterir .

Süreci yinelersek, bu iki sayfa formatı fraktal origami yapmayı mümkün kılar, çünkü kalan dikdörtgende, ilkiyle aynı oranlarda, iki kareyi kaldırmak, sonra teorik olarak sonsuza yeniden başlamak hala mümkündür.

• fraktal kıvrım

• fraktal kıvrım

Ekler

İlgili Makaleler

• İnşa edilebilir numara
• Didier Boursin ve matematiksel katlama üzerine çalışmaları
• Teorem Kawasaki  (en)
• Maekawa'nın teoremi  (de)

Kaynakça

• (en) RC Alperin, "  Origami yapıları ve sayılarının matematiksel teorisi  " , New York Journal of Mathematics , cilt.  6,2000, s.  119-133 ( çevrimiçi okuyun ).
• ( fr ) David Auckly ve John Cleveland, "  Tamamen gerçek origami ve imkansız kağıt katlama  " , The American Mathematical Monthly , cilt.  102, n o  3,Mart 1995, s.  215-226 ( DOI  10.2307 / 2975008 , JSTOR  2975008 ).Yazarlar tarafından seçilen aksiyomlar, bu makalenin ilk dört aksiyomuna eşdeğerdir.
• (en) T.Sundara Row, Kağıt katlamada geometrik çalışmalar , Dover,1966.
• Jean-Paul Delahaye , "  Origaminin matematiği  ", Pour la Science , n o  448,Şubat 2015, s.  76-81.

Dış bağlantılar

• (tr) Düğümün kesildiği yerde kağıt katlayarak üçe bölün .
• Michael Friedman - "  Kağıdın katlanması ve matematik tarihi  " - Matematik Görüntüleri, CNRS, 2020