Plan (matematik)

Olarak klasik geometrisi , bir uçak , bir olduğunu sınırsız düz yüzey kavramları ile donatılmış, hizalama , açı ve mesafe , ve burada noktalar , çizgiler , daireler ve diğer olağan düzlemi verileri olarak çizilebilen . Dolayısıyla, düzlem geometrisi için ve özellikle bir yönelimle sağlandığında trigonometri için bir çerçeve görevi görür ve karmaşık sayılar kümesini temsil etmeyi mümkün kılar .

Bir düzlem, bir katının veya başka bir yüzeyin düzlem bölümlerini tanımlamayı mümkün kılan üç boyutlu bir Öklid uzayının parçası olarak da düşünülebilir . Daha genel olarak, açı ve mesafe kavramlarından ayrı olarak, boyut 2'nin bir alt-uzayı olarak vektör geometrisinde ve afin geometride bir düzlem belirir . Diğer yandan bu yapıları tanımlayarak vücutta daha gerçek sayılar , haritanın kavramı aşağı gelir yapısını etkileyen tatmin teoremi dezarg .

Olarak yansıtmalı geometri , düzlem bir ile tamamlanır sonsuzda düz çizgi bir elde etmek için yansıtmalı uçak gibi Fanø düzlemi . Bu yapı , hiperbolik düzlemdeki gibi Öklid dışı bir geometri tanımlar .

Tanımlar

İlk yaklaşımlar

Klasik geometride, bir düzlemin tanımı aksiyomatiktir ve düzlem yüzeylerin (tablo, tablo, sayfa ...) fiziksel temsillerini idealleştirmeyi amaçlar . MÖ 300 yıllarında Öklid'de düzlemin aksiyomatik bir tanımını buluruz , bir yüzeyi "yalnızca uzunluk ve genişliğe sahip olan" olarak tanımlayan ve sonra tanımında 7 şunu belirtir:

Düz alan, aynı zamanda düz çizgileri arasına yerleştirilen alandır.

Birkaç yüzyıl sonra Denis Henrion , çevirisinde ve Elementler üzerine yorumlarında, "düz çizgileri arasına da yerleştirilmiş" ifadesinin anlamını açıklamaya çalışarak , orta kısmın tüm bölümlerinin ne yüksek ne alçak olduğu bir yüzey olduğunu belirtir. uçların, aynı uçlara sahip olanlar arasında en kısa yüzey olması, orta kısımların uç kısımları gölgelediği. Bir yüzeyin herhangi bir noktasında, yüzeyde kalırken bir çizgiyi döndürebilirsek, o zaman bu yüzeyin düzlem olduğunu açıklar.

Bu, aynı fikri tanımında yansıtılır Free & Marie Legendre onun içinde Geometrinin Elements (1790) `:

Yüzey, yüksekliği veya kalınlığı olmayan uzunluk ve genişliğe sahip olandır. Düzlem, iki noktayı isteğe bağlı olarak alıp bu iki noktayı düz bir çizgi ile birleştiren bu çizginin tamamen yüzeyde olduğu bir yüzeydir.

veya The Little Encyclopedia of Mathematics'den (1980) alınan bu tanımda :

Bir A noktasından gelen ve A noktasından geçmeyen d doğrusunu kesen veya d'ye paralel doğrular kümesi bir düzlem oluşturur.

Kartezyen kayıt

Gelen XVII inci  yüzyılda , analitik geometri ve Descartes ve Fermat çiftleri planın tüm noktaları tarif ait koordinatlar . Çağdaş matematik dilinde, düzlem bütün ile örtüşmektedir , böylece iki nokta arasındaki mesafe , Pisagor teoremini gösteren Öklid normuna karşılık gelir .

Benzer şekilde, uzayı gerçek sayıların üçlü kümesi olarak temsil ederek , bir düzlem, katsayıların hepsinin sıfır olmadığı bir formun Kartezyen denkleminin çözüm kümesidir . Olarak uçaklar, böylece görünür düzeyi yüzeyleri bir lineer formda boşlukta yayılabilir.

Cebirsel sunum

Lineer cebir gelişimi XIX inci  yüzyılın vektör alanı ve kavramı ile planın bir tanımını sağlar boyutun a vücudunun  :

Bir düzlem (vektör veya afin), boyut 2'nin bir vektör (veya afin ) uzayıdır.

Bu grubu, örneğin, olduğu karmaşık sayılar , grubu afin fonksiyonları , grubu dizilerinin bir tatmin doğrusal tekrarlama ilişki formunun sırayla 2 (olduğu gibi Fibonacci dizisi ) ya da çözeltiler grubu a 2 seviyesinde doğrusal diferansiyel denklem formunun belirli bir zaman aralığı boyunca.

Bu sunum, bir nokta varlığını ima O ve iki vektörleri ve uçağın yarattığı noktalar öyle ki S M şeklinde bir vektör eşitliğini burada, bir ve b her iki skalerler alanını tanımlar. Daha sonra üçlü demek bir olduğunu Kartezyen koordinat sistemi uçağın ve biz makalenin geri kalanında bu sunumu kullanacaktır.

Klasik geometri düzlemi, gerçek sayılar alanında afin bir uzayda gerçekleştirilir . Ancak birçok geometrik yapı, diğer cisimler üzerinde, özellikle de sonlu cisimler üzerinde anlam taşır .

Olay yapısı

Sonunda XIX inci  yüzyılın , keşfinden sonra Öklid dışı geometrilere , bir hareketi ontolojik içeriğinin boşaltmak isteyen başka geometri axiomatizing için ortaya çıkmaktadır. David Hilbert , Grundlagen der Geometrie ( Geometrinin Temeli ) adlı eserinde uzayın noktalarını, çizgilerini ve düzlemlerini onları birleştiren ilişkilerle ( gelişin aksiyomları ) tanımlar :

Herhangi bir düzlemde en az bir nokta bulunur. 3 nokta hizalanmasın, bu üç noktayı içeren bir ve yalnızca bir düzlem vardır. Bir çizginin iki (ayrı) noktası bir düzlemde bulunuyorsa, tüm çizgi düzlemde bulunur. İki uçağın bir ortak noktası varsa, o zaman başka bir ortak noktaları vardır. Aynı düzlemde bulunmayan en az 4 nokta vardır.

Hilbert'in aksiyomlarının indirgenmesi, düzlem geometrisinin uzayda geometri bağlamının dışında bulunmasına izin verir  :

İki farklı noktadan bir ve yalnızca bir düz çizgi geçer. Herhangi bir düz çizgi en az iki noktadan geçer. En az üç hizalanmamış nokta vardır. Bir çizgi dışında bir noktaya sayesinde d , sadece bir ayrık hattı d geçer .

Bu şekilde tanımlanan insidans yapısı , altta yatan gövde ne olursa olsun, boyut 2'nin tüm afin boşlukları tarafından ve aynı zamanda Moulton düzlemi gibi diğer yapılar tarafından karşılanır .

Hilbert, Desargues'ın klasik geometri teoreminin diğer aksiyomlardan çıkarıldığını, ancak düzlemdeki olaylardan çıkarılmadığını, oysa sadece gelişi açısından formüle edildiğini tanımlar. Bunu ek bir aksiyom olarak tanıtarak, aslında 2. boyutun tüm afin uzaylarını karakterize eder. Ve onu Pappus teoremi ile değiştirerek , değişmeli alanlardaki tüm afin uzayların bir karakterizasyonunu elde ederiz .

Çizgiler ve düzlemler arasındaki ilişkiler

Göreli konum

İki plan

3. boyutun afin uzayında, iki düzlemin yalnızca iki göreli konumu vardır:

Bu ayrılma, üç boyutlu uzaya özgüdür. Daha büyük boyutta, iki düzlemin tek bir kesişme noktası olabilir veya paralel olmadan ayrık olabilir.

Yön, Kartezyen denklemlerden karşılaştırmak kolaydır:

Denklemler ile sırasıyla birleşik iki düzlemin önüne alındığında ve , iki düzlem, ancak ve ancak vektörler halinde paralel ve doğrudaş.

Bu vektörler, sırasıyla dik bir düzlem için vektörler ortogonal olarak içinde veya kodlamak çift olarak bir doğrusal biçimlerde uçaklar yatay yüzeyleri .

Sağ ve düzlem

Bir uzay düzlemi verildiğinde, bu boşluğun bir çizgisi şöyle olabilir:

Daha büyük boyutlu bir afin uzaya dahil edilmesi, bir çizginin ve bir düzlemin başka herhangi bir göreceli konumunu sağlamaz.

Özellikleri

Çatı teoremi durumları tek bir düzlemde bir çizgi önce başka bir düzlem sekant bir çizgiye paralel olması durumunda, o zaman, bu çizgiler, iki düzlemin kesişimi paraleldir.

İkişer ikişer kesişen üç düzlem, zorunlu olarak tümü paralel veya eşzamanlı olan kesişme çizgilerine sahiptir.

Açı

Öklid üç boyutlu uzayda, skaler çarpım , sıfır olmayan iki vektör arasındaki açıyı tanımlamayı mümkün kılar . Bir düzlemin doğrusal olmayan iki vektörü verildiğinde , çapraz çarpım , düzleme normal bir vektör olarak nitelendirilen ve (ve dolayısıyla düzlemin iki noktasını bağlayan başka herhangi bir vektör) ortogonal bir vektörün varlığını gösterir . Bu vektör, bir skaler ile çarpmaya kadar benzersizdir.

İki kesişen düzlem , açıları sıfır açı ile düz açı arasında değişen ve normal vektörleri arasındaki açıya karşılık gelen dihedrayı sınırlar . Bu normal vektörlerin kendileri ortogonal ise, düzlemlerin dikey olduğu söylenir. Ortogonal oldukları söylenmez, çünkü hem birinde hem de diğerinde temsil edilen sıfır olmayan vektörler vardır (örneğin, iki sekant düzlem durumunda kesişimlerini yönlendiren vektörler).

Mesafe

İki düzlem arasındaki veya bir düzlem ile bir doğru arasındaki mesafe, birinin noktası ile diğerinin noktası arasındaki minimum mesafedir. İki küme boş olmayan kesişme ise bu minimum 0'a eşittir ve aksi takdirde iki kümeye ortogonal olan bölümler boyunca ulaşılır.

Kullanımlar

İki değişken arasındaki ilişkinin temsili

Plan, görsel temsilin desteğidir ve iki sayısal değişken arasındaki bir ilişkiyi değerlendirmeye izin verir .

Birinci değişkenin her bir değeri, ikincinin yalnızca bir değerine (en fazla) karşılık gelirse, ilişkinin işlevsel olduğu söylenir ve ilişkinin grafiği , işlevin bir eğri temsilcisidir .

İki değişken istatistiksel bir örnekle tanımlandığında , ilişki bir dağılım grafiği ile temsil edilir .

İki değişkenin kendileri üçüncü bir değişkenin, özellikle bir zamansal değişkenin fonksiyonları olduğunda, bunların ilişkileri, muhtemelen bir diferansiyel denklemle elde edilen bir yörünge ile gösterilir. Özellikle, bir miktarın evrimi ile zaman türevi arasındaki ilişkilerin incelenmesi, bir faz portresinin temsiline yol açar .

Simetri

Bir uçak ile ilgili olarak bir simetri (ortogonal) P a, geometrik dönüşüm herhangi bir noktasında M düzleminin eşsiz bir nokta ilişkilendiren M şekilde kademeli [ M M ] onun düzleme dik olan , orta .

İki sekant düzleme göre iki simetrinin bileşiği, dihedral açının iki katı bir açı ile kesişme çizgileri etrafında bir dönüştür.

İki paralel düzleme göre iki simetrinin bileşiği, iki düzleme normal bir vektörün ve düzlemler arasındaki mesafenin iki katı olan bir normun ötelenmesidir.

Böyle bir simetri, iki taraflı hayvan türlerinin karakteristiğidir .

Projeksiyon

Bir düz çizgiye paralel bir düzlem üzerinde bir çıkıntı (benzeşik) ait düzleme sekant, her bir nokta ile birleşen bir geometrik dönüşümdür M paralel düzlem arasındaki kesişme tek nokta ve d ile M . Çizgi düzleme dikse, o zaman ortogonal izdüşümden söz ederiz .

Böyle bir projeksiyon , sonsuzda aydınlatma durumunda bir düzlem desteği üzerindeki gölge olgusunu idealize eder (bu, Güneş'in aydınlatmasına iyi bir yaklaşımdır). Bir düzlemdeki rafine izdüşüm aynı zamanda şövalye perspektifindeki temsili de yönetir . Ayrıca, özellikle temel bileşen analizini kullanarak bir veri bulutunu görselleştirmek için daha büyük boyutlarda kullanılır .

Bölüm

Bir uzay figürünün düzlemsel bir kesiti , o figürün bir düzlemle kesişimidir . Bu fikir, matematiksel veya somut yapıları mimari , fizik, kimya ve biyolojide olduğu gibi, özellikle üç boyutlu tarayıcı kullanarak görselleştirmeyi mümkün kılar .

Temsil değişikliği

Afin bir çerçevede

Hilbert'in geliş aksiyomları, afin bir uzayda bir düzlemin farklı karakterizasyonlarını vurgular. Tek bir plan var:

  • hizalanmamış üç nokta içeren;
  • bir çizgi ve bu çizgiye ait olmayan bir nokta içeren;
  • kesişen iki çizgi içeren;
  • karışık ve paralel olmayan iki düz çizgi içeren.

İlk karakterizasyon, aşağıdakilerin her birini basitçe elde etmeyi mümkün kılar ve bunun tersi de geçerlidir.

Üç hizalı olmayan A , B , C noktasından bir koordinat sistemi tanımlayabiliriz . Tersine, herhangi bir referans işareti bu formda yazılabilir.

Düzlemin bir koordinat sistemi verildiğinde , şeklin parametrik bir temsilini elde ederiz . Biz gösterdiği takdirde boyutta 3'te , ve biz parametrik denklemlerini elde ile . Tersine, herhangi bir afin parametrik temsil, başlangıç ​​noktasının (parametreleri iptal ederek) ve iki yön vektörünün (üç denklemin her birindeki parametrelerin faktörleri) koordinatlarını bulmayı mümkün kılar.

Son olarak, bir referans gelen boşlukta düzlem ve bir genel alanına , düzleme noktasının ilişki iptali ile karakterize edilir karışık ürünün vektörleri , , varsayılan aynı düzlemde ölçen.

, ile , Ve aynı şekilde,

Belirtilen bu 4 faktör daha sonra Kartezyen denklemini tanımlar .

Bunun aksine, yazılı bir Kartezyen denklemden ile tüm sıfır, biz, ve çözme ile diğer iki koordinat iptal ederek, sıfır olmayan bir katsayı ile ilişkili koordinat seçerek, örneğin açık bir çözüm noktası (seçebilir birinci derecede denklem ) kalan, o zaman tespit temel denkleminin vektör altuzayın içinde .

Üç boyutlu bir Öklid çerçevesinde

Aşağıdaki karakterizasyonlar, klasik geometride Öklid uzayın yapısından gelen uzaklık ve açı (özellikle diklik ) kavramlarına dayanmaktadır .

Bir noktaya verilen A ve sıfır olmayan bir vektör , içinden geçen bir tek düzlem vardır , A ve ortogonal olarak adlandırılan, normal vektör .

Bir düzlemin bu karakterizasyonu , çapraz çarpım kullanılarak uçağın bir koordinat sisteminden çok kolay bir şekilde elde edilir .

Tersine, bir nokta ve normal bir vektör verildiğinde , kolayca bir Kartezyen denklem buluruz .

Diğer karakterizasyonlar, bir nokta ve normal bir vektör seçimine gelir:

Uzayda iki ayrı nokta A ve B verildiğinde , A ve B'nin eşit uzaklıkta noktalarının lokusu olan ve segmentin [ A B ] aracı düzlemi olarak adlandırılan benzersiz bir düzlem vardır .

Ayrık ve paralel olmayan iki çizgi verildiğinde, iki çizginin tüm noktalarından aynı mesafede olan tek bir düzlem vardır.

Bir nokta verilen bir ve iki düzlemde P ve P 'edilir uzayda paralel değil, içinden geçen tek bir düzlem vardır , A ve dik, P ve P', .

Vektör geometrisi

Düzlem, değişmeli bir alan üzerinde bir vektör uzayının 2 boyutlu bir alt uzayıdır . Bu durumda bir vektör düzleminden de söz ediyoruz.

Bir düzlem her zaman iki vektör tarafından oluşturulur ve eşdoğrusal değil. Bu şekilde, düzlemin vektörü ancak ve ancak ve katsayıları ile doğrusal bir birleşimiyse . Eğer sonlu boyutlu olduğu , bir de bir uçak tanımlayabilir düzlemin tüm vektörler üzerinde iptal bağımsız doğrusal biçimlerde. Örneğin, düzlemin ve başka bir nesnenin, örneğin bir eğrinin veya bir yüzeyin kesişme noktalarının belirlenmesi istendiğinde, bu son karakterizasyonun mevcut olması özellikle ilginçtir.

3. boyutta analitik yaklaşım

Uzayın 3 boyutlu olması durumunda, bir düzlemi tanımlamak için yalnızca bir doğrusal şekil yeterlidir. İki vektörü ve onu oluşturan koordinatları bilmek

Düzlemin denklemini veren doğrusal bir formun nasıl yapılacağını bilmek faydalıdır. Karma çarpımı , ve ancak ve ancak ve tarafından oluşturulan düzleme aitse sıfırdır . Bu karışık ürün yazılmıştır

Böylece istenen doğrusal şekil elde edildi.

Tersine, bir düzlemi tanımlayan doğrusal bir formumuz varsa , bu düzlemi doğrusal formdan üreten iki vektörü kolayca bulabiliriz. Ve arasında mutlaka sıfır olmayan bir katsayı vardır . Diyelim ki bu katsayı . Daha sonra düzlemin denklemini formda yeniden yazabiliriz

Daha sonra çift ikame ile bağımsız çiftler ve , iki vektörlerini elde

eksenine göre düzlemindeki ilgili izdüşümleri bağımsız vektörler olduğundan zorunlu olarak bağımsızdırlar .

Daha yüksek boyutta genelleme

Bir boyut uzayında iki vektör ve bağımsız olduğunu varsayalım . Düzlemin denklemlerini veren bağımsız doğrusal formlar nasıl bulunur ? Bu, doğrusal sistemin çözümlerinin temelini aramak anlamına gelir.

Bunu yapmak için, iki endeks seçiyoruz ve öyle ki çiftler ve doğrusal olarak bağımsızlar. Geometrik olarak, bu , alt uzaylara paralel olarak bu düzlem üzerindeki ve bu düzlem üzerindeki ilgili projeksiyonların bağımsız olacağı şekilde bir koordinat düzleminin seçilmesi anlamına gelir . Böyle bir plan hala var çünkü ve bağımsız. Bu yapıldıktan sonra, önceki sistemi formda yeniden yazıyoruz

Bu lineer sistemin çözümü klasik yöntemlerle elde edilmektedir. Çözüm uzayının bir temelini elde etmek için, elemanların dizisi için vektör uzayının kanonik temelinin elemanlarını ikame etmek yeterli olacaktır , yani.

.

Tersine, bağımsız doğrusal şekiller verildiğinde , düzlemde, sistemin çözüm kümesi için bir temel bularak, bu doğrusal şekillerin birbirini iptal ettiği noktalar kümesi olarak tanımlanan iki bağımsız vektör buluyoruz . ilerlemek, sistemin matrisini , kolonlar üzerindeki olası permütasyonlar vasıtasıyla, kademeli formda koymaktır . Gibi rütbe olduğunu , bu algoritma sağlayacak bir çözecektir hangi karşılaştırıldığında değişkenleri ve iki bağımsız değişkenler ikinci üyesi koymak. Çözünürlük daha sonra hızlıdır. Cramer formülleri kesinlikle kaçınılmalıdır biz çözmek hangi göre değişkenlerin endekslerini tespit etmek için: Biz hesapla olurdu belirleyicileri sırasına işlemlerinin toplam sayısı için, biz tarafından belirleyicilerini hesaplamak eğer Gauss-Jordan algoritması , oysa adım formundaki geçiş, sırasına göre bir dizi işlemin sonuçlandırılmasını mümkün kılar .

Notlar ve referanslar

  1. Stella Baruk, İlköğretim Matematik Sözlüğünde "Plan" , Éditions du Seuil, Paris 1995.
  2. Geometri - tarih ve epistemoloji, bölüm 27: Culturemath.ens.fr'de ideal nesnelerin detaylandırılması
  3. Thomas Hausberger, "  Öklid dışı geometrilerde tarihsel ve epistemolojik dönüm noktaları  " , Irem de Montpellier - grup Matematik ve felsefe,2015
  4. Öklid, Elementler , Kitap 1 , tanım 5
  5. D. Henrion, Öklid'in geometrik unsurlarının on beş kitabı: artı aynı Öklid'in kitabı, aynı zamanda adı geçen Henrion tarafından Fransızcaya da çevrilmiş ve yaşamı boyunca basılmış , Premier kitap, tanım 7 .
  6. Adrien Marie Legendre, Geometri Öğeleri - İlk Kitap. Tanımlar 5 ve 6 , 1840
  7. Collective (yönetmen W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) (  College de France'da profesör olan Jacques-Louis Lions yönetiminde tercüme edilmiştir ), Small Encyclopedia of mathematics ["Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paris, Didier ,1997( 1 st  ed. 1980), 896  , s. ( ISBN  978-2-278-03526-7 ) , s.  201.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar