Schmidt teoremi (grup teorisi)

Gelen matematik , özellikle teorisi grupları , Schmidt teoremi gösterdiği, Otto Schmidt ise 1924, bahsedilen G, a, sonlu grup her hangi alt gruplar kendi olan nilpotentlik , G, bir çözülebilir . K. Iwasawa , aynı varsayımlar altında G grubunun daha kesin bir tanımını yaptı .

Gösteri

Biz indüksiyon tarafından ikna üzerindeki grubun sırayla . Siklik gruplar çözülebilir. Bu nedenle, belirli bir için, varsayalım n ifadesi için içindeki bütün gruplar için de geçerli olduğu, < n ve o G için olmayan bir siklik gruptur , n (Bu nedenle , n > bütün uygun alt grupları nilpotenttir olan 1). Aşağıdaki Lemma 2'den G basit değildir . Tümevarım hipotezi ile ve uygunluk teoremine göre , bu nedenle çözülebilirdir (çünkü nilpotence bölümlere ve çözümlenebilirlik uzantılara geçer ).

Lemma 1  -  Maksimal alt grupları 2'den 2'ye önemsiz kesişme olan sonlu bir grupta, bu maksimal alt gruplardan biri normaldir .

Gösteri

G'nin hiçbir maksimum alt grubunun normal olmadığını varsayalım . Yani :

H \ { E için} maksimal H ( E nötr öğesini belirtmektedir) ayrıca 2 ila 2 ayrık olması gerekiyordu olan, bir oluşturan bölümü arasında G \ { E }. Not etmek sureti ile c kendi çekimi sınıf sayısı, h ı alt gruplarının endeksi i -inci sınıf ve g sırası G , bir çelişki anlamak:

Lemma 2  -  Let G olmak sonlu olmayan siklik bir grup. G'nin tüm maksimum alt grupları üstelsıfırsa, G basit değildir.

Gösteri

İki farklı maksimal alt grubun kesişimleri arasında (eğer varsa), I = H ∩ K maksimum mertebeden olsun. Bu, üstelsıfır H grubunun uygun bir alt grubudur, dolayısıyla I'in normalleştiriciye N H ( I ) dahil edilmesi katıdır. Maksimum | I |, N H ( I ) içeren tek maksimum G alt grubu H'dir . Benzer şekilde K , N K ( I ) içeren tek maksimum alt gruptur . Hem N H ( I ) hem de N K ( I ) içeren alt grup N G ( I ) bu nedenle herhangi bir maksimum alt gruba dahil edilmez, yani G'ye eşittir veya yine I normaldir.

Eğer G | basittir, bunu anlamak Ben | = 1 (veya G , yalnızca bir maksimal alt gruba sahiptir). Bu nedenle Lemma 1'i uygulayabiliriz: G'nin maksimal alt gruplarından biri normaldir. Olarak G siklik olmayan varsayılır, bu alt grup basitliği çelişmektedir, önemsiz değildir G .

Grubun yapısının ayrıntıları

Let G olması tüm uygun alt grupları nilpotenttir olan bir sonlu grup, daha sonra G nilpotenttir veya emri, p m q , n ile p ve q farklı astar ve m , n, ≥ 1.

Gösteri

Herhangi bir sonlu p grubu üstelsıfırdır. Varsayalım ki | G | en az üç asal bölen vardır. (Schmidt teoremine göre) G çözülebilir olduğundan, asal indeks p'nin normal bir H alt grubuna sahiptir . Bu yana , H uygun bir alt-grubu olan G , bu nilpotenttir. Bu alt gruplar SYLOW bu nedenle (tam) karakteristik olarak H çok normal bir G . Bize seçeyim G her asal böleni için, q ait | G |, a q -Sylow P q . Yukarıdakilere göre, herhangi bir q ≠ p için , P q , G'de normaldir . Her bir P p P q ( q ≠ p için ) üstelsıfır olduğundan ( G'de kendi başına ), P p , tüm P q tarafından merkezileştirilir , bu nedenle onlar gibi G'de normaldir . Bu nedenle, G üstelsıfırdır.

Nilpotent sayılar

Bir nilpotentlik sayı bir tamsayı , n için herhangi bir grubu, örneğin, bu ≥ 1 , n nilpotenttir. Üstelsıfır sayılar aşağıdaki teorem ile karakterize edilir:

Let s 1 k 1 ... p r k r olmak asal çarpanlara ait n . Sayı n nilpotenttir ancak ve herkes için yalnızca i ≠ j , k ı kesinlikle daha az olan çarpımsal düzenine ait p i modulo p j .

Gösteri

N , asal çarpanlara ayrıştırılması, ifadenin koşulunu karşılamayan bir tamsayı olsun . Daha sonra, n- formu bir tam sayı katı olan p k q ile p ve q farklı asal, k ≥ 1 ve p k ≡ 1 mod q . Biz kolayca sipariş olmayan bir nilpotentlik grubu oluşturmak p k q bir şekilde, yarı doğrudan ürünün bir GL ( k , F s ) tarafından ℤ / q ℤ ve anlamak olmayan bir nilpotentlik düzenin grubu N ile, doğrudan ürünün bir tarafından yeterli düzenin keyfi grubu.

Tersine, n'nin asal çarpanlara ayırmasının ifadenin koşulunu sağladığını ve n mertebesindeki herhangi bir G grubunun üstelsıfır olduğunu gösterin . İfadenin tüm < n siparişleri için doğru olduğunu varsayarak sağlam temellere dayanan tümevarımla ilerliyoruz . Önceki bölüme göre, G üstelsıfırdır ve burada n'nin tam olarak iki asal çarpanı p ve q vardır . Ama bu ikinci durumda, asal çarpanlarına varsayımına n ve 3 e Sylow teoremi , G, bir sahiptir p -Sylow ve q böylece normal böylece -Sylow benzersiz G onların ürün nedenle burada yine, doğrudan olan G ise üstelsıfır.

(Özel olarak, hatta nilpotenttir sayılar bu nedenle 2. yetkileri )

Herhangi bir c ≥ 1 tamsayısı için , nilpotence sınıfıyla ilgili daha kesin bir ifadeye sahibiz:

Herhangi bir üstelsıfır sayı n için , aşağıdaki iki özellik eşdeğerdir:

Gösteri

Herhangi bir n sipariş grubu (dolayısıyla üstelsıfır), Sylow alt gruplarının doğrudan bir ürünüdür. Onun nilpotence sınıfı, bu nedenle onların maksimum sınıfıdır.

Tüm p üssü için:

Notlar ve referanslar

  1. (de) OJ Schmidt, "Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind", Matematiksel Koleksiyon [ Mat. Sbornik ], Moskova, cilt. 31, 1924, s.  366-372 . (Kaynak (en) John S. Rose, Grup Teorisi Kursu , CUP ,1978( çevrimiçi okuyun ) , s.  264 ve 298.) Rusça orijinal çevrimiçi .
  2. Bu formdaki teoremin bir kanıtı için bkz. G. Endimioni, "  Nilpotent gruplara giriş: Cours de DEA  " , Center for Mathematics and Computer Science, University of Provence (Fransa), 1996/1997 , s.  17-18.
  3. (de) K. Iwasawa, "Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind", Proc. Phys.-Math. Soc. Japonya , cilt. 23, 1941, s.  1-4 . (Referans, Rose 1978 , s.  264 ve 297 tarafından verilmiştir . )
  4. Endimioni 1996/1997 , Lemma 4.2. Bir Lemma ile karşılaştırın (tr) , Joseph Gallian ve David Moulton, “  ne zaman Z n düzenin tek grup n ?  » , Elemente der Mathematik , cilt.  48, n o  3,1993, s.  117-119 ( çevrimiçi okuyun ), döngüsel sayılarla ilgilidir .
  5. Daha fazla ayrıntı için bkz. (De) Bertram Huppert  (en) , Endliche Gruppen , cilt.  Ben, Springer , arkadas.  "  Grund. matematik. Wiss.  "( N O  134),2013( 1 st  ed. 1967) ( okuma çizgi ) , s.  281.
  6. (tr) OEIS A056867  : nilpotents rakamlarının ardından.OEIS 
  7. (inç) Gerhard Pazderski , "  Die Ordnungen, zu denen nur mit Gruppen gegebenen gehören Eigenschaften  " , Arch. Matematik. , cilt.  10,1959, s.  331-343 ( DOI  10.1007 / BF01240807 ).
  8. (içinde) Jonathan Pakianathan ve Shankar Krishnan, "  üstelsıfır sayılar  " , Amer. Matematik. Aylık , cilt.  107, n o  7,2000, s.  631-634 ( JSTOR  2589118 , çevrimiçi okuyun )( çözülebilir , üstelsıfır, değişmeli veya döngüsel sayıların karakterizasyonu ).
  9. Pakianathan ve Shankar 2000'den esinlenilmiştir .
  10. (in) Thomas W. Müller, "  Sınırlı sıfır potansiyeli sınıfının gruplarıyla ilgili bir aritmetik teorem  " , Journal of Algebra , Cilt.  300, n o  1,2006, s.  10-15 ( Matematik İncelemeleri  2228629 , çevrimiçi okuyun ), "en fazla c sınıfının üstelsıfır sayılarının" tam aritmetik karakterizasyonunu doğrudan gösterme iddiaları  ve böylece üstelsıfır sayıların ( c = ∞ için ) ve değişmeli sayıların ( c = 1 için) olanlarını bulması . Gerçekte, ispatı sadece yukarıdaki gibi Schmidt teoremine ve grubun yapısına değil - burada kullanılandan daha kesin bir versiyonda ( Huppert 2013 , s.  281), aynı zamanda bir Hall teoremine de dayanmaktadır. sayısı a automorphisms p -grubu iken  Sylow 3 rd teoremi bizim için yeterliydi.
  11. (inç) Charles Leedham-Green  (içinde) ve Susan McKay, The Structure of Prime Power Order , OUP ,2002( çevrimiçi okuyun )Bölüm 3.1.

Dış bağlantılar