Descartes oval

Olarak düzlem geometrisi , bir Decartes oval biçimde bir denklemi tatmin S M noktaları kümesi b F 1 M + bir F 2 M = C F 1 F 2 , bir , b ve c olmayan üç gerçek gerçekler boş ve F 1 , F 2'ye odak denilen iki nokta.

Odakları F, oval, her dejenere olmayan için 1 ve F 2 , üçüncü bir odak noktası F, orada 3 odak F oval eğri yapmak ve yeni parametreler 1 , F 3 . Bir ovalin üç odağından bahsetmemizin nedeni budur.

M noktalarının kümesi, öyle ki | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 | tam oval olarak adlandırılır ve önceki tipin iki eğrisini birleştirir. Tam oval, dörtlü eğrinin özel bir durumudur .

"Descartes oval" adı , kırılma problemlerinde onları ilk inceleyen matematikçi René Descartes'e atıfta bulunur .

Menşei

René Descartes , Diopter adlı eserinde bu eğrilere atıfta bulunur, ancak bunları Geometry'sinde daha derinlemesine inceler . Onları doğrudan iki odaklı denklemleriyle değil, bir yapı yardımıyla sunar. Motivasyonu pratiktir: Mükemmel damgalamanın eğrilerini aramaktır. Yani, birinci ortamın belirli bir noktasından gelen tüm ışınların ikinci ortamın belirli bir noktasında kırılma yoluyla birleşeceği şekilde iki ortamı farklı indislerle ayıran eğriler.

İç ovaller şu özelliğe sahiptir: eğer denklem oval b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 burada 0 < a < c < b indeks b'nin bir iç ortamını bir dış ortamdan d ayırırsa, indeks a o zaman F 2'den gelen ve oval ile karşılaşan ışınlar F 1'de kırılacaktır .

Descartes, bu çalışmada, kırılma yasasına ilişkin yeni bilgisini ve eğrilere teğet çizme tekniklerini harekete geçiriyor. Mutlak damgalanmayı sağlamak için iki oval kombinasyonuna izin veren gözlüklerin sunumuyla bitirir.

Ayrıca katsayılar için bu oval inşa mekanik bir çözüm önerilmekte b ve bir doğal tam sayı olduğunda c = ( a + b bahçıvan yönteme benzer bir yöntem ile) / 2.

Eğrisi de tarafından incelenmiştir Isaac Newton'un , Adolphe verilir Quételet eğrisinin iki şubesi inceleyen ve polar denklemi verir Michel Chasles . Arthur Cayley , Hieronymus Georg Zeuthen ve Hammond mekanik yapım yöntemleri geliştiriyor.

Özel durumlar

İki kutuplu denklem eğrisini dikkate alıyoruz b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 . Genelliği kaybetmeden a + b > 0 varsayabiliriz. Eğer c <min ( a , b ) ise, eğri boştur.

0 < a = b < c olduğunda , M nokta kümesi bir elips ise, üçüncü odak sonsuza gönderilir. Genellikle dejenere bir oval olarak kabul edilir.

Ne zaman bir + b = 0 olduğunda, M, bir yarı-hiperbol olan noktaları kümesi. Üçüncü odak sonsuzluğa gönderilir. Aynı zamanda dejenere bir durumdur.

Ne zaman bir = ± C , üçüncü odaklama F ile karıştırılır 1 ve tam oval a, Pascal salyangoz .

Tam oval denklemler

Denklem | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | hala aşağıdaki dörtlü biçimde yazılabilir:

Kartezyen denklemler

Dejenere olmayan bir oval durumunda, O orijini için F 1 ve F 2'nin bariyeri merkezini alarak b ² ve - a ² katsayılarını ve F 1'in apsis α = a ² olduğu vektör için . O halde F 2'de apsis β = b ² olur. Γ = c ² ayarlandığında , ovalin denklemi şöyle olur: burada σ 1 , σ 2 ve σ 3 reals simetrik fonksiyonları a , p ve y  :

Α , β ve γ gerçeklerinin oynadığı rollerin simetrik doğası, F 1 ve F 3 ( γ , 0) odaklarına sahip oval için ve | denklemi ile aynı Kartezyen denkleminin elde edileceğini söylemeyi mümkün kılar. c MF 1 ± a MF 3 | = | b F 1 F 3 | F 2 ve F 3 odaklarının ovali ve denklemi için | c MF 2 ± b MF 3 | = | a F 1 F 3 |.

Alternatif denklemler elde etmek için başlangıç ​​noktası, segmentin orta noktasını [F 1 F 2 ] veya odaklardan birini almaya da karar verebiliriz .

Kutupsal denklem

F 1 merkezli ve ana ekseni F 2'ye yönelik koordinat sisteminde, d = F 1 F 2 ile ifade edersek , denklemin tam ovalini | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | kutupsal denkleme sahiptir:

Bu denklemin iki kökünün çarpımı θ'den bağımsız olduğu için, tam oval, F 1 merkezinin ve oranın tersine çevrilmesiyle değişmez .

Geometrik özellikler

Denklemin ovalini düşünüyoruz | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 |.

Üçüncü odak

Oval dejenere değilse, üçüncü odak, b ² - c ² ve c ² - a ² katsayılarından etkilenen F 1 ve F 2 noktalarının merkez merkezidir .

Tepe noktaları

Tam ovalin 4 köşesi, F 1 ve F 2 noktalarının ( b - c , a + c ), ( b - c , - a + c ), ( b + c , a - c ), ( b + c , - a - c ).

Teğet ve normal

M noktasındaki b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 denkleminin ovalinin normali yön vektörü için vardır:

Dolayısıyla, θ 1'e F 1 M'nin normal ile yaptığı açıyı ve θ 2'yi F 2 M'nin normal ile yaptığı açı olarak adlandırırsak, eşitliğe sahip oluruz: .

0 < b < a için , burada Snell-Descartes yasasını buluyoruz . Eğer oval ayrılır ve iki orta noktaları, indeksin bir B F ihtiva eden 1 ve dizin diğer bir ihtiva F 2 ve M, yarı satır [F toplantının ilk noktası ise 1 l M) ', oval, daha sonra yarıçap F 1 M) MF 2'de kırılır

İki daire kullanarak inşaat

Michel Chasles, F 1 ve F 2 merkezlerine sahip iki daireyi ve sağda bulunan bir C noktasını (F 1 F 2 ) kullanarak tam bir ovalin inşasını önermektedir . İki puan M de ilk daire uygun olacak şekilde bir-C çizgisi çevresinde döndürülür 1 ve N- 1 ve M, ikinci daire 2 ve N 2 . Çizgilerin (F 1 M 1 ) ve (F 1 N 1 ) çizgileriyle (F 2 M 2 ) ve (F 2 N 2 ) buluşma noktaları daha sonra çizgi C etrafında döndüğünde tam bir oval çizer.


Sol eğrinin izdüşümü

Bir Descartes oval, farklı dikey eksenlerle iki dönme konisinin kesişme noktasının yatay düzlemindeki dikey izdüşümdür. Odaklar daha sonra iki koninin tepelerinin izdüşümleridir. Bu yorum, ovallerin belirli geometrik özelliklerini nispeten basit bir şekilde bulmayı mümkün kılar.


Kırılma ile ikincil kostik

Tam oval eşitliğe sahipse | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | ve O ve P noktaları, F 1 ve F 2'nin baryanters olarak tanımlanmışsa, O için b ² ve - a ² katsayıları ve P için a ve b , o zaman oval, n = oranının kırılmasıyla ikincil kostiktir . | a / c | odağı F ile ilgili olarak, P içinden geçen merkezi O ile daire (Γ), ve 1 . Bu nedenle, (( ) üzerinde M merkezleri ve F 1 M / n yarıçapları bulunan dairelerin (Γ M ) zarflarıdır .

Her daire (Γ M ), ovalin T M ve T ' M iki noktasında her zaman ovalin üçüncü odağıyla hizalı olarak teğettir .


Referanslar

  1. Descartes ( Descartes 1637 , s.  447) ve Barbin ( Barbin ve Guitart 1998 , s.  1) dişil olanı kullanır.
  2. Descartes 1637 , "Optik için kullanılan dört yeni oval türünün açıklaması" ve "Bu ovallerin yansımaları ve kırılmaları etkileyen özellikleri", "Yansımaları ve kırılmaları etkileyen bu ovallerin bu özelliklerinin gösterilmesi".
  3. Warusfel 2010 , s.  414.
  4. Ovalin yapımı için bkz. Descartes 1637 , s.  356, analiz için bkz. Warusfel 2010 , s.  361-362.
  5. Adolphe Quetelet, İkincil kostik teorisinin temel ilkelerinin gösterilmesi ve geliştirilmesi . Kraliyet Bilimler Akademisi ve Brüksel Belles-Lettres'in (1829) yeni anıları, çevrimiçi okunuyor
  6. J. Hammond, Kartezyen Mekanik Tanımı Üzerine , American Journal of Mathematics, 1878
  7. (de) H. Mohrmann ve W. Fr. Meyer, Geometry , Springer-Verlag ,2013, s . 558 .
  8. MathcurveOvale .
  9. MathcurveOvale , farklı notasyonlarla.
  10. Weisstein, Eric W. Cartesian Ovals. MathWorld - Bir Wolfram Web Kaynağı
  11. Warusfel 2010 , s.  120, oval denklemi | MF 1 ± h MF 2 | = | k F 1 F 2 | F 2'nin apsis c'ye sahip olduğu merkez F 1 referans çerçevesinde
  12. Barbin ve Guitart 1998 , s.  375 veya MathcurveOvale , diğer notasyonlarla.
  13. Barbin ve Guitart 1998 , s.  375.
  14. Şaseler 1837 , s.  351 .
  15. M. Dufour, "  Descartes ovalleri üzerinde  ", Matematiksel eğitim , cilt.  28, n o  1,1929( çevrimiçi okuyun , 4 Mayıs 2015'te erişildi )
  16. Robert Ferréol, Jacques Mandonnet, Anticaustique , Ansiklopedisi olağanüstü matematiksel formlar, 2000
  17. Barbin ve Guitart 2001 , s.  172

Kaynakça ve kaynaklar