Riemann yeniden düzenleme teoremi
In matematik , Riemann tekrar yapılanması Teoremi bir olan teoremi onuruna adlandırılmış, matematikçi Bernhard Riemann bir eğer Buna göre, Real- süreli serisi olan yarı yakınsak sonra, onun şartlarını edilebilir yeniden düzenlenmiş o yüzden birleşir herhangi gerçek, ya da doğru eğilimi az ya da çok sonsuz.
O bu şu ℝ herhangi koşulsuz yakınsak seri olan mutlak yakınsak (: Herhangi bir başka deyişle toplanabilir aile mutlak toplanabilirdir).
Eyaletler
Let ( u , n ) , n ∈ℕ olduğu bir gerçek süreli sekansı , ilişkili dizi yarı yakınsak, yani,
∑k=0değilsenk⟶değil→∞ℓ∈RFakat∑k=0+∞|senk|=+∞{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} {\ underet {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ ell \ in \ mathbb {R} \ quad {\ text {ama }} \ quad \ quad \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} | u_ {k} | = + \ infty}![{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} {\ underet {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ ell \ in \ mathbb {R} \ quad {\ text {ama }} \ quad \ quad \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} | u_ {k} | = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829452055d1066110328b480d7b38a057f27947f)
.
Sonra, herhangi bir çifti için bu şekilde , bir vardır permütasyon σ ℕ gibi bu dizi genel bir terim ile dizi kısmi toplamlarının tatmin:
(λ,μ){\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}
-∞≤λ≤μ≤+∞{\ displaystyle - \ infty \ leq \ lambda \ leq \ mu \ leq + \ infty}
(Sdeğil′){\ displaystyle (S '_ {n})}
sendeğil′=senσ(değil){\ displaystyle u '_ {n} = u _ {\ sigma (n)}}![{\ displaystyle u '_ {n} = u _ {\ sigma (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f501397aa90a48c1e441d367c1603dbb237dc215)
lim infSdeğil′=λvelim supSdeğil′=μ{\ displaystyle \ liminf S '_ {n} = \ lambda \ quad {\ text {ve}} \ quad \ limsup S' _ {n} = \ mu}![{\ displaystyle \ liminf S '_ {n} = \ lambda \ quad {\ text {ve}} \ quad \ limsup S' _ {n} = \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20de34aa919dfe5d45a44ec6680c7fa84c1329f8)
.
Özellikle, her şey için , bir σ permütasyonu vardır, öyle ki
α∈R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}![{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ac2800afc0b78db25c678e768f45aaae28ca21)
∑k=0değilsenσ(k)⟶değil→∞α{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)} {\ underet {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ alpha}![{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)} {\ underet {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84635785df5f19e507e5fc1861e23d233f061158)
.
Misal
Alternatif harmonik serisi örneğini ele alalım . Bu nedenle bir ( u n ) n ∈ℕ dizisini tanımlıyoruz :
∀değil∈DEĞİL, sendeğil=(-1)değildeğil+1,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ u_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}},}
serileri , alternatif serilerin yakınsama kriterine göre yakınsayan , ancak harmonik seriler ıraksadığı için mutlak yakınsama yapmayan. (Alt toplamı ifade edilmedi olsun olduğu : ℓ = eşit ln (2) ).
Terimleri yeniden düzenleyerek seri şu hale gelir:
(1-12-14)+(13-16-18)+(15-110-112)+...+(12k-1-14k-2-14k)+...{\ displaystyle \ sol (1 - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} \ sağ) + \ sol ({\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {8}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {10}} - {\ frac {1} {12}} \ right) + \ ldots + \ left ({\ frac {1} {2k-1}} - {\ frac {1} {4k-2}} - {\ frac {1} { 4k}} \ sağ) + \ ldots}
=(12-14)+(16-18)+(110-112)+...+(14k-2-14k)+...{\ displaystyle = \ sol ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} \ sağ) + \ sol ({\ frac {1} {6}} - {\ frac { 1} {8}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {10}} - {\ frac {1} {12}} \ right) + \ ldots + \ left ({\ frac {1} {4k-2}} - {\ frac {1} {4k}} \ sağ) + \ ldots}
=12(1-12+13-14+...)=ℓ2.{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4} } + \ ldots \ right) = {\ frac {\ ell} {2}}.}
Sonuç: seçilen permütasyon, yeni serinin (o zaman artık alternatif harmonik seri değildir) başlangıç serisinin toplamının yarısına yakınlaşacağı şekildedir.
Süreci genelleştirerek, bu serinin yeniden düzenlenmesini herhangi bir gerçek sayıya yakınsayabiliriz α :
Örneğin, bir pozitif terim ile b negatif terimlerin dönüşümlü olarak (sırayla) toplanmasıyla ( alternatif serinin kendisi a = b = 1'e karşılık gelir ve önceki durum a = 1 ve b = 2'ye karşılık gelir ), yakınsayan bir seri elde ederiz. için ln (2 √ bir / B ) aşağıdaki genişleme göre, n toplamının, sonsuza eğilimi p = bir pozitif koşulları ve q = mr veya b ( n - 1) kullanan şartlar negatif, asimptotik genişleme dizisi H , n harmonik dizi kısmi toplamlarının:
∑k=1p12k-1-∑k=1q12k=(H2p-Hp2)-Hq2=ln(2p)+γ-ln(p)+γ2-ln(q)+γ2+Ö(1)=ln(2p/q)+Ö(1)⟶değil→∞ln(2-de/b).{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {1} {2k-1}} - \ sum _ {k = 1} ^ {q} {\ frac { 1} {2k}} & = \ sol (H_ {2p} - {\ frac {H_ {p}} {2}} \ sağ) - {\ frac {H_ {q}} {2}} \\ & = \ ln (2p) + \ gamma - {\ frac {\ ln (p) + \ gamma} {2}} - {\ frac {\ ln (q) + \ gamma} {2}} + o (1) \ \ & = \ ln (2 {\ sqrt {p / q}}) + o (1) \\ & {\ underet {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ ln (2 {\ sqrt {a / b}}). \ end {hizalı}}}
Daha genel olarak, yeniden düzenleme toplamı değerine sahip olacaktır α = ln (2 √ r alternatif olarak seçerek) p , n pozitif koşullar ve q , n olumsuz şartlar öyle ki p , n / q N → r = e 2α / 4.
Permütasyon inşaatı
Aşağıdaki gibi bir σ permütasyonu oluştururuz . Biz aşıncaya kadar (herhangi bir atlama olmadan), pozitif ya da sıfır koşullar Özetle başlar a , kısmi toplam katı daha az olduğu sonra tüm katı olumsuz koşulları kadar a . Ardından, bıraktığımız yerden olumlu terimleri, ardından olumsuz terimleri vb. Ekleyerek süreci yineliyoruz.
Genelleme
Ernst Steiniz'in göstermiştir ki, bir herhangi bir yarı yakınsak süreli serisi için sonlu boyutlu gerçek vektör alanı , “yeniden düzenlemeleri” formları, yakınsayan toplamlarının grubu afin alt uzay ait sıfır olmayan boyut .
Notlar ve referanslar
-
Bir gösteri için, örneğin Wikiversity'deki serilerle ilgili ders için aşağıdaki bağlantıyı izleyin .
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">