Ürün diyagramı

Gelen cebirsel geometri , iki ürün diyagramları (daha kesin olarak aynı temel diyagramı üzerinde iki diyagramları) vektör uzayı halkalarının ürünlerin eşdeğeri yer alır, topolojik boşlukların ... Bu bazlar, vb diyagramları yapı değiştirmek için kullanılan temel bir araçtır .

Tanım

Bir diyagramı düzeltiriz (temel diyagram olarak adlandırılır) ve -şema kategorisini dikkate alırız . Orada olalım iki -schemas. Kategorik dilde, (lif) ürün arasında yukarıda basitçe fiber ürünün arasında , kategorisinde -schemas. Daha somut olarak, bir fiber ürün , yukarıda bir veri olduğunu belirtmek -schema ve Morfizm (arasında, projeksiyon morfizimler ) , aşağıdaki genel özelliği tatmin: S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}X→S{\ displaystyle X \ - S}Y→S{\ displaystyle Y \ - S}S{\ displaystyle S}X,Y{\ displaystyle X, Y}S{\ displaystyle S}S{\ displaystyle S}X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}p:X×SY→X{\ displaystyle p: X \ times _ {S} Y \ ila X}q:X×SY→Y{\ displaystyle q: X \ times _ {S} Y \ ila Y}

herhangi -schema ve Morfizmlerin herhangi bir çifti için -schemas ve benzersiz bir morfizmalar vardır öyle ki ve .S{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}S{\ displaystyle S}f:Z→X{\ displaystyle f: Z \ - X}g:Z→Y{\ displaystyle g: Z \ - Y}h:Z→X×SY{\ displaystyle h: Z \ - X \ times _ {S} Y}f=ph{\ displaystyle f = ph}g=qh{\ displaystyle g = qh}

Önerme  -  Fiber ürün mevcuttur ve tek bir izomorfizme kadar benzersizdir. (X×SY,p,q){\ displaystyle (X \ kere _ {S} Y, p, q)}

Evrensel bir sorunun herhangi bir çözümü gibi, benzersizlik de tanımdan hemen çıkar. Varlığı, kendisini bir afin şemanın üzerinde iki afin şemanın fiber ürününe indirgeyerek kanıtlanır. Daha sonra , iki cebirin tensör çarpımının bir üniter değişmeli halka üzerindeki tensör çarpımının , afin şemaları kategorisinin zıt kategorisi olan -algebralar kategorisindeki toplam olduğu gerçeğini kullanırız . AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}

Değerlendirme. Fiber ürün genel olarak , ima edilen izdüşüm morfizmaları ile belirtilir. Eğer afin, biz yerine göre gösterimde. Yukarıdaki evrensel özellikteki morfizm kaydedilmiştir . X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y}S=SpevsAT{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} A}S{\ displaystyle S}AT{\ displaystyle A}h:Z→X×SY{\ displaystyle h: Z \ - X \ times _ {S} Y}(f,g){\ displaystyle (f, g)}

İlk özellikler

• Herhangi bir diyagram için uygulamaS{\ displaystyle S}Z{\ displaystyle Z}

MÖrS(Z,X×SY)→MÖrS(Z,X)×MÖrS(Z,Y){\ displaystyle {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X \ times _ {S} Y) \ to {\ rm {Mor}} _ {S} (Z, X) \ times {\ rm { Mor}} _ {S} (Z, Y)}

tarafından tanımlanmış bijektiftir. h↦(ph,qh){\ displaystyle h \ mapsto (ph, qh)}

• Eğer ve daha sonra, afin olduğu ve projeksiyon morfizimler halka homomorfizmalar tarafından indüklenir , olarak tanımlandığı ve .X=SpevsAT,Y=SpevsB{\ displaystyle X = {\ rm {Spec}} A, Y = {\ rm {Spec}} B}S=SpevsR{\ displaystyle S = {\ rm {Spec}} R}X×SY=Spevs(AT⊗RB){\ displaystyle X \ times _ {S} Y = {\ rm {Spec}} (A \ otimes _ {R} B)}p,q{\ displaystyle p, q}AT→AT⊗RB{\ displaystyle A \ ile A \ otimes _ {R} B}B→AT⊗RB{\ displaystyle B \ ile A \ otimes _ {R} B}-de↦-de⊗1{\ displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1}b↦1⊗b{\ displaystyle b \ mapsto 1 \ otimes b}
• Eğer ilgili açık kısımlarıysa , o zaman ve projeksiyon morfizmleri sadece kısıtlamalarıdır .U,V{\ displaystyle U, V}X,Y{\ displaystyle X, Y}U×SV=p-1(U)∩q-1(V){\ displaystyle U \ times _ {S} V = p ^ {- 1} (U) \ cap q ^ {- 1} (V)}U×SV{\ displaystyle U \ times _ {S} V}p,q{\ displaystyle p, q}
• Kanonik izomorfizmlerimiz var

X×SY→Y×SX,{\ displaystyle X \ times _ {S} Y \ - Y \ times _ {S} X,} (X×SY)×SZ→X×S(Y×SZ){\ displaystyle (X \ times _ {S} Y) \ times _ {S} Z \ ila X \ times _ {S} (Y \ times _ {S} Z)}

• Eğer bir olan -schema, o zaman bir kanonik izomorfizm varZ{\ displaystyle Z}Y{\ displaystyle Y}

(X×SZ)×ZY→X×SY.{\ displaystyle (X \ times _ {S} Z) \ times _ {Z} Y \ ila X \ times _ {S} Y}

Örnekler

• Eğer bir alanın üzerine cebirleridir . Daha sonra bir ilişkili -affine diyagram cebiri . AT,B{\ displaystyle A, B}k{\ displaystyle k}SpevsAT×kSpevsB{\ displaystyle {\ rm {Spec}} A \ times _ {k} {\ rm {SpecB}}}k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}AT⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}
  • Eğer ve öyleyse . Yani .AT=k[T1,...,Tdeğil]{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}B=k[S1,...,Sm]{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}AT⊗kB=k[T1,...,Tdeğil,S1,...,Sm]{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}ATkdeğil×kATkm=ATkdeğil+m{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {m} = {\ mathbb {A}} _ {k } ^ {n + m}}
  • Eğer ve ardından bölümüdür İdeal tarafından üretilen tarafından .AT=k[T1,...,Tdeğil]/ben{\ displaystyle A = k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}B=k[S1,...,Sm]/J{\ displaystyle B = k [S_ {1}, \ ldots, S_ {m}] / J}AT⊗kB{\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}k[T1,...,Tdeğil,S1,...,Sm]{\ displaystyle k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}, S_ {1}, \ ldots, S_ {m}]}ben,J{\ displaystyle I, J}
• Yansıtma çizgisinin ürünü kendi başına yansıtmalı düzleme izomorfik değildir . Bu ürün izomorf kuadratik olduğu bir . Daha genel olarak, iki projektif manifoldun ürünü bir projektif manifolddur ( Segre gömme ).Pk1{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {1}}Pk2{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {2}}x0x3-x1x2=0{\ displaystyle x_ {0} x_ {3} -x_ {1} x_ {2} = 0}Pk3{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {k} ^ {3}}
• SpevsVS×RSpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} {\ mathbb {C}} \ times _ {\ mathbb {R}} {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}tam olarak iki noktaya sahip cebirsel bir çeşittir , oysa her bileşenin yalnızca bir noktası vardır.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}SpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}

Noktaları, genel olarak Kartezyen çarpımının noktaları değildir (bkz. Yukarıdaki ürünün kendisiyle birlikte yukarıdaki örneği ). Bir alan üzerindeki cebirsel çeşitler için , X×SY{\ displaystyle X \ times _ {S} Y} X×Y{\ displaystyle X \ times Y}SpevsVS{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}k{\ displaystyle k}

(X×kY)(k)=X(k)×Y(k).{\ displaystyle (X \ times _ {k} Y) (k) = X (k) \ times Y (k).}

Yani rasyonel noktaların iyi bir kontrolüne sahibiz. Ancak, bile cebirsel kapalı ve (kapalı noktaları biz kapalı noktalara kendimizi kısıtlamak olduğu kapalı noktalarının Kartezyen ürün ile eşleşme olduğunu ve bu durumda), ürün üzerinde Zariski en topoloji (Kartezyen ürün) kesinlikle daha ince olduğu genel olarak ürün topolojisinden daha fazla . Örneğin , çizgi afin ise . Yani afin düzlemdir . Zariski açık (köşegenin tamamlayıcısı) açıklıkları olan formun boş olmayan herhangi bir açıklığını içermez . k{\ displaystyle k}X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X×Y{\ displaystyle X \ times Y}X=Y{\ displaystyle X = Y}k{\ displaystyle k}X×kY{\ displaystyle X \ times _ {k} Y}Spevsk[t,s]{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [t, s]}D(t-s){\ displaystyle D (ts)}U×V{\ displaystyle U \ times V}U,V{\ displaystyle U, V}ATk1{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {1}}

Baz değişimi

Değişen baz kavramı, model teorisinde esastır. Izin bir -schema. Izin vermek diyagramların bir morfizmi. Daha sonra ikinci izdüşüm ile sağlanan fiber ürün bir -şemadır ve tabanın değişmesi ile elde edildiğini söyleriz . Bu şekilde elde edilen diyagram not edilir . Daha genel olarak, bir morfizmanın olan -schémas tarafından üretilen elyaf indükler bir morfizma bir -schémas. X→S{\ displaystyle X \ - S}S{\ displaystyle S}T→S{\ displaystyle T \ - S}X×ST{\ displaystyle X \ times _ {S} T}q:X×ST→T{\ displaystyle q: X \ times _ {S} T \ ila T}T{\ displaystyle T}T→S{\ displaystyle T \ - S}T{\ displaystyle T}XT{\ displaystyle X_ {T}}f:X→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}S{\ displaystyle S}T{\ displaystyle T}fT:XT→YY{\ displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ - Y_ {Y}}T{\ displaystyle T}

• Örneğin, halkaların bir homomorfizmi ise (üniter değişmeli), afin uzay , bazların değişimi dikkate alınarak inşa edilebilir .B→VS{\ displaystyle B \ ila C}ATVSdeğil{\ displaystyle A_ {C} ^ {n}}ATBdeğil{\ displaystyle A_ {B} ^ {n}}SpevsVS→SpevsB{\ displaystyle {\ rm {Spec}} C \ - {\ rm {Spec}} B}
• Eğer , bir saha uzantısıdır veritabanlarını değiştirdikten sonra, olur , .K/k{\ displaystyle K / k}Spevsk[T1,...,Tdeğil]/ben{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / I}SpevsK→Spevsk{\ displaystyle {\ rm {Spec}} K \ - {\ rm {Spec}} k}Spevs(K[T1,...,Tdeğil]/(ben)){\ displaystyle {\ rm {Spec}} (K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}
• Benzer şekilde olur .PrÖjk[T0,...,Tdeğil]/ben{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / I}PrÖj(K[T0,...,Tdeğil]/(ben)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (K [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (I))}

Bu iki örnekte, temel değişiklik bir alan uzantısı ile verilmiştir. Daha sonra temel alanın genişlemesinden veya skalerlerin uzantılarından bahsediyoruz . Örneğin, tekil olmayan bir projektif konik , taban alandan ayrılabilen ikinci dereceden bir uzantıdan sonra projektif çizgiye izomorfizm haline gelir.

• Eğer bir alanın üzerine bir cebirsel çeşitliliği ve eğer bir uzantısıdır. Sonra rasyonel noktaların kümesidir .X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}K/k{\ displaystyle K / k}X(K)=XK(K){\ displaystyle X (K) = X_ {K} (K)}XK{\ displaystyle X_ {K}}

Bir morfizmin lifleri

Izin vermek diyagramların bir morfizmi. Bir nokta olalım . Ensemblistement, lif içinde in alt kümesi arasında . Fiber ürün, bu alt kümeye bir şema yapısının kanonik olarak verilmesini mümkün kılar. Gerçekten de, bir kanonik morfizmalar var , bir kalıntı alan içinde tr . Ya . İkinci izdüşümün bir diyagramıdır. İzdüşümün bir sur homeomorfizmini tetiklediğini gösteriyoruz . Şema denir tr lif . -Schema sonra etti olarak görülebilir zaman -schemas, noktalar kesen . f:X→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}y∈Y{\ displaystyle y \ Y olarak}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}X{\ displaystyle X}Spevsk(y)→Y{\ displaystyle {\ rm {Spec}} k (y) \ - Y}k(y){\ displaystyle k (y)}Y{\ displaystyle Y}y{\ displaystyle y}Xy: =X×YSpevsk(y){\ displaystyle X_ {y}: = X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}X×YSpevsk(y)→X{\ displaystyle X \ times _ {Y} {\ rm {Spec}} k (y) \ - X}Xy{\ displaystyle X_ {y}}f-1(y){\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}Xy{\ displaystyle X_ {y}}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}k(y){\ displaystyle k (y)}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}

Eğer bir indirgenemez için jenerik noktada , lif denir jenerik lif arasında . Eğer bir kapalı bir nokta lif, bir adlandırılan kapalı lif (ya da özel bir lif zaman bir tayfıdır ayrık değerleme halkası ). Y{\ displaystyle Y} η{\ displaystyle \ eta}Xη{\ displaystyle X _ {\ eta}}f{\ displaystyle f}y{\ displaystyle y}Y{\ displaystyle Y}Xy{\ displaystyle X_ {y}}Y{\ displaystyle Y}

Örnekler

• Afin alan yapısal morfizma lifler üzerinde afin boşluklar vardır .ATYdeğil{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {Y} ^ {n}}Y{\ displaystyle Y}ATk(y)değil{\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k (y)} ^ {n}}
• Sabit bir asal sayı nerede olsun . Bu bir şema. Jenerik lifleri sağda izomorfiktir, kökeni rasyonel insanların vücudunda daha az rafine eder çünkü tersine çevrilemez . Aynı şekilde ilk olarak fiber (böylece birinci ideali tekabül eden ) hattı afin az sonlu alanda kökenli izomorf olan elemanlar. Öte yandan, elyafı bir noktada enine kesişen iki düz çizginin birleşimine eşittir . Bu fiber indirgenmez çünkü bölümdeki sınıfı sıfır değildir ve üstelsıfırdır.X=Spevs(Z[t,s]/(ts2-p)){\ displaystyle X = {\ rm {Özel}} (\ mathbb {Z} [t, s] / (ts ^ {2} -p))}p{\ displaystyle p}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}p{\ displaystyle p}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}l{\ displaystyle l}lZ{\ displaystyle l \ mathbb {Z}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}l{\ displaystyle l}p{\ displaystyle p}SpevsFp[t,s]/(ts2){\ displaystyle {\ rm {Özel}} F_ {p} [t, s] / (ts ^ {2})}Fp{\ displaystyle F_ {p}}ts{\ displaystyle ts}
• Izin bir uzantısı numarası alanları ve izin kendi ilgili tamsayı halkaları olmak . Tam sayı halkalarının dahil edilmesiyle indüklenelim. Uzantısı ise olan dallı olmayan bir birinci içinde ideal bir elyaf halinde ise de , bir düşük şemasıdır.L/K{\ displaystyle L / K}ÖK,ÖL{\ displaystyle O_ {K}, O_ {L}}f:SpevsÖL→SpevsÖK{\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} O_ {L} \ - {\ rm {Spec}} O_ {K}}L/K{\ displaystyle L / K}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}ÖK{\ displaystyle O_ {K}}f{\ displaystyle f}p{\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}
• Eğer bir olan eliptik eğri üzerinde , minimal Weierstrass'ın denklemi ile ilgili bir yansıtmalı düzeni tanımlar (ki ). Bir asal sayı fiber (nokta olarak görülen bir ) ana gövde üzerinde bir yansıtmalı eğridir ve (ya da daha doğrusu) olarak adlandırılır azalma ve mod .E{\ displaystyle E}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}PrÖjZ[X,Y,Z]/(Y2Z+-de1XZY+-de3Z2Y-(X3+-de2X2Z+-de4XZ2+-de6Z3){\ displaystyle {\ rm {Proj}} \ mathbb {Z} [X, Y, Z] / (Y ^ {2} Z + a_ {1} XZY + a_ {3} Z ^ {2} Y- (X ^ {3} + a_ {2} X ^ {2} Z + a_ {4} XZ ^ {2} + a_ {6} Z ^ {3})}p{\ displaystyle p}pZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}SpevsZ{\ displaystyle {\ rm {Spec}} \ mathbb {Z}}Fp{\ displaystyle F_ {p}}E{\ displaystyle E}p{\ displaystyle p}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">