Cnoidal dalga

Cnoïdales dalgalar olan çekim dalgaları deniz yüzeyinde karşılaşılan dalgalar . Onlar çözümleridir içinde Korteweg ve Vries denklemlerin hangi Jacobi eliptik fonksiyonlar CN kaydetti müdahale , bu nedenle adı “cn-oïdales” dalgalar.

Bu tip dalga, iyonik akustik dalga yayılımı problemlerinde de görülür .

Yerçekimi dalgaları

Bir su kütlesinin yüzeyindeki herhangi bir bozulma, Boussinesq denklemlerine uyarak yayılan bir yerçekimi dalgasına neden olur . Dahası, akışkanın irtifadan dibe göre bağımsız bir hızı varsayılırsa , sığ ortamlar için geçerli olan Barré de Saint-Venant denklemleri elde edilir . Biraz daha ileri gitmek için, hızın yatay bileşeninin dikey değişimine karşılık gelen terimi yaklaşık bir şekilde temsil etmeyi mümkün kılan düzeltici bir terim getirilmiştir. Bu, çeşitli şekillerde yapılabilir; bunlardan biri , yüzey yüksekliği $z$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ veren Korteweg ve Vries denklemiyle sonuçlanır.

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi z} {\ kısmi t}} + c_ {0} \ sol (1 + {\ frac {3z} {2h}} \ sağ) {\ frac {\ kısmi z} {\ kısmi x}} + {\ frac {1} {6}} \, c_ {0} \, h ^ {2} \, {\ frac {\ kısmi ^ {3} z} {\ kısmi z ^ {3} }} = 0}

veya

$g$	yerçekimi ivmesi
$h$	dinlenme sırasında orta derinlik
${\ displaystyle c_ {0} = {\ sqrt {gh}}}$	sığ suda bir dalga için yayılma hızı (dağılmayan ortam)

Cnoidal dalga

Bu denklemin çözümü cnoidal dalgayı tanımlar

dalga boyu

{\ displaystyle \ lambda = hK (m) {\ sqrt {\ frac {16mh} {3H}}}}

yayılma hızı

{\ displaystyle c = {\ sqrt {gh}} \ left [1 + {\ frac {H} {mh}} \ left (1 - {\ frac {m} {2}} - {\ frac {3E (m )} {2K (m)}} \ sağ) \ sağ]}

çukurun yüksekliği

{\ displaystyle z_ {0} = {\ frac {H} {m}} \ sol (1-m - {\ frac {E (m)} {K (m)}} \ sağ)}

yüzey şekli

{\ displaystyle \ xi (\ eta, t) = \ operatör adı {cn} ^ {2} \, \ sol (\ displaystyle 2 \, K (m) \, \ eta, m \ sağ)}

veya

$H$	keyfi dalga yüksekliği (başlangıç koşullarına bağlıdır)
${\ displaystyle \ eta = {\ frac {x-ct} {\ lambda}}}$	azaltılmış apsis
${\ displaystyle \ xi = {\ frac {z (x, t) -z_ {0}} {H}}}$	azaltılmış yükseklik
$cn ( a , m )$	eliptik Jacobi kosinüsü $m$ modülü
$K ( m )$	birinci türden tam eliptik integral
$E ( m )$	ikinci türden tam eliptik integral

Λ, $H$ ve $h'yi$ sabitlersek, $m$ parametresi sayısal olarak belirlenebilir (eğriye bakın).

Bu çözüm, tipik olarak su yüksekliğine kıyasla yeterince büyük dalga boyları için geçerlidir.

{\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {c}} {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}> 7}

Dalga yüksekliğine göre dalga boyu açısından geçerlilik , Ursell sayısından tahmin edilebilir .

Yalnız dalga

Ne zaman $m$ 1 yaklaşır biz yaklaşabilir eliptik Jacobi kosinüs tarafından

{\ displaystyle \ mathrm {cn} (z, m) \ yaklaşık {\ frac {1} {\ cosh (z)}} \ sol \ {1 - {\ frac {1} {4}} (1-m) \, \ sol [\, \ sinh (z) \, \ cosh (z) -z \, \ sağ] \ tanh (z) \ sağ \}}

$M = 1$ sınırında bu nedenle elimizde

{\ displaystyle \ mathrm {cn} (z, m) \ yaklaşık {\ frac {1} {\ cosh (z)}}}

aksi takdirde

{\ displaystyle K (m) \ ila \ sonsuz \ ,, \ qquad E (m) \ ila 0}

Yani

dalga boyu sonsuzluğa meyillidir (soliter dalga),
çukur sıfıra doğru eğilimlidir.

Uyarılar

Küçük genlikler için yapılan bir analiz, Airy dalgasına yöneldiğimizi gösteriyor

{\ displaystyle m \ 0 \ quad \ Rightarrow \ quad z \ simeq {\ frac {H} {2}} \ cos (2 \ pi \ eta)}

Referanslar

( Fr ) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Cnoidal dalga " ( yazarların listesini görmek ) .

(in) DJ Korteweg ve G. de Vries, " Dikdörtgen Bir Kanalda İlerleyen Uzun Dalgaların Biçim Değişikliği Üzerine ve Uzun Durağan Dalgaların Yeni Tipi Oldu " , Philosophical Magazine , cilt. 39, n o 240,1895, s. 422-443
(inç) Hans L. Pécseli, Plazmada Dalgalar ve Salınımlar , CRC Press ,2013( çevrimiçi okuyun )
(inç) GB Whitham , Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Dalgalar , Wiley ,1974, 636 p. ( ISBN 978-0-471-35942-5 , çevrimiçi okuyun )
(in) Milton Abramowitz ve Irene A. Stegun , Formüller, Grafikler ve Matematiksel Tablolarla Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı , Ulusal Standartlar Bürosu ,1964( çevrimiçi okuyun )

(en) Graham W. Griffiths ve William E. Schiesser, " Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Dalgalar " , Scholarpedia üzerine