Cramer kuralı
Cramer kuralı (veya Cramer yöntemi ) bir olduğu teoremi içinde doğrusal cebir bir çözümünü veren Cramer sistemine demek ki, bir lineer denklem sistemi ile çok bilinmeyenli olarak denklemler ve kimin olarak belirleyici katsayılarının matrisinin olmayan bir -zero, determinantların bölümleri şeklinde.
Hesaplamada, yöntem, birinci üyedeki katsayıları açıkça verilen büyük sistemler için (dört denklemden) Gauss çözümleme yönteminden daha az etkilidir . Bununla birlikte, teorik öneme sahiptir, çünkü sistemin çözümü için açık bir ifade verir ve örneğin birinci üyenin katsayılarının parametrelere bağlı olduğu sistemlerde uygulanır, bu da Gauss yöntemini uygulanamaz hale getirebilir.
İsmini İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer'den (1704-1752) almıştır.
Açıklama
Sistem , n denklemler n bilinmeyenler genel formu:
{-de1,1x1+-de1,2x2+...+-de1,değilxdeğil=λ1-de2,1x1+-de2,2x2+...+-de2,değilxdeğil=λ2⋮-dedeğil,1x1+-dedeğil,2x2+...+-dedeğil,değilxdeğil=λdeğil{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + ... + a_ {1, n} x_ {n} = \ lambda _ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + ... + a_ {2, n} x_ {n} = \ lambda _ {2 } \\ vdots \\ a_ {n, 1} x_ {1} + a_ {n, 2} x_ {2} + ... + a_ {n, n} x_ {n} = \ lambda _ {n} \ son {matris}} \ sağ.}bir matris ürünü olarak temsil edilir :
(-de1,1-de1,2⋯-de1,değil-de2,1-de2,2⋯-de2,değil⋮⋮⋱⋮-dedeğil,1-dedeğil,2⋯-dedeğil,değil)×(x1x2⋮xdeğil)=(λ1λ2⋮λdeğil)⇔AT⋅X=Λ{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & \ cdots & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & \ cdots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & \ cdots & a_ {n, n} \\\ end { pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ { 1} \\\ lambda _ {2} \\\ vdots \\\ lambda _ {n} \\\ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow A \ cdot X = \ Lambda}burada kare matris bilinmeyen katsayıları içeren, kolon vektörü , bu bilinmeyen içerir ve kolon vektör sisteminin denklem sağ üye ihtiva eder; katsayılar ve bilinmeyenler aynı değişmeli alanın parçalarıdır .
AT{\ displaystyle A} X{\ displaystyle X}Λ{\ displaystyle \ Lambda}
Teoremi daha sonra Sistem, tek bir çözelti kabul belirtmektedir , ancak ve ancak bunun matris olup tersi (sıfır olmayan belirleyici), ve bu solüsyon daha sonra aşağıdaki şekilde verilir:
AT{\ displaystyle A}
xk=det(ATk)det(AT){\ displaystyle x_ {k} = {\ det (A_ {k}) \ \ det (A)}} üzerindek'inci sütunu sütun vektörü ile değiştirilerek oluşturulan kare matris nerede bulunur .
ATk{\ displaystyle A_ {k}}AT{\ displaystyle A}Λ{\ displaystyle \ Lambda}
ATk=(-dek|ben,j) ile -dek|ben,j={-deben,jEğer j≠kλbenEğer j=k{\ displaystyle A_ {k} = (a_ {k | i, j}) {\ mbox {with}} a_ {k | i, j} = \ sol \ {{\ başla {matris} a_ {i, j} & {\ mbox {si}} j \ neq k \\\ lambda _ {i} & {\ mbox {si}} j = k \ end {matris}} \ sağ.}Bir kare sistem (yani bilinmeyenler kadar denklem içeren), matrisinin determinantı sıfır değilse Cramer olarak adlandırılır.
Sistem (her zaman kare) Cramer's olmadığında (yani, A'nın determinantı sıfır olduğunda):
- matrislerden birinin determinantı sıfır değilse, sistemin çözümü yoktur;ATk{\ displaystyle A_ {k}}
- tersi yanlıştır: belirleyicilerin hepsi sıfır olmasına rağmen sistemin bir çözümü olmayabilir . Bir örnek şu şekilde verilmektedir:det(ATk){\ displaystyle \ det (A_ {k})}
{x+y+z=1x+y+z=2x+y+z=3{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 3 \ end {matris}} \ sağ.}Daha fazla ayrıntı için bkz. Rouché-Fontené teoremi .
Doğrusal bir sistemi Cramer kuralı kullanarak çözmek için gerçekleştirilecek işlemlerin sayısı, determinantı hesaplamak için kullanılan yönteme bağlıdır. Belirleyici hesaplamalar için etkili bir yöntem Gauss-Jordan eliminasyonudur ( polinom karmaşıklığı ). Bununla birlikte, Cramer kuralı, sistemin boyutuna eşit bir dizi belirleyici hesaplamaya başvurmayı gerektirecektir, sisteme doğrudan uygulanan bir Gauss-Jordan eliminasyonu, bu nedenle sorunu daha verimli bir şekilde çözer.
Gösteriler
Eğer A tersinir ise, X çözümünü hesaplayın (var olduğunu ve benzersiz olduğunu biliyoruz).
Direkt yöntem
Let C 1 , ..., C n sütunları A . Eşitlik AX = Λ yeniden yazılır
Λ=x1VS1+...+xdeğilVSdeğil.{\ displaystyle \ Lambda = x_ {1} C_ {1} + \ ldots + x_ {n} C_ {n}.}Determinantın k- inci sütununa göre doğrusallığı ile,
det(ATk)=x1det(Bk,1)+⋯+xdeğildet(Bk,değil){\ displaystyle \ det (A_ {k}) = x_ {1} \ det (B_ {k, 1}) + \ cdots + x_ {n} \ det (B_ {k, n})}burada B k, j , k- inci sütunun C j ile değiştirildiği A matrisini belirtir . Şimdi tüm j ≠ k için , B k, j matrisinin iki eşit sütunu vardır, dolayısıyla determinantı sıfırdır. O zaman kalır
det(ATk)=xkdet(Bk,k)=xkdet(AT),{\ displaystyle \ det (A_ {k}) = x_ {k} \ det (B_ {k, k}) = x_ {k} \ det (A),}dolayısıyla sonuç, hipotez tarafından sıfır olmayan det ( A ) 'ya bölünerek elde edilir.
Laplace formülünü kullanan yöntem
Ters matris bir -1 Laplace formül ile verilir
AT-1=1detATtvsÖmAT{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A}} \, {} ^ {t} {{\ rm {com}} A}}burada bir
transpoze bir
adjugate matris arasında A . X = A −1 Λ benzersiz çözümünün her bir koordinatını ifade edelim , k için 1'den n'ye kadar değişelim :
tvsÖmAT{\ displaystyle {} ^ {t} {{\ rm {com}} A}}xk=∑j=1değilλjVSÖfj,kdet(AT).{\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ lambda _ {j} {\ rm {Cof}} _ {j, k}} {\ det (A) }}.}Yine Laplace formülüne göre, paydaki toplam k- inci sütununa göre açılımıdır, yani
det(ATk){\ displaystyle \ det (A_ {k})}xk=det(ATk)det(AT).{\ displaystyle x_ {k} = {\ det (A_ {k}) \ \ det (A)} üzerinde.}
Not
Cramer formülü, tersine, Laplace'ınkini göstermeye izin verir.
Örnekler
Sipariş 2 sistemi
Eğer sistem,
-ded-bvs≠0{\ displaystyle reklam-bc \ neq 0}
{-dex+by=evsx+dy=f{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {matrix}} \ sağ.}tek çözüm için var:
x=|ebfd||-debvsd|=ed-bf-ded-bvs,y=|-deevsf||-debvsd|=-def-evs-ded-bvs.{\ displaystyle x = {{\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {ed-bf \ over ad- bc}, \ quad y = {{\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {af-ec \ over ad-bc}.}Sayısal örnek:
4x+2y=242x+3y=16}⇔{x=24⋅3-16⋅28=408=5y=4⋅16-2⋅248=168=2{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} 4x + 2y = 24 \\ 2x + 3y = 16 \ end {matrix}} \ right \} \ Leftrightarrow \ left \ {{\ begin {matrix} x = {24 \ cdot 3-16 \ cdot 2 \ over 8} = {40 \ over 8} = 5 \\ y = {4 \ cdot 16-2 \ cdot 24 \ over 8} = {16 \ over 8} = 2 \ end {matris}} \ doğru.}
Sipariş sistemi 3
{-de1x1+b1x2+vs1x3=d1-de2x1+b2x2+vs2x3=d2-de3x1+b3x2+vs3x3=d3{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1} x_ {1} + b_ {1} x_ {2} + c_ {1} x_ {3} = d_ {1} \\ a_ {2} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} + c_ {2} x_ {3} = d_ {2} \\ a_ {3} x_ {1} + b_ {3} x_ {2} + c_ {3 } x_ {3} = d_ {3} \ end {matrix}} \ sağ.}Hadi poz verelim:
AT=(-de1b1vs1-de2b2vs2-de3b3vs3),X=(x1x2x3)veΛ=(d1d2d3).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {pmatrix}}, \ quad X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {ve}} \ quad \ Lambda = {\ begin {pmatrix} d_ {1} \\ d_ {2} \\ d_ {3} \ end {pmatrix}}.}Sistem, yalnızca ve ancak aşağıdaki durumlarda benzersiz bir çözümü kabul eder :
det(AT)≠0{\ displaystyle \ det (A) \ neq 0}
x1=det(AT1)det(AT)=|d1b1vs1d2b2vs2d3b3vs3|det(AT){\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {\ det (A_ {1})} {\ det (A)}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} d_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ d_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ d_ {3} & b_ {3} & c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ det (A)}}}
x2=det(AT2)det(AT)=|-de1d1vs1-de2d2vs2-de3d3vs3|det(AT){\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {\ det (A_ {2})} {\ det (A)}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {1} & d_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & d_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & d_ {3} & c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ det (A)}}}
x3=det(AT3)det(AT)=|-de1b1d1-de2b2d2-de3b3d3|det(AT){\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {\ det (A_ {3})} {\ det (A)}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & d_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & d_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & d_ {3} \ end {vmatrix}} {\ det (A)}}}
Veya daha basitçe:
X=(x1x2x3)=1det(AT)⋅(det(AT1)det(AT2)det(AT3)).{\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {\ det (A)}} \ cdot {\ begin {pmatrix} \ det (A_ {1}) \\\ det (A_ {2}) \\\ det (A_ {3}) \ end {pmatrix}}.}Sistemin herhangi bir çözümü kabul etmemesi için yeterli :
det(AT)=0ve(det(AT1)≠0veyadet(AT2)≠0veyadet(AT3)≠0){\ displaystyle \ det (A) = 0 \ quad {\ text {ve}} \ quad {\ Big (} \ det (A_ {1}) \ neq 0 \ quad {\ text {veya}} \ quad \ det (A_ {2}) \ neq 0 \ quad {\ text {veya}} \ quad \ det (A_ {3}) \ neq 0 {\ Büyük)} \,}Durumda
det(AT)=det(AT1)=det(AT2)=det(AT3)=0{\ displaystyle \ det (A) = \ det (A_ {1}) = \ det (A_ {2}) = \ det (A_ {3}) = 0 \,}Ya sonsuz sayıda çözüme sahip olabiliriz ya da hiç olmayabiliriz.
Referanslar
-
J.-P. Marco ve L. Lazzarini (yön.), Mathematics L1: İnceleme sayfaları, 1000 düzeltilmiş test ve alıştırma ile eksiksiz kurs , Pearson ,2013, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 479.
-
Jean-Pierre Ramis ve André Warusfel ( yönetmen ), Lisans için Hepsi Bir Arada Matematik: Seviye 1 , Dunod ,2013, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 382.
-
L. Thomas, Lineer Cebir Lisans 1 st 2009-2010 , (ilk bildiri EB Flückiger ve P. Chabloz tarafından geliştirilen) EPFL , Eylül 2009, s. 47-48 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">