Gümüş sayı adı veya gümüş oranı , altın oranın çeşitli genellemeleri için önerilmiştir ; en yaygın olanı, gümüş sayısını ikinci metalik sayı yapan şeydir .
Para sayısı not veya eşittir (paketi A014176 arasında OEIS ); denklemin tek olumlu çözümü budur .
Tamamen periyodik devam eden kesir [ 2 ] olarak da yazılabilir :
veya sonsuz iç içe geçmiş bir radikal olarak .
Altın oran herhangi bir genelleştirilmiş Fibonacci sekansıyla ilişkili olduğu gibi, gümüş sayı da herhangi bir genelleştirilmiş Pell sekansı ile ilişkilidir ; böyle bir dizinin genel terimi aslında diğer çözümün nerede olduğu yazılmıştır .
Örneğin, tarafından uygun şekilde tanımlanan Pell dizisi için genel terim yazılır:
, Fibonacci dizisi için Binet formülüne benzer formül .
İlk terimlerin Pell-Lucas dizisi doğrular .
Dahası, sonsuz limiti doğrulayan herhangi bir devamlılık için , para sayısı, ardışık raporların sınırıdır .
Tersine, para sayısının ardışık yetkileri doğrular .
Gümüş sayısı bir Pisot-Vijayaraghavan sayısıdır , Diophantine yaklaşımının nadir bir özelliğine sahiptir : güçlerinin kesirli kısımlarının sırası 0'a doğru eğilimlidir.
Uzunluk / genişlik oranı gümüş sayısına eşit olan bir dikdörtgene bazen altın dikdörtgene benzetilerek "gümüş dikdörtgen" denir .
Ancak bu ifade belirsizdir: "gümüş dikdörtgen", A4 kağıt boyutuna göre A4 dikdörtgeni olarak da bilinen √ 2 oranlı bir dikdörtgeni de gösterebilir .
Her iki türden gümüş dikdörtgenler, onlardan iki maksimum kareyi kaldırarak benzer bir dikdörtgen elde etmemiz özelliğine sahiptir . Aslında, iki türden birinin bir gümüş dikdörtgeninden mümkün olan en büyük kareyi çıkararak, diğer türden bir gümüş dikdörtgen elde ederiz, böylece baştan başlayarak, aynı türden bir gümüş dikdörtgen buluruz. orijinal, ancak 1 + √ 2 faktör ile azaltıldı .
Para sayısının mantıksızlığı ve dolayısıyla ir 2 , karşıt yapının vurguladığı sonsuz bir inişten çıkarılır .
Tabanı p + q ve yüksekliği q olan, p = q √2 olan bir dikdörtgen oluşturuyoruz. Oranı ( p + q ) / q gümüş sayısına eşittir 1 + √2 .
Amaç, dikdörtgeni olabildiğince büyük karelerle doldurmaktır. İlk kareler için mümkün olan en uzun kenar q'dur , çünkü yükseklik q'ya eşittir . De p + q 2 daha büyük olan q ve sıkı bir şekilde 3'den daha az q , biz yan ile iki kare gerçekleştirebilmesi q şekilde kırmızı. Kalan alan (şekilde mavi), kenarları q ve p - q olan bir dikdörtgendir . Şimdi formüle sahibiz:
İlk dikdörtgenin ve mavinin benzer olduğunu, ikisi arasındaki oranın ( p + q ) / q oranı olduğunu gösterir . Daha sonra, geri kalan alanı daha önce olduğu gibi maksimum boyutta tam olarak iki kare ile doldurmak mümkündür ve kalan alan yine de ilkine benzer bir dikdörtgendir. Son olarak , q kenarının iki karesini elde ederiz , sonra iki kenar karesi ( p + q ) / q , birincisinden daha küçük, sonra iki kenar karesi ( p + q ) / q , öncekilerden daha küçüktür ve devam eder asla durmaz.
Taban uzunluğu ve yükseklik uzunluğunun tam sayı olduğu bir birim olsaydı, o zaman farklı karelerin kenarları her zaman tam sayı olurdu, bu da devamın durmasını sağlar, çünkü bütün kenarların kareleri sonsuz küçük olamaz. Para ( p + q ) / q oranı bu nedenle rasyonel değildir.
Denklem pozitif çözüm olarak altın , nüks Fibonacci karakteristik denklemi , para sayısı denkleminin pozitif çözüm öne sürülmüştür , nüks karakteristik denklemi: .
Ancak bu yinelemeye, kelimeler üzerinde oynanan bir oyunla, Tribonacci yinelemesiyle belirlenmiş olan, ilişkili sabit şimdi yaklaşık olarak eşit olan Tribonacci sabiti olarak adlandırılır .
Aynı şekilde, Pisot-Vijayaraghavan'ın ilk sayısını , denklemin benzersiz pozitif çözümünü, Padovan'ın tekrarlanmasının karakteristik denklemini buluyoruz : ama bu, plastik sayı veya Padovan sabitine indirgenmiştir .
Altın sayının tersi eşittir , not edilen gümüş sayısının eşit olduğu öne sürülmüştür .
Yinelenmeyle ilişkili denklemin pozitif köküdür .
Altın oranı ve bu diğer gümüş sayıyı kullanarak, dereceden dereceye 1 ° ile 45 ° arasındaki açılar için trigonometrik tabloyu ifade etmek oldukça kolaydır.Aslında, bunlar 3'ün (kategori I) ve / veya 5'in (kategori II) katları, 2'nin katları (kategori III) ve birincidir (kategori IV). Birincisi (kategori IV), kategori III'ün ek 45 ° 'lik bölümüdür. Kategori III, kendilerinden ve bunlardan türetilen kategoriler I ve II'den kolayca hesaplanır .
Soru, x 2 = q - px sınıfından ya da x 3 = q - p x sınıfından diğer sayılarla daha iyi yapıp yapamayacağımızdır .
[ref. gerekli]Lissajous eğrisi ve (kübik) yakın olarak quintic olup, bu sorunu ile ilgilidir ve .
Bu isim bazen bir üçgene verilir (bkz. Altın üçgen ). Boyutları gümüş sayıya değil altın sayıya bağlıdır, bu nedenle altın gnomon adını kullanmak daha iyidir .
(tr) Ron Knott, " Gümüş Demektir "
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">