Hahn-Banach teoremi

Gelen matematik ve daha özel olarak analiz ve geometri , Hahn-Banach teoremi iki matematikçi nedeniyle, Hans Hahn ve Stefan Banach , uzantıları varlığının bir teoremi doğrusal biçimlerde belirli koşulları sağlayarak.

Birçok sürekli fonksiyonun varlığının soyut kanıtına izin vererek, fonksiyonel analizin temel bir aracıdır .

Sabit bir dışbükeyden kaçınan hiper düzlemler açısından geometrik yorumu ile , aynı zamanda dışbükeylerin geometrisi çalışmasında ve ötesinde dışbükey analizde ilkel bir rol oynar .

Analitik form ve geometrik form

Bilimsel literatürde “Hahn-Banach teoremi” olarak adlandırılan ifadeler çok sayıdadır, bazen basit detaylarda bazen de önemli ölçüde birbirinden farklılık gösterir. Yine de açıkça iki sınıfa ayrılırlar: bazıları , belirli artış gereklilikleri altında doğrusal bir formu genişletebilmeyi garanti eder (teoremin "analitik" formları); Diğer bir ya da iki ayrı olabilir temin dışbükey setleri , bir ile afin hiper (teoremi “geometrik” formları).

Bu iki kategorinin her biri için bir ifade örneği ile başlayalım.

Teoremin analitik formunun bir ifadesi

Teoremi  -  Let V olabilir gerçek vektör alanı ve p bir dışbükey fonksiyonu arasında V bölgesi . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Let G olmak bir vektörü alt uzay V ve f bir doğrusal form ile G bir noktasında olan tatmin x ve G üst sınır durumu . f(x)≤p(x){\ displaystyle f (x) \ leq p (x)}

Daha sonra doğrusal bir uzantı vardır g arasında f ile V da koşul altında herhangi bir noktasında x ve v . g(x)≤p(x){\ displaystyle g (x) \ leq p (x)}

Teoremin geometrik formunun bir ifadesi

Teoremi  -  itibarıyla bir topolojik vektör uzayı E vardır C bir konveks açık boş olmayan ve L bir afin alt uzay , ayrık gelen C .

Daha sonra , L içeren ve C'den ayrık, dolayısıyla kapalı bir afin hiper düzlem vardır .

Teoremin analitik formu, 1920'den itibaren normalleştirilmiş vektör uzayları ile ilgilenen Hahn'ın bir sonucunu genelleyen Banach'ın (1932) sonucudur. H. Frederic Bohnenblust ve Andrew F. Sobczyk'e (1938) bağlı olarak Hahn-Banach teoreminin kompleksler alanındaki vektör uzaylarına bir genellemesi vardır. Hahn-Banach teoremini genellemenin zorlukları sonlu boyutlu vektör uzayları için bile ortaya çıkmaktadır.

İki ifade arasındaki ilişkiler ve "geometrik" formun kanıtı

Teoremin geometrik formu - daha sonra dışbükeylerin ayrılmasıyla ilgili çeşitli varyantların art arda çıkarımını çıkarabiliriz - araya giren dışbükey fonksiyonun bir dışbükey açıklığın göstergesi olduğu özel durum için analitik formun yeniden dönüştürülmesidir. standart bir alanın uzayı. Fonksiyonel analizde teoremin en basit ve temel kullanımlarında da durum böyledir ve birinin zevkine göre bir versiyondan veya diğerinden okunabilir (aşağıda bir örnek göreceğiz).

Geometrik formun analitik formdan nasıl çıkarıldığına daha yakından bakalım:

Analitik formdan geometrik formun gösterilmesi

Bir çeviriden önce bile, kökeninin C olduğu varsayılır . Bu nedenle, L C'yi karşılamadığından , bu nedenle orijinden kaçınan bir afin alt uzaydır.

Not s çubuğu dışbükey Cı . Alt doğrusaldır ve bu nedenle dışbükeydir; tanımına göre bir göstergesi, bu tüm açıktır x de C , . C'nin açık olduğunu varsaydığımız gibi , biraz daha ileri gidebiliriz: bir yandan C , 0'ın bir komşuluğudur ve 0'dan kaynaklanan herhangi bir açık yarıçizgi, bu nedenle p'nin almadığını anladığımız C noktaları içerir. değer  ; Öte yandan, geniş eşitsizlik iyileştirilebilir ve C noktalarının katı eşitsizlik p ( x ) <1 ile karakterize edildiği kolayca belirtilebilir . Alt doğrusal fonksiyon için çok fazla. p(x)≤1{\ displaystyle p (x) \ leq 1}+∞{\ displaystyle + \ infty}p(x)≤1{\ displaystyle p (x) \ leq 1}

Not G , L tarafından oluşturulan vektör alt uzayına dikkat edin . Bu yana , afin altcins L olan keyfi dik boyutlu 1 G ve şekli doğrusal bir (ve yalnızca bir) vardır f ile G bu şekilde L bir parçası olan G denklemi ile f ( x ) = 1 . Doğrusal formun genişletilmesi için çok fazla. 0∉L{\ displaystyle 0 \ not \ L'de}

Son olarak, için x de L , (yana ) ise f ( x ) 1 = . Durum L üzerinde doğrulanır . F ve p'nin pozitif homojenliği üzerinde oynayarak, onun geçerlilik alanını G'nin katı bir yarı uzayına genişletiriz  ; diğer yarı uzayda f negatif veya sıfır değerleri alırken, her yerde olduğu gibi p pozitif veya sıfır değerlerine sahiptir. Eşitsizlik G'nin her yerinde geçerlidir . 1≤p(x){\ displaystyle 1 \ leq p (x)}x∉VS{\ displaystyle x \ C’de \ değil}f(x)≤p(x){\ displaystyle f (x) \ leq p (x)}f(x)≤p(x){\ displaystyle f (x) \ leq p (x)}

Teoremin sözde "analitik" versiyonunun tüm varsayımları yerinde. Öyleyse uygulayalım. Bize hala f olarak not edilen yeni bir doğrusal form sunuyor , bu sefer bir bütün olarak E üzerinde tanımlanıyor . Not H afin hiper düzlem denklemi f ( x ) = 1  : yapım gereği, L içeren bir hiperdüzlemdir .

Bir noktası hemen olsun X ve C  : Bu nokta için, (çünkü ön Hahn-Banach'ın analitik biçimde üretilmiştir) ve p ( x ) <1 (biz konveks bir biçimde açık olan bu yana C ). Yani , x H'de değil . C ve H'nin uyuşmadığını doğruladık . f(x)≤p(x){\ displaystyle f (x) \ leq p (x)}f(x)≠1{\ displaystyle f (x) \ neq 1}

Son olarak, bir topolojik vektör uzayının hiper düzlemleri zorunlu olarak kapalı veya yoğundur . Ancak 0'ın C komşuluğunu karşılamadığı için H yoğun değildir . Bu nedenle kapalıdır.

Geometrik formun bir topoloji içermesi şaşırtıcı olabilirken, analitik formun ek yapı içermeyen bir vektör uzayıyla ilgili olması şaşırtıcı olabilir. Aslında, herhangi bir vektör uzayında bir geometrik şekil belirtmek oldukça mümkündür: o zaman , orijini içeren dışbükey C'nin herhangi bir çevrileninin emici olduğunu varsaymak gerekli olacaktır , "açık" a bir anlam veremeyecektir; Elbette, elde edilen hiper düzlemin kapalı karakterinde artık tamamlayıcıya sahip değiliz. Gösteri aynı.

"Analitik" formun kanıtı

Teoremin ifade edildiği genellik çerçevesinde bir kanıta ulaşmak için iki farklı fikir türü uçtan uca konulmalıdır. İlk olarak, birkaç basit hesaplamalar doğrusal bir şekilde uzanan haklı çıkarmak için kullanılan f özel durumda G olan keyfi dik boyutlu 1 V . Bu adım bir kez atıldığında, sonlu boyutlu teoremimiz zaten var ( f'yi genişletmeyi başardığımız alt uzayı adım adım, her adımda bir boyut ve V boyutuna ulaşana kadar artırmak yeterlidir ). Öte yandan, sonsuz boyutta kullanımlar için, bu metodik önceden bu çok basit bir yöntem uyarlamak ve bazı oldukça standardize teknikleri aramak gereklidir küme kuramı  : Biri böylece yürütmektedir sonluötesi tekrarını , en sık şeklinde yazılı küme teorisine bir çağrı . Zorn'un lemması .

Gösteri

Birinci bölüm: Boyut kazanın

İlk olarak, bir boyut kazanarak doğrusal form f'yi G'den daha büyük bir alana genişleteceğiz . Bize bir eleman düzeltelim v ait V \ G (orada yok, eğer G = V ve biz henüz başlamadan yapılır).

Bir doğrusal uzama f vektörü alt alana formun bir uygulamadır: G⊕Rv{\ displaystyle G \ oplus \ mathbb {R} v}

∀x∈G∀λ∈Rf(x+λv): =f(x)+λα{\ displaystyle \ forall x \ in G \ quad \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} \ quad f (x + \ lambda v): = f (x) + \ lambda \ alpha}

burada α keyfi bir gerçektir.

Böyle bir f uzaması , yalnızca G'de değil, ancak ve ancak bu gerçek α'nın şu şekilde seçilmesi durumunda p ile sınırlandırılır : G⊕Rv{\ displaystyle G \ oplus \ mathbb {R} v}

∀x∈G∀λ≠0f(x)+λα≤p(x+λv).{\ displaystyle \ forall x \ in G \ quad \ forall \ lambda \ neq 0 \ quad f (x) + \ lambda \ alpha \ leq p (x + \ lambda v).}

Ayarlayarak s = λ eğer λ> 0 ve s = -λ eğer λ <0 , üzerine durum a'dan nedenle yazılır:

∀x∈G∀s>0f(x)+sα≤p(x+sv) ve f(x)-sα≤p(x-sv),{\ displaystyle \ forall x \ in G \ quad \ forall s> 0 \ quad f (x) + s \ alpha \ leq p (x + sv) {\ text {ve}} f (x) -s \ alpha \ leq p (x-sv),}

eşittir:

∀x∈G∀s>0-dex,s≤α≤bx,s ile -dex,s: =f(x)-p(x-sv)s ve bx,s: =p(x+sv)-f(x)s.{\ displaystyle \ forall x \ in G \ quad \ forall s> 0 \ quad a_ {x, s} \ leq \ alpha \ leq b_ {x, s} {\ text {with}} a_ {x, s}: = {f (x) -p (x-sv) \ over s} {\ text {ve}} b_ {x, s}: = {p (x + sv) -f (x) \ over s}.}

Bu nedenle , böyle bir α'nın var olma koşulu şöyledir:

supx∈G,s>0-dex,s≤infx∈G,s>0bx,s{\ displaystyle \ sup _ {x \ G, s> 0} a_ {x, s} \ leq \ inf _ {x \ G, s> 0} b_ {x, s}}

veya:

∀x,y∈G∀s,t>0-dex,s≤by,t.{\ displaystyle \ forall x, y \ in G \ quad \ forall s, t> 0 \ quad a_ {x, s} \ leq b_ {y, t}.}

Bu durum, p'nin dışbükeyliğine , f'nin G üzerindeki artışına ve doğrusallığına göre iyi anlaşılmıştır:

f(x)-p(x-sv)s≤p(y+tv)-f(y)t{\ displaystyle {f (x) -p (x-sv) \ s} \ leq {p (y + tv) -f (y) \ t üzerinden}}

Çünkü

tf(x)+sf(y)≤tp(x-sv)+sp(y+tv){\ displaystyle tf (x) + sf (y) \ leq tp (x-sv) + sp (y + tv)}

Çünkü

tp(x-sv)+sp(y+tv)s+t≥p(t(x-sv)+s(y+tv)s+t)=p(tx+sys+t)≥f(tx+sys+t)=tf(x)+sf(y)s+t.{\ displaystyle {\ frac {tp (x-sv) + sp (y + tv)} {s + t}} \ geq p \ sol ({\ frac {t (x-sv) + s (y + tv) } {s + t}} \ right) = p \ left ({\ frac {tx + sy} {s + t}} \ right) \ geq f \ left ({\ frac {tx + sy} {s + t }} \ sağ) = {\ frac {tf (x) + sf (y)} {s + t}}.}

İkinci bölüm: sonlu bir yinelemenin yürütülmesi

Adım adım akıl yürüttüğümüzde, f'yi daha da geniş alanlara genişletebileceğimizi görürüz . Eğer G sonlu keyfi dik boyutlu olan V , o zaman işlem bu şekilde durur tanımlandığı gibidir. Aksi takdirde, seçim aksiyomunu kullanırız .

Bu sağlamak için, çiftler kümesini düşünün ( M , g ) ki burada M bir vektör alt uzay olan V içeren G ve g üzerinde lineer bir formda olan E uzanan f (bir artışın kısıtlaması saygı p ) ve kısmen sıralanır tarafından:

(M1,g1)≤(M2,g2)⟺M1⊂M2{\ displaystyle (M_ {1}, g_ {1}) \ leq (M_ {2}, g_ {2}) \ Longleftrightarrow M_ {1} \ alt küme M_ {2}} ve ∀x∈M1,g1(x)=g2(x).{\ displaystyle \ forall x \ in M_ {1}, g_ {1} (x) = g_ {2} (x).}

Çiftler tümevarımlıdır . Gerçekten de, boş olmayan (çiftinin ( G , f ) en küçük elemanı) ve eğer bir olduğunu boş olmayan dize , biz ayarlayın: (Mben,gben)ben∈ben{\ displaystyle (M_ {i}, g_ {i}) _ {i \ I’de}}

M=⋃ben∈benMben.{\ displaystyle M = \ bigcup _ {i \ içinde I} M_ {i}.}

M , bir vektör alt uzayıdır. (Genelde vektör uzaylarının bir birleşimi bir vektör uzayı değildir, öte yandan burada ailesinin boş olmaması ve tamamen düzenli olmasıdır). Mben{\ displaystyle M_ {i}}

M uzayındaki g doğrusal formunu şu şekilde tanımlarız :

g(x)=gben(x){\ displaystyle g (x) = g_ {i} (x)} Eğer x∈Mben.{\ displaystyle x \, M_ {i}.}

Bu g tanımının doğru olduğunu kolayca doğrulayabiliriz . ( M , g ) bu durumda zincirin bir üst sınırıdır . Zorn'un lemma uygular ve o zaman bir alt uzay bulabilirsiniz N hangi maksimum f uzanır. (Mben,gben)ben∈ben{\ displaystyle (M_ {i}, g_ {i}) _ {i \ I’de}}

Şimdi ise , N eşit değildir V biz uzanabilir kanıtı gösterir sonra ilk kısmı, f (tanımlı N kesin daha büyük olan bir alana) N nin maksimal ile çelişmektedir, N .

Fonksiyonel analizde bir uygulama örneği

Aşağıdaki sonuç, Hahn-Banach teoreminin fonksiyonel analizin temel sonuçlarını nasıl çok kolay bir şekilde üretebileceğini göstermektedir.

Sonuç  -  Let e normlu uzay G bir alt uzay E ve F ile sürekli lineer formda G . Daha sonra uzanabilir f üzerinde sürekli bir lineer formda E ile aynı, norm olarak f .

Gösteri

Teoremi dışbükey işlevi gösterir ve uygularız . vs=‖f‖{\ displaystyle c = \ | f \ |}p(x)=vs‖x‖{\ displaystyle p (x) = c \ | x \ |}

Soruyu Hahn-Banach teoreminin geometrik formunu kullanarak çözmek gereksiz derecede uzun ama öğreticidir: dışbükey fonksiyon p'yi düşünmek yerine , göstergesi olduğu açık konveksi , yani açık top merkezini de düşünebiliriz. ve yarıçap . Biz bu yolda atılmak istiyorsanız, o zaman afin alt uzay tanıtmak gerekir L noktalar cümlesi x ait G öyle ki f ( x ) = 1 . Hahn-Banach'ı uygulayarak kapalı bir alt düzlemde genişletiyoruz; bu hiper düzlemin g ( x ) = 1 denklem seti olduğu sürekli doğrusal form g , bu durumda spesifikasyonları karşılar. VS{\ displaystyle C}0{\ displaystyle 0}1/vs{\ displaystyle 1 / c}

Teoremin diğer bazı versiyonları

Aşağıda, vurgulanandan kolayca çıkarılabilen iki “analitik form” varyasyonu bulacaksınız. İlki, karmaşık vektör uzayları için sonucun bir varyantını sağlar; ikincisi, iyi bir p simetri varsayımı altında , özellikle p bir yarı-norm olduğunda kontrol edildiğinde , uzamış doğrusal formun mutlak değerinde (veya karmaşık durumda modülde) bir artış elde edilebileceğini belirtir.

Teorem  -  V bir vektör uzayı olsun ve p değeri almayan V üzerinde tanımlanmış bir dışbükey fonksiyon olsun . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Let G için bir vektör ve alt uzayı V ve f bir lineer formda G herhangi bir nokta kontrollerinde durumda artış vardır . Ref(x)≤p(x){\ displaystyle \ mathrm {Re} \, f (x) \ leq p (x)}

Daha sonra bir uzantısı vardır f alanı ile doğrusal bir çizgi V : da koşul altında tamamen her noktasında V . Ref(x)≤p(x){\ displaystyle \ mathrm {Re} f (x) \ leq p (x)}

Teorem  -  V , veya üzerinde bir vektör uzayı olsun ve p , değeri almayan , V üzerinde tanımlanmış bir dışbükey fonksiyon olsun . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Bundan başka, kabul edilir p aşağıdaki simetri özelliğine sahiptir: bir skalar için olan ve herhangi bir vektör x ve V , . θ{\ displaystyle \ theta}|θ|=1{\ displaystyle | \ teta | = 1}p(x)=p(θx){\ displaystyle p (x) = p (\ theta x)}

Let G için bir vektör ve alt uzayı V ve f bir lineer formda G herhangi bir nokta kontrollerinde durumda artış vardır . |f(x)|≤p(x){\ displaystyle | f (x) | \ leq p (x)}

Daha sonra bir uzantısı vardır f alanı ile doğrusal bir çizgi V : da koşul altında tamamen her noktasında V . |f(x)|≤p(x){\ displaystyle | f (x) | \ leq p (x)}

Geometrik şeklin çeşitleri Dışbükeylerin ayrılması makalesinde bulunabilir .

Seçim aksiyomunun rolü

Gördüğümüz gibi , Zermelo-Fraenkel'in aksiyomatik teorisinde , Zorn'un lemması ( seçim aksiyomuna eşdeğer ) Hahn-Banach teoremine götürür. Aslında, seçim aksiyomundan daha zayıf bir önerme olan ultrafiltrelerin lemması , Hahn-Banach teoremini kanıtlamak için yeterlidir. Ancak tersine, David Pincus'un 1972'deki çalışmasından Hahn-Banach teoreminin ultrafiltrelerin lemmasını göstermek için yeterli olmadığını biliyoruz. Böylece, Hahn-Banach teoremi içinde seçim belitinin eşdeğer değildir ZF . Buna, tek ZF'nin tek başına Hahn-Banach'ı kanıtlamak için yeterli olmadığını eklemeliyiz, bu nedenle herhangi bir kanıt kaçınılmaz olarak ultrafiltrelerin lemasının bir varyantına veya diğerine veya örneğin kısaca tercih edilen aksiyomuna dayanmalıdır. , ek bir aksiyomda en azından ZF'deki ultrafiltrelerin lemmasının bir sonucu.

Referanslar

1. (De) Hans Hahn, "Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen", Journal für die Reine und angewandte Mathematik 157 (1927), s.  214-229 .
2. Stefan Banach, "Doğrusal işlevler hakkında", Studia Mathematica 1 (1929), s.  211-216 .
3. Analitik ifade, III-5 teoremidir (in) Mr. Reed  (in) ve B.Simon , Functional Analysis , San Diego, Academic Press ,1980( ISBN  978-0-12585050-6 ) , s.  75Bölüm III.3. Geometrik form Teorem 1, s'dir. II-39 Topolojik vektör uzayı tarafından N. Bourbaki , Masson, 1981 ( ISBN  2225684103 ) da deyimi aşağıdaki açıklama görünür.
4. Doğrusal İşlemler Teorisi , Varşova.
5. (in) HF Bohnenblust ve A. Sobczyk, "  Fonksiyonel uzantıları karmaşık doğrusal uzaylardır  " , Bull. Acı. Matematik. Soc. , cilt.  44,1938, s.  91-93 ( çevrimiçi okuyun ).
6. Burada verilen örnek, Haïm Brezis , Fonksiyonel analiz: teori ve uygulamalar [ baskıların detayı ] ' nın doğal sonucu 1-2'dir. , s.  3 .
7. Bu iki versiyon , notları çevrimiçi olarak bulunan Kansas Üniversitesi'nde Gabriel Nagy tarafından verilen bir kurstan alınmıştır .
8. Bütün bu bilgiler mevcuttur (in) Paul Howard ve Jean Rubin , Seçme Axiom sonuçları , Providence (RI), AMS , ark.  "Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar" ( n o  59)1998, 432  s. ( ISBN  0-8218-0977-6 , çevrimiçi okuyun )D. Pincus'un makalelerine atıfta bulunan "Hahn-Banach teoreminden birincil ideal teoremin bağımsızlığı", Bull. Acı. Matematik. Soc. , uçuş. 78, 1972, s.  203-248 ve “Hahn-Banach teoreminin gücü”, Standart Olmayan Analiz Victoria Sempozyumu Bildiriler Kitabı , der. "Matematikte Ders Notları", cilt. 369, Springer, Heidelberg, 1973. Pincus, Hahn-Banach'ın doğru olduğu ve seçim aksiyomunun bazı biçimlerinin (ultrafiltrelerin lemması, sayılabilir seçim aksiyomu) biri ikinci el için yapılmış, diğeri ise bir Azriel Lévy tarafından 1962'de Hahn-Banach'ın doğrulandığını kanıtlayan başka amaçlar için inşa edilen zaten bilinen model . Ayrıca , Zermelo-Fraenkel'in ünlü Solovay modelinde (herhangi bir gerçek setinin Lebesgue ile ölçülebilir olduğu model) Hahn- Banach'a karşı örnekler olduğunu da kanıtlıyor .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• M. Riesz'in genişleme teoremi
• Banach teoremleri 

Kaynakça

• ( fr ) Lawrence Narici ve Edward Beckenstein, "The Hahn - Banach Theorem: The Life and Times", Topoloji ve Uygulamaları , cilt. 77, 2 inci Baskı., 1997, s.  193-211 , ön baskı .
• Walter Rudin , Functional analysis [ basımların ayrıntısı ]