Clifford cebirlerinin temsili
In matematik , temsilcilikleri Clifford cebirlerinin olarak da bilinir Clifford modüllerinden . Genel olarak, bir Clifford cebir Cı a, basit bir merkezi cebri bir kısmı üzerinde alanının genişletilmesi L bir alanının K üzerinde ikinci dereceden bir şekilde Q belirleyen C tanımlanır.
Clifford'un cebirsel modül teorisi, MF Atiyah , R. Bott ve A. Shapiro'nun yazdığı bir makalede kuruldu .
Gerçek Clifford cebirlerinin matris gösterimleri
Biz çalışma gerekecektir matrisleri o anticommute ( AB - = BA dik vektörler anticommute Clifford cebir gibi).
AT⋅B=12(ATB+BAT)=0{\ displaystyle A \ cdot B = {\ frac {1} {2}} (AB + BA) = 0}Gerçek Clifford cebiri Cℓ p, q (ℝ) için, p + q karşılıklı değişmez matrislere ihtiyacımız var, bunlardan p kare +1 ve q kare - 1'dir.
γ-de2=+1Eğer1≤-de≤pγ-de2=-1Eğerp+1≤-de≤p+qγ-deγb=-γbγ-deEğer-de≠b {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ gamma _ {a} ^ {2} & = & + 1 & {\ mbox {si}} & 1 \ leq a \ leq p \\\ gamma _ {a} ^ { 2} & = & - 1 & {\ mbox {si}} & p + 1 \ leq a \ leq p + q \\\ gamma _ {a} \ gamma _ {b} & = & - \ gamma _ {b } \ gamma _ {a} & {\ mbox {si}} ve a \ neq b \ \\\ end {matris}}}Böyle bir gama matris tabanı benzersiz değildir. Benzerlik dönüşümü ile aynı Clifford cebirini karşılayan başka bir gama matrisi seti elde edebiliriz .
γ-de′=Sγ-deS-1{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ gamma _ {a '} & = & S & \ gamma _ {a} & S ^ {- 1} \ end {matrix}}}S, tersinir bir matristir . Kümeler ve aynı denklik sınıfına aittir.
γ-de′{\ displaystyle \ gamma _ {a '} \,}γ-de{\ displaystyle \ gamma _ {a} \,}
Clifford cebiri Cℓ 3,1 (ℝ)
Ettore Majorana tarafından geliştirilen bu Clifford modülü, karmaşık sayılar içermeyen Dirac denkleminin bir varyantının oluşturulmasına izin verir ve elemanlarına Majorana spinors adı verilir .
Dört temel vektör, üç Pauli matrisi ve dördüncü bir antihermitian matrisidir (en) . İmza (in) (+++ -) 'dir. Fizikte sıklıkla kullanılan (+ −−−) ve (−−− +) imzaları için, karmaşık 4 × 4 matrislere veya gerçek 8 × 8 matrislere ihtiyacımız var.
Referanslar
-
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Clifford modülü " ( yazarların listesini görmek ) .
- (tr) MF Atiyah , R. Bott ve A. Shapiro , " Clifford Modules " , Topology , cilt. 3 (Ek 1),1964, s. 3-38 ( çevrimiçi okuyun )
- (tr) F.Reese Harvey , Spinors and Calibrations , Academic Press ,1990( Mayıs ISBN 978-0-12-329650-4 )
- (en) H. Blaine Lawson (de) ve Marie-Louise Michelsohn , Spin Geometry , Princeton University Press ,1989, 427 s. ( ISBN 978-0-691-08542-5 , çevrimiçi okuyun )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">