Sayılar arasındaki eşitliğin sözde kanıtı

Terimi, eşitlik sözde dayanıklı belirgin doğruluğu ifade eder deliller arasında eşitlik açıkça yanlış.

Burada sayılar arasındaki eşitlik durumuna bakmakla yetineceğiz ve bu hatalara yol açan en yaygın olanlardan çeşitli kusurları detaylandıracağız . Bu makalede önerilen yöntemlerin aynı zamanda en yaygın, en bilgilendirici ve mümkün olduğunca doğrudan olması amaçlanmıştır.

Dikkat çekici kimlikler ve sıfıra bölme yoluyla sözde gösterim

Prensip

Bu sözde gösterim aşağıdaki hataya dayanmaktadır:

Çıkarınız o .

{\ displaystyle 0 \ kez a = 0 \ kez b}

{\ görüntü stili a = b}

Genellikle iki aşamada gerçekleştirilir:

dikkate değer bir özdeşlik yoluyla , faktörlerinden birinin sıfır olduğu bir eşitliğin iki üyesinde bir çarpım oluşturur;
bir ile sıfıra bölme saçma sonuç elde edilir.

Kullanılan dikkate değer özdeşliğe ve kişinin bunu yapma biçimine bağlı olarak herhangi bir yanlış eşitlik elde edilebileceğini unutmayın.

Oyun esas olarak, çok sayıda bilinmeyen içeren çok karmaşık işlemlerde bölmeyi sıfıra gizlemekten oluşur, bu da gösteride yanlış satırı tanımlamayı zorlaştırır.

Bu teknik, “göstermek” özellikle kullanılması ile 1 + 1 = 3 göreceli ve mutlak Bilgi Ansiklopedisi ile Bernard Werber .

Misal

Aşama 1 :

a ve b sıfır olmayan iki gerçek olsun, $a = b$ .
Her üyeyi şu şekilde çarparız : $de$ $a ^ {2} = a \ çarpı b$ .
çıkarıyoruz : $b^2$ $a ^ {2} -b ^ {2} = a \ kere bb ^ {2}$ .
Her üyeyi hesaba katarız (ilkinde dikkate değer bir kimlik kullanırız): $(ab) \ kez (a + b) = b \ kez (ab)$ .

2. adım:

Şuna bölüyoruz : $(ab)$ ${\ görüntü stili a + b = b}$ .
Gibi , biz yerine göre : $a = b$ $de$ $b$ ${\ görüntü stili b + b = b}$ ,
dır-dir $2 \ kere b = 1 \ kere b$ .
Şuna bölüyoruz : $b$ ${\ görüntü stili 2 = 1}$ .

Bölmeyi yaptığımızda hata yapılır , çünkü o zaman olduğu gibi 0'a bölüyoruz ki bu imkansız. $(ab)$ $a = b$ $ab = 0$

dikkate değer kimliği olmayan Varyant

Aşağıdaki önermeyle başlıyoruz: $2 = 1 + 1$
Her üyeyi şu şekilde çarparız : $(2-1)$ $2 (2-1) = (1 + 1) (2-1)$ .
Geliştiriyoruz: $2 \ kere 2-2 \ kere 1 = 2 \ kere 1 + 2 \ kere 1-1 \ kere 1-1 \ kere 1$ .
Her üyeden çıkarıyoruz : $2 \ çarpı 1$ $2 \ kez 2-2 \ kez 1-2 \ kez 1 = 2 \ kez 1-1 \ kez 1-1 \ kez 1$ .
Biz faktör: $2 \ kez (2-1-1) = 1 \ kez (2-1-1)$ .
Basitleştirebiliriz ve şunları elde ederiz: $2 = 1$ .
Sonunda sahip olmak için eklemeniz yeterlidir: $1$ $3 = 1 + 1$ .

Çözüm: ile sadeleştirirken şunları yaparız:

(2-1-1)

{\ frac {2 \ kez (2-1-1)} {(2-1-1)}} = {\ frac {1 \ kez (2-1-1)} {(2-1-1)} }

yani 2-1-1'e bölüyoruz yani 0'a kadar.

Denklemler aracılığıyla sözde kanıt ve gerekli ve yeterli koşul arasındaki karışıklık

Prensip

Bir başka yaygın sözde ispat, bir denklemin olası çözümlerinin kümesini kısıtlamak ve daha sonra kümenin elemanlarından birinin kök olduğunu iddia etmektir.

Aşağıdaki gibi gerçekleşir:

denklemin incelenmesi (olası çözümler kümesinin az sayıda, bir veya iki ile sınırlandırılması);
olası çözümlerin bir dizi çözüm olarak doğrulanması;
varsayılan köklerden birinin testi ve saçma sonuç.

Misal

Aşama 1 :

Denklemi düşünün:

x ^ {2} + x + 1 = 0

Çözümleri de (sıfır hariç):

x (x ^ {2} + x + 1) = 0 \ Leftrightarrow x ^ {3} + x ^ {2} + x = 0 \ Leftrightarrow x ^ {3} = - x ^ {2} -x

Ancak, ilk denkleme göre:

x ^ {2} + x + 1 = 0 \ Leftrightarrow x ^ {2} = - x-1

bu nedenle:

x ^ {3} = - (- x-1) -x = 1

Adım 2: Mümkün olan tek gerçek kök 1'dir.

Adım 3: İlk denklemde x'i 1 ile değiştirerek eşitlik elde ederiz . $3 = 0$

Tanımsız karekökler aracılığıyla sözde kanıt

Prensip

Bu deducing ortak hatadır bu , doğru ima olmaktan anlamak için o , nerede | x | bir mutlak değeri x. ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}}$ $a = b$ ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}}$ ${\ görüntü stili | a | = | b |}$

İki adım :

kareler arasında gerçek bir eşitlik yazın;
kareler olmadan eşitliği yazarak yanlış çıkarımı uygulayın ( örneğin içinde tanımsız bir karekök işlevi çağırarak ). $\ matematik {C}$

Bu ilkeyi , örneğin çalışma kümesinde tanımsız bir logaritma işlevini çağırarak karmaşık üstellere genelleştirebiliriz . İkinci kümede karekökler yazılır . $\ matematik {C}$ ${\ sqrt {z}} = \ pm {\ sqrt {| z |}} \ exp \ sol (i {\ tfrac {\ arg z} 2} \ sağ)$

Örnekler

Misal

Aşama 1 :

Eşitliğini ele alalım şeklinde yazılabilir, quotients : $-1 = -1$

{\ görüntü stili {\ frac {1} {- 1}} = {\ frac {-1} {1}}}

Altın ( hayali sayıya bakınız ), dolayısıyla $-1 = ben ^ {2}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {i ^ {2}}} = {\ frac {i ^ {2}} {1}}}

2. adım:

Her iki tarafın karekökünü alıyoruz, bu da şunu veriyor:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {i ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {i ^ {2}} {1}}} \ Leftrightarrow {\ frac {\ sqrt {1 }} {\ sqrt {i ^ {2}}}} = {\ frac {\ sqrt {i ^ {2}}} {\ sqrt {1}}} \ Leftrightarrow {\ frac {1} {i}} = {\ frak {i} {1}}}

Her iki tarafı da i ile çarparak,

1 = ben ^ {2}

Ve bu yana , o zaman biz var $ben ^ 2 = -1$

1 = -1

. Ek örneği (bir logaritma aracılığıyla )

\ ln (-1) + \ ln (-1) = \ ln ((- 1) ^ {2}) = \ ln (1) = 0

Yani,

\ ln (-1) = \ ln (i ^ {2}) = 2 \ cdot \ ln (i) = 0 \ Sağ Ok e ^ {{\ ln (i)}} = e ^ {0} (= 1)

Ve üstel, doğal logaritmanın karşılıklı uygulaması olduğundan :

ben = 1

Bulanık toplama yoluyla sözde geçirmez

Prensip

Bir toplamı bulanık bir şekilde yazarak , yani resmi bir şekilde değil:

S = \ toplam _ {{k = 1}} ^ {n} k

ancak askıya alma noktaları ile:

S = 1 + \ ldots + n

kukla toplam değişkeni (burada not edilmiştir ) gerçekten sessizce geçilir ve askıya alma noktalarının formalizminin olmaması hatayı maskelemeye hizmet eder. $k$

Metodoloji:

bir toplam üzerinde hesaplamalar yapmak;
kukla değişkenin tanım kümesi, başka bir deyişle terim sayısı aracılığıyla bir hata üretir;
saçma sapan bir sonuçla sonuçlanır.

Varyantlar

Bypass üzerinden varyant

Türetme doğru bir türetme bir soru olabilir ve sağ bir türetme üzerinde dikkate değişken olduğu gerçeğini almadan olacak soldaki, eşitlik üyesi bağlı olarak farklı gerçekleştirilecektir x ayrıca setin kardinal olduğu terimlerin.

Adım 1: olsun bir tamsayıdır. Kare fonksiyonunun tanımına göre: $x$

x ^ {2} = x + \ cdots + x

( şartlar)

x

Adım 2: Aşağıdakilere göre sürüklenerek : $x$

2x = 1 + \ cdots +1

( şartlar),

x

Adım 3: dolayısıyla basitleştirmek : $x$

2 = 1

Bir aritmetik dizi aracılığıyla varyant

Bu değişken , tam sayıların aritmetik dizisinin ilk terimlerinin toplamı üzerinde oynar . $değil$

Aşama 1 :

İlk tam sayıların toplamı yazılır: $değil$

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ dörtlü 1 + 2 + 3 + \ nokta + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

Bu aynı zamanda rütbe için de geçerlidir : $n-1$

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ dörtlü 1 + 2 + 3 + \ nokta + n-1 = {\ frac {(n-1) n} {2}}}

Dolayısıyla her üyeye ekleyerek : $1$

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ dörtlü 1 + 2 + 3 + \ nokta + n-1 + 1 = {\ frac {(n-1) n} {2}} + 1}

2. adım:

Bu eşitlik şu şekilde de yazılabilir:

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ dörtlü 1 + 2 + 3 + \ nokta + n = {\ frac {(n-1) n + 2} {2}}}

Sıra eşitliğine göre , bu nedenle: $değil$

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ dörtlü \ sol [{\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ frac {(n-1) n + 2 } {2}} \ Solsağ ok n (n + 1) = (n-1) n + 2 \ sağ]}

nereden :

{\ displaystyle \ forall (n-1) \ in \ mathbb {N} \ dörtlü \ sol [n ^ {2} + n = n ^ {2} -n + 2 \ Leftrightarrow 2n = 2 \ sağ]}

Aşama 3:

En sonunda:

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ dörtlü n = 1}

Hata, toplamları ve . $\ toplam _ {{k = 1}} ^ {n} k$ ${\ displaystyle \ toplam _ {k = 1} ^ {n-1} k + 1}$

Entegrasyon sırasında yasa dışı değişken değişikliği yoluyla sözde gösterim

Prensip

Biri yerine getirdiğinde değişkenin değişikliği segmanlarında bir entegrasyon sırasında, değişkenin değişim olduğu yeterlidir Cı 1 - Diffeomorfizm . Değişken değişikliği çok hızlı yapılırsa, entegrasyonun sonunda saçma bir sonuç bulmak nadir değildir.

Adımlar: