Simetri (geometrik dönüşüm)

Bir geometrik simetri bir bir involutive geometrik dönüşüm paralellik muhafaza eder. Yaygın simetriler, yansıma ve merkezi simetriyi içerir .

Geometrik simetri, özel bir simetri durumudur . Düzlemde veya uzayda birkaç çeşit simetri vardır.

Not  : Simetri teriminin matematikte de başka bir anlamı vardır. İfade simetri grubunda , bir simetri herhangi bir izometriyi belirtir . Bu terim , bir çeviriyi veya bir ortogonal otomorfizmi veya her ikisinin kombinasyonunu belirtir.

Düzlemde simetri

Merkezi simetri (bir noktaya göre)

Sunum

Merkezi O simetri herhangi bir noktada M'nin, M '[örneğin O olduğu MM] orta noktası' noktası ilişkilendirir dönüşümdür.

Symcentre.png

Yapım: A ve O'dan geçen (d) çizgisini çizin. O'nun ötesine uzatın. Bir pusula O'ya dönük ve OA'ya eşit bir boşlukla, (d) 'yi A'da kesin.

Bu simetrinin tek değişmez noktası O noktasıdır.

O merkezli bir simetri aynı zamanda düz açılı bir dönüş ve O merkezi ve -1 oranı ile bir homotetedir.

Simetri merkezi

Bir şeklin, C merkezinin simetrisine göre değişmez olması halinde, bir C simetri merkezi vardır.

Simetri merkezi örnekleri:

  • N, S ve Z harflerinin bir simetri merkezi vardır.
  • Paralelkenar, simetri merkezi olarak köşegenlerinin kesişme noktasına sahiptir. Bu özellik, paralelkenarların karakteristiğidir: bu özelliğe sahip bir ABCD dörtgeni zorunlu olarak bir paralelkenardır.

Parallelogram.svg

  • Altıgen simetri merkezi olarak köşegenlerinin kesişme kabul oluşan bir poligondur.
  • Daire, merkezini simetrinin merkezi olarak kabul eder.
  • Analizde, denklemi eğri y = f ( x ), bir simetri merkezine sahiptir C ( a  , b , herhangi bir gerçek için), ancak ve ancak, h , öyle ki a + H tanımının etki alanına ait f , elimizdeki
    • a - h tanım alanına aittir
    • f ( bir + h ) + f ( bir - h ) = 2 b
Simetrinin merkezi koordinat sisteminin başlangıcında olduğunda, fonksiyonun tuhaf olduğu söylenir. Bu durumda, önceki ifade şu şekilde basitleştirilir: f (- h ) = - f ( h ). Grup merkezi simetriler-çeviriler

O ve O ', O' os O merkezlerine sahip iki simetrinin bileşiği bir vektör çevirisidir

Bu özellik sayesinde, bir birinci tanımlamak için yapar grubu arasında dönüşüm , merkezi simetri-çeviri: düzleminin. Gerçekte, iki merkezi simetri veya öteleme oluşturarak, kişi merkezi bir simetri veya bir öteleme elde eder. Ve özdeş haritayı elde etmek için , vektörü - u'nun ötelemesiyle u vektörünün bir çevirisini oluşturmak veya kendi başına bir merkezi simetri oluşturmak yeterlidir .

Merkezi simetri, mesafeleri ve yönlendirilmiş açıları korur. Bu nedenle pozitif bir izometri veya yer değiştirmedir . Bu nedenle önceden tanımlanan grup, yer değiştirme grubunun bir alt grubudur.

Bir çizgiye göre eksenel veya ortogonal simetri

Sunum

Bunlara ayrıca ( d ) eksen yansımaları da denir . Yansıma eksenine (arasında d ) (tüm noktaları bırakır düzlemin dönüşümü d herhangi bir noktasında) değişmez ve bu, M olmayan (bulunan d ), ilişkilendiren noktası M '(bu şekilde d ) dik olan açıortay [MM ']. Dikey bisektörün iki eşdeğer tanımı olduğundan, bu nedenle M 'noktasının iki eşdeğer yapısını biliyoruz.

İnşaat

Veri: simetri ekseni ( d ), A noktası .

Amaç: bir 'simetrik oluşturmak için A ekseninin (ortogonal simetrisi d ).

  • İlk yöntem:
A'dan geçen ( d ) 'ye dik bir çizgi çizin . Bu düz çizgi, ekseni bir H noktasında keser . Pusula H'ye ve A'ya dönükken, ( AH ) ile A ' noktasında kesiş.
  • İkinci yöntem:
B noktası verildiğinde, eksen ( d ) [BB '] nin dikey açıortayının olması gerektiği şekilde B' noktasını arar . B 'noktasını inşa etmek için aşağıdaki özelliği kullanacağız: Bir parçanın dik açıortayının herhangi bir noktası , bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır . ( D ) ' nin herhangi iki noktasını c1 ve c2 seçeriz ve c1B = c1B' ve c2B = c2B 'olacak şekilde bir B' noktası belirleriz. Yani ( c1c2 ) 'nin, yani d' nin [BB'] nin dik açıortaycısı olduğundan eminiz . ( D ) üzerinde c1 ve c2'yi seçin . Pusulanın kuru noktasını c1 yerleştirin ve diğer B dalına yayın . Bir yay çizin. İçinde drypoint ile aynı yapın c2 . İki yay B ve B'de kesişir.

Simetri axe.png

Simetri ekseni

Bir şeklin bir simetri ekseni ( d ) vardır, ancak ve ancak eksenin ( d ) yansımasıyla değişmez ise

Yaygın figürlere örnekler:

  • A, B, C, c, D, E, K, l, M, T, U, V, v, W, w harfleri genellikle birçok basit yazı tipinde (el yazısı olmayan ve italik olmayan) bir simetri eksenine sahiptir.
  • Daire , bir yer alır sonsuz simetri eksenlerinin: tüm çapları . Bu bazen büyütülmüş O ve o harflerinde (el yazısı olmayan ve italik olmayan) durum olabilir.
  • Herhangi bir açının her zaman bir simetri ekseni vardır: açıortay . Bu bazen büyütülmüş L harfinde (el yazısı olmayan ve italik olmayan) durum olabilir.
  • İkizkenar üçgen ana açıortay: bir simetri eksenine sahiptir. Bu genellikle büyük delta Yunanca harf Δ (el yazısı olmayan ve italik olmayan) için geçerlidir.
  • Eşkenar üçgen onun 3 bisectors: simetri 3 eksene sahiptir.
  • Elmas onun 2: 2 sahiptir diyagonallerini .
  • Dikdörtgen olarak 2: 2 olan medyan .
  • Kare (aynı zamanda bir eşkenar dörtgen olduğu) olan 2 diyagonalleri ve 2 medyan (aynı zamanda bir dikdörtgen olduğu için): 4 sahiptir.
  • Analizde, y = f ( x ) denkleminin bir eğrisi, x = a denkleminin bir simetri eksenine sahiptir, ancak ve ancak , ( a + h ) f'nin tanım alanına ait olan herhangi bir h için , elimizde:
    • ( a - h ) tanım alanına aittir ve
    • f ( a + h ) = f ( a - h );
    simetri ekseni eksen ( Oy ) olduğunda, yani burada eksen denklemi x = 0 (dolayısıyla a = 0 ile), fonksiyon çift olarak adlandırılır  : f ( h ) = f (- h )

İki dikey simetri eksenine sahip bir şekil, simetri merkezi için iki çizginin kesişme noktasına sahiptir. Örneğin, basit yazı tiplerindeki (el yazısı olmayan ve italik olmayan) H, I, O, X harfleri genellikle iki dikey simetri eksenine sahiptir, dolayısıyla aynı şekilde dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare de bir simetri merkezi.

Yansıma ve izometri grubu

Yansıma, mesafeleri ve açıları korur. Bu nedenle bir izometridir . Ancak yönelimi korumaz ( kiraliteye bakın ). Bunun yerinden edilme karşıtı olduğunu söylüyorlar.

Yansımaların bileşimi

Paralel eksenlerin iki yansımasının bileşimi, bu eksenler arasındaki mesafenin iki katına eşit bir mesafeye sahip bir ötelemedir.

Karşıdaki resimde, medyanın vektör özellikleri şunu söylememizi sağlar:

Simetri ekseni comp1.png

İki yansımanın bileşik sekant eksenleri a, dönme iki eksen arasında oluşan iki açısına eşit bir açı ile.

Karşıdaki resimde, bisektörlerdeki özellikler şunu söylememizi sağlar:

Simetri ekseni comp2.png

Daha sonra, yansıma kümesinin tüm izometri kümesini oluşturduğunu fark ederiz.

Eğik simetri

Bir hat (göre simetri d bir yönde sonra) (d ') (paralel olmayan ( d )) (tüm noktaları bırakır dönüşümü d herhangi bir noktasında) değişmez ve bu, M (üzerinde değildir d ) ) M ' noktasını , (MM') doğrusu (d ')' ye paralel ve [MM '] orta noktası ( d ) açık olacak şekilde ilişkilendirin

Eğik simetri.png

Bu simetri kapsayıcıdır: M ' nin simetrisi M'dir . Mesafeleri korumadığı için kuzenlerinden daha az ilgi gösteriyor: rakamları çarpıtıyor. Bununla birlikte, sınır merkezlerini korur ve bu nedenle afin dönüşümlerin bir parçasıdır.

Uzayda simetri

Merkezi simetri

Central symmetry space2.png

Düzlemdeki merkezi simetriyle aynı tanımı ve aynı özellikleri buluyoruz, ancak merkezi bir simetri uzaydaki yönelimi korumaz.

Adam sağ elini kaldırıyor ve görüntüsü sol elini kaldırıyor.

Bir doğru etrafında ortogonal simetri

Simetri ekseni alanı.png

Plandaki ile aynı tanımı buluyoruz. Bir çizgiye göre ortogonal bir simetri aynı zamanda eksenin ( d ) ve düz açının bir dönüşüdür .

Düzlemde olanlardan farklı olarak, uzayda bu tür bir simetri, yönelimi korur.

Adam sağ elini kaldırıyor ve görüntüsü sağ elini kaldırıyor.

Düzleme göre ortogonal simetri

Symplan.png

Düzlemine (göre dik simetri P ) (tüm noktaları bırakır dönüşümü P herhangi bir noktasında) değişmez ve bu, M olmayan (bulunan P ), nokta ilişkilendirir M (bu şekilde P ) olan [MM '] düzlem aracısı

Bu tür bir simetri, mesafeleri ve açıları korur, ancak yönelimi korumaz.

Örneğin sağ elinizi aynanın önünde kaldırdığınızda görüntünüz sol elini kaldırır.

Düzlemlere göre simetri kümesinin, tüm uzay izometrileri kümesini kompozisyon yoluyla oluşturduğunu kanıtlıyoruz.

Eğik simetriler

Bir sadece de eksen (simetrilerini tanımlayabilir d yönüne (to) göre P (göre) ya da simetrileri P yönünde (göre) d herhangi bir alt uzay eşit olması koşuluyla) veya (paralel P tamamen içermez) ( d ) ne tamamen (içerdiği d ) ve bunların kesişme tek bir noktadan (aksi takdirde bu dönüşümler simetrileri ancak değildir azaltır çıkıntılar ).

Ancak ( d ) ve ( P ) ortogonal değilse, bu dönüşümler izometri değildir. Ancak bu dönüşümler (ve aynı zamanda projeksiyonlar) bariyeri merkezde tutar ve uzayın afin dönüşümlerinin belirli durumlarıdır .

Notlar ve referanslar

  1. Bir noktaya veya şekle iki kez uygulandığında , orijinal şekli buluruz
  2. İki paralel hat, birbirine paralel kalan diğer iki hatta dönüştürülür.
  3. Eşkenar olmayan ikizkenar üçgenin ana açıortayı, aynı uzunluktaki iki kenarın oluşturduğu açının açıortaydır.

Ayrıca görün