Ortalanmış kare sayı

Bir merkezlenmiş kare sayısı a, ortalanmış desen sayısı bir ile temsil edilebilir kare 4 puan, 8 nokta, 12 nokta, eşmerkezli kareler düzenlenmiş merkezine yerleştirilen bir nokta ile ve diğer tüm noktaları  vs.  :

• 1 + 4 = 5

• 5 + 8 = 13

• 13 + 12 = 25

• 1 + 4 + 8 + 12 = 25

Herhangi bir n > 0 tamsayısı için n'inci kare sayısı, bu nedenle 1'den n - 1'e kadar olan tam sayıların toplamının 1 + 4 katıdır  :

VS4,değil=1+4 değil(değil-1)2=2değil2-2değil+1.{\ displaystyle C_ {4, n} = 1 + 4 \ {\ frac {n (n-1)} {2}} = 2n ^ {2} -2n + 1.}

Ortalanmış kare sayıların listesi

İlk on altı ortalanmış kare sayı:

1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , 85 , 113 , 145 , 181 , 221 , 265 , 313 , 365 , 421 ve 481 (devam A001844 bir OEIS ).

Özellikleri

• Yazma n- inci kare sayısı, yukarıdaki formu (1 + 4 kere merkezli üçgen sayıda endeks n 1 -) ile temsil edilebilir:
• N- inci kare sayısı iki toplamıdır merkezli ardışık kare sayıları , n 2 ve ( n - 1) 2  :
• Ortalanmış kare sayılar bu nedenle şu şekilde de yazılabilir:VS4,değil=değil2+(değil-1)2=(2değil-1)2+12.{\ displaystyle C_ {4, n} = n ^ {2} + (n-1) ^ {2} = {{(2n-1) ^ {2} +1} \ 2}.}Son eşitliği aşağıda gösterilmiştir N Şekil 2, bir kare göz önüne alınarak oluşturulmuştur = 1, 2, 3 ve 4 , n 2 ile 1 puan - n - 1 sayı, ve üst soldan gelen noktalar yarısı seçme köşe, merkezi noktaya kadar dahil.

12+02=12+12{\ displaystyle 1 ^ {2} + 0 ^ {2} = {\ frac {1 ^ {2} +1} {2}}}	22+12=32+12{\ displaystyle 2 ^ {2} + 1 ^ {2} = {\ frac {3 ^ {2} +1} {2}}}	32+22=52+12{\ displaystyle 3 ^ {2} + 2 ^ {2} = {\ frac {5 ^ {2} +1} {2}}}	42+32=72+12{\ displaystyle 4 ^ {2} + 3 ^ {2} = {\ frac {7 ^ {2} +1} {2}}}

• Tüm ortalanmış kare sayılar tektir ve 10'uncu tabanında bunların bir basamakları 1-5-3-5-1 modelini izler.
• Tüm ortalanmış kare sayılar ve bölenleri 1 modulo 4 ile uyumludur . (Aslında, 2 n 2 - 2 n + 1 olan herhangi bir asal faktör p için , p tek ve modulo p'dir , çünkü ( n - 1) 2 - n 2 ile uyumludur , –1 ikinci dereceden bir kalıntıdır , dolayısıyla modulo 4 , p , 1'e denktir. ) Bu nedenle , altı , sekiz ve on iki bazda 1 veya 5 sayısı ile biterler .

Kare sayı merkezli asal

Bir asal sayı p ve ancak 2 eğer karesi ortalanır p 1 mükemmel bir kare - m 2 . En küçük on p , 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613 ve 761 ( A027862 ) ve m'nin on karşılık gelen değeri 3, 5, 9, 11, 15, 19, 25, 29, 35 ve 39 ( A002731 ).   

Ayrıca görün

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde "  Merkezli kare sayısı  " ( yazarların listesini görmek ) .