Enerji teoremleri
En aza indirgeme problemi şeklinde bir mekanik problemi oluşturmaya ve böylece bu tür problemler için mevcut tüm metotları kullanmaya izin veren enerjik teoremler . İki enerji teoremi vardır, biri diğerinden çok daha iyi bilinir , potansiyel enerji teoremi ile ilgilidir . İkinci teorem birincisine benzer, tek fark, bir durumda potansiyel enerjiden diğerinde tamamlayıcı enerjiden bahsetmemizdir .
Potansiyel enerji teoremi
Sürekli ortamların mekaniğinin statik bir probleminin yer değiştirme alanı çözümü, ortamın potansiyel enerjisini en aza indirir.
Tamamlayıcı enerji teoremi
Sürekli medyanın statik bir mekaniği probleminin stres alanı çözümü, ortamın tamamlayıcı enerjisini en üst düzeye çıkarır.
Örnekler
Diğer bir deyişle, sürtünmesiz bir düzlem üzerinde, sertlik 'k' yaya bağlı ve bir 'F' kuvvetine maruz kalan bir katı.
Biri cismin referans konumunu 'x = 0' ile bulur ve bu konumun yayın hareketsiz konumu (veya boş uzunluğu) ile çakıştığı varsayılır. Yay gerginliği 'T' ile gösterilir.
Potansiyel enerji teoremini kullanarak çözme
Sistemin potansiyel enerjisi yazılır:
Ep=12kx2-Fx{\ displaystyle E_ {p} = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2} -Fx}
Bu enerjiyi en aza indirmek şunları verir:
0=∂Ep∂x=kx-F{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ kısmi E_ {p}} {\ kısmi x}} = kx-F}
x=Fk{\ displaystyle x = {\ frac {F} {k}}}
Tamamlayıcı enerji çözünürlüğü
Sistemin tamamlayıcı enerjisi yazılmıştır:
Evs=12kT2{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2k}} T ^ {2}}
Burada kabul edilebilir alanların uzayında 'T' aranması gerektiği için, uygulanan 'F' kuvveti nedeniyle, 'T' = '-F' var ve 1 dof'ta bir problem olduğu için çözüme sahibiz. .
Gösteriler
Davranışsal ilişkideki hatadan
Potansiyel enerji ve tamamlayıcı enerjinin ifadesinin oluşturulması
Yani davranışla ilgili hata . İfadesinden başlayalım . Sahibiz :
e{\ displaystyle e}
e2{\ displaystyle e ^ {2}}![e ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806b2751f62ef9c86ca80e8d3c662ae5dd4d1c2d)
e2(sen_,σ__)=12∫ΩTr[(σ__-K____⋅ε(sen)__)⋅K____-1⋅(σ__-K____⋅ε(sen)__)]dΩ{\ displaystyle e ^ {2} \ left ({\ underline {u}}, {\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \ operatör adı {Tr} \ left [\ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} - {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon (u)}}} \ right) \ cdot {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} ^ {- 1} \ cdot \ left ({\ underline { \ underline {\ sigma}}} - {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon (u)}}} \ right) \ right ] \ mathrm {d} \ Omega}
=12[∫ΩTr(σ__⋅K____-1⋅σ__)dΩ+∫ΩTr(K____⋅ε__⋅ε__)dΩ-2∫ΩTr(σ__⋅ε__)dΩ]{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ left [\ int _ {\ Omega} \ operatorname {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline { \ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} ^ {- 1} \ cdot {\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ right) \ mathrm {d} \ Omega + \ int _ {\ Omega} \ operatöradı {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} \ cdot {\ underline {\ altı çizili {\ varepsilon}}} \ sağ) \ mathrm {d} \ Omega -2 \ int _ {\ Omega} \ operatöradı {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ altı çizili {\ underline {\ varepsilon}}} \ right) \ mathrm {d} \ Omega \ right]}
Daha sonra Green formülünü uygularız :
∫ΩTr(σ__⋅ε__)dΩ=∫∂Ω(σ__⋅değil_)⋅sen_dS-∫Ωdiv_(σ__)⋅sen_dΩ{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ operatorname {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} \ right) \ mathrm { d} \ Omega = \ int _ {\ kısmi \ Omega} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {n}} \ right) \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} S- \ int _ {\ Omega} {\ underline {\ operatorname {div}}} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ right) \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} \ Omega}
İki integralin kenarındaki integrali ayırabiliriz : biri üzerinde , biri yer değiştirmenin uygulandığı kısım, diğeri üzerine , biri üzerine kuvvet uygulayan kısım . Unutmayın ki bu durumda elimizde:
Ω{\ displaystyle \ Omega}
∂1Ω{\ displaystyle \ kısmi _ {1} \ Omega}
∂Ω{\ displaystyle \ kısmi \ Omega}
∂2Ω{\ displaystyle \ kısmi _ {2} \ Omega}
∂Ω{\ displaystyle \ kısmi \ Omega}![\ kısmi \ Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16feddaad462c2a1c9efdaeee062a0484a023fde)
∂Ω=∂1Ω∪∂2Ω{\ displaystyle \ kısmi \ Omega = \ kısmi _ {1} \ Omega \ cup \ kısmi _ {2} \ Omega}![{\ displaystyle \ kısmi \ Omega = \ kısmi _ {1} \ Omega \ cup \ kısmi _ {2} \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed4f69b8cae0654ef36232f7a8db3265ac766f2)
ve
∂1Ω∩∂2Ω=∅{\ displaystyle \ kısmi _ {1} \ Omega \ cap \ kısmi _ {2} \ Omega = \ boş küme}
Böylece denge denklemleri ve sınır koşulları kullanılarak elde edilir:
∫ΩTr(σ__⋅ε__)dΩ=∫∂1Ω(σ__⋅değil_)⋅send_dS+∫∂2ΩFd_⋅sen_dS+∫Ωfd_⋅sen_dΩ{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ operatorname {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} \ right) \ mathrm { d} \ Omega = \ int _ {\ kısmi _ {1} \ Omega} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {n}} \ right) \ cdot {\ underline {u_ {d}}} \, \ mathrm {d} S + \ int _ {\ kısmi _ {2} \ Omega} {\ underline {F_ {d}}} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} S + \ int _ {\ Omega} {\ underline {f_ {d}}} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} \ Omega}
Dır-dir
e2(sen_,σ__)=Ep(sen_)+Evs(σ__){\ displaystyle e ^ {2} \ left ({\ underline {u}}, {\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ right) = E_ {p} ({\ altı çizili {u}}) + E_ {c} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}})}
İle:
Ep(sen_)=12∫ΩTr(K____⋅ε__2)dΩ-(∫Ωfd_⋅sen_dΩ+∫∂2ΩFd_⋅sen_dS){\ displaystyle E_ {p} ({\ underline {u}}) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \ operatöradı {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ altı çizili {\ underline {K}}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ^ {2} \ right) \ mathrm {d} \ Omega - \ left (\ int _ {\ Omega} {\ underline {f_ {d}}} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} \ Omega + \ int _ {\ kısmi _ {2} \ Omega} {\ underline {F_ {d} }} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} S \ right)}![{\ displaystyle E_ {p} ({\ underline {u}}) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \ operatöradı {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ altı çizili {\ underline {K}}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ^ {2} \ right) \ mathrm {d} \ Omega - \ left (\ int _ {\ Omega} {\ underline {f_ {d}}} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} \ Omega + \ int _ {\ kısmi _ {2} \ Omega} {\ underline {F_ {d} }} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} S \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc18d9e5f3f68c27c90ab4fc59dfc3fc1bbaf9f)
Evs(σ__)=12∫ΩTr(σ__⋅K____-1⋅σ__)dΩ-∫∂1Ω(σ__⋅değil_)⋅send_dS{\ displaystyle E_ {c} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}}) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \ operatorname {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} ^ {- 1} \ cdot {\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ sağ) \ mathrm {d} \ Omega - \ int _ {\ kısmi _ {1} \ Omega} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {n}} \ right) \ cdot {\ underline {u_ {d}}} \, \ mathrm {d} S}
Bu ifadelerin farklı terimlerinin incelenmesi
Potansiyel enerji
12∫ΩTr(K____⋅ε__2)dΩ{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \ operatorname {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}} \ cdot { \ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ^ {2} \ right) \ mathrm {d} \ Omega}
yer değiştirme ile ifade edilen gerinim enerjisidir. Bir yayın elastik gerilme enerjisinin benzeridir . Bu ise , sürekli ve zorlayıcı simetrik çift doğrusal bir şekilde .
12k(l-l0)2{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k (l-l_ {0}) ^ {2}}
(∫Ωfd_⋅sen_dΩ+∫∂2ΩFd_⋅sen_dS){\ displaystyle \ left (\ int _ {\ Omega} {\ underline {f_ {d}}} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} \ Omega + \ int _ {\ kısmi _ { 2} \ Omega} {\ underline {F_ {d}}} \ cdot {\ underline {u}} \, \ mathrm {d} S \ right)}
bilinmeyen yer değiştirme alanında uygulanan (dolayısıyla bilinen) kuvvetlerin işidir. Bu ise , sürekli doğrusal şekli .
Tamamlayıcı enerji
12∫ΩTr(σ__⋅K____-1⋅σ__)dΩ{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \ operatorname {Tr} \ left ({\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ altı çizili {\ underline {K}}}}} ^ {- 1} \ cdot {\ underline {\ underline {\ sigma}}} \ right) \ mathrm {d} \ Omega}
Gerilme olarak ifade edilen gerinim enerjisidir, kuvvetin bir fonksiyonu olarak ifade edilen bir yayın elastik gerinim enerjisinin benzeridir . Bu ise , sürekli ve zorlayıcı simetrik çift doğrusal bir şekilde .
12F2k{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {F ^ {2}} {k}}}![{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {F ^ {2}} {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c552f037bc7d1275674685499eee68d1a7fd51)
∫∂1Ω(σ__⋅değil_)⋅send_dS{\ displaystyle \ int _ {\ kısmi _ {1} \ Omega} \ sol ({\ altı çizili {\ altı çizili {\ sigma}}} \ cdot {\ altı çizili {n}} \ sağ) \ cdot {\ altı çizili {u_ {d}}} \, \ mathrm {d} S}
sadece dayatılan ve uygulanan kuvvetlere bağlı olarak uygulanan yer değiştirme alanındaki (dolayısıyla bilinen) bilinmeyen kuvvetlerin işidir
. Bu ise sürekli lineer şekli .
Ep(sen){\ displaystyle E_ {p} (u)}
sen{\ displaystyle u}![sen](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
Enerji teoremlerinin gösterilmesi
Kesin çözümün öyle olduğunu biliyoruz , bu nedenle minimum bu işlevi yerine getirir. Ayrıca olarak bağımsız değişkenlerin iki fonksiyon toplamıdır, çift şekildedir minimum fark ve minimum fark .
e2(sen_,σ__)=0{\ displaystyle e ^ {2} ({\ underline {u}}, {\ underline {\ underline {\ sigma}}}) = 0}
e2(sen_,σ__){\ displaystyle e ^ {2} \ sol ({\ altı çizili {u}}, {\ altı çizili {\ altı çizili {\ sigma}}} \ sağ)}
(sen_,σ__){\ displaystyle ({\ underline {u}}, {\ underline {\ underline {\ sigma}}})}
sen_{\ displaystyle {\ underline {u}}}
Ep(sen_){\ displaystyle E_ {p} ({\ altı çizili {u}})}
σ__{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ sigma}}}}
Evs(σ__){\ displaystyle E_ {c} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}})}![{\ displaystyle E_ {c} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2596952d262e1afee8ec7adebd14ec8ca7a072b1)
Dahası, bu minimizasyon problemlerinin her birinin çözümünün varlığını ve benzersizliğini garanti eden Stampacchia teoreminin uygulama hipotezlerindeyiz .
Dahası, yer değiştirme ve stres davranış modeliyle ilişkili olduğundan, çift çözümünü elde etmek için bu enerjilerden birini veya diğerini en aza indirmeyi seçebilirsiniz.
Yerel denge denkleminden
Yer değiştirme v CA0'da (aşağıda) varyasyonel formülasyonlar yapabilir veya CA 0'a kısıtlama yapabilir ve çözmek için a (u, v) = l (v) veya a (sigma, to) = l (to) denklemleri elde edebiliriz.
Potansiyel enerji, hareket halindeki formülasyon
kinematik olarak kabul edilebilir bir çözüm
arıyoruzsen_{\ displaystyle {\ underline {u}}}![{\ alt çizgi {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee25dde8ded6869153fcc7e75fc148f4a329318)
dbenv_(σ__)+f_d=0_{\ displaystyle {\ underline {div}} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}}) + {\ underline {f}} _ {d} = {\ underline {0}}}
davranış ilişkisini kontrol etmek σ__=K____.ε__(sen_){\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ sigma}}} = {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}}. {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ({ \ underline {u}})}
Bir, sıfırda kinematik olarak kabul edilebilir bir alanla çarpılır :
sen_⋆{\ displaystyle {\ altı çizili {u}} ^ {\ star}}![{\ displaystyle {\ altı çizili {u}} ^ {\ star}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29135324e24a22514e48cc0e9b609d7d35a9c953)
dbenv_(σ__).sen_⋆+f_d.sen_⋆=0, ∀sen_⋆ VSAT0{\ displaystyle {\ underline {div}} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}}). {\ underline {u}} ^ {\ star} + {\ underline {f}} _ {d}. {\ underline {u}} ^ {\ star} = 0, \ \ forall {\ underline {u}} ^ {\ star} \ CA0}
Bir entegrasyon şunları sağlar:
∫Ωdbenv_(σ__).sen_⋆dΩ+∫Ωf_d.sen_⋆dΩ=0{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ underline {div}} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}}). {\ underline {u}} ^ {\ star} d \ Omega + \ int _ {\ Omega} {\ altı çizili {f}} _ {d}. {\ Altı çizili {u}} ^ {\ star} d \ Omega = 0}
Green'in formülü şunları elde etmeyi mümkün kılar:
∫Ωdbenv_(σ__).sen_⋆dΩ=∫∂Ω(σ__.değil_).sen_⋆dΓ-∫Ωσ:ε__(sen_⋆)dΩ{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ underline {div}} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}}). {\ underline {u}} ^ {\ star} d \ Omega = \ int _ {\ partial \ Omega} ({\ underline {\ underline {\ sigma}}}. {\ underline {n}}). {\ underline {u}} ^ {\ star} d \ Gamma - \ int _ { \ Omega} \ sigma: {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ({\ underline {u}} ^ {\ star}) d \ Omega}
Dır-dir:
∫Ωσ__:ε__(sen_⋆)dΩ=∫Ωf_d.sen_⋆dΩ+∫∂Ω(σ__.değil_).sen_⋆{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ underline {\ underline {\ sigma}}}: {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ({\ underline {u}} ^ {\ star}) d \ Omega = \ int _ {\ Omega} {\ altı çizili {f}} _ {d}. {\ Altı çizili {u}} ^ {\ star} d \ Omega + \ int _ {\ kısmi \ Omega} ({\ altı çizili {\ alt çizgi {\ sigma}}}. {\ alt çizgi {n}}). {\ altı çizili {u}} ^ {\ yıldız}}
Alanın kenarını iki yere ayırır : kısıtlamalarda tutulan çabalar : ve∂ΩF{\ displaystyle {\ kısmi \ Omega} _ {F}}
∂σ__.değil_=F_d{\ displaystyle \ kısmi {\ underline {\ underline {\ sigma}}}. {\ underline {n}} = {\ underline {F}} _ {d}}
∂Ωsen{\ displaystyle {\ kısmi \ Omega} _ {u}}
sen_=sen_d{\ displaystyle {\ underline {u}} = {\ underline {u}} _ {d}}
sen_⋆=0{\ displaystyle {\ underline {u}} ^ {\ star} = 0}
Daha sonra elde ederiz:
∫Ωf_d.sen_⋆dΩ+∫∂ΩFF_d.sen_⋆dΓ-∫Ωσ__:ε__(sen_⋆)=0{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ altı çizili {f}} _ {d}. {\ altı çizili {u}} ^ {\ star} d \ Omega + \ int _ {{\ kısmi \ Omega} _ { F}} {\ altı çizili {F}} _ {d}. {\ Altı çizili {u}} ^ {\ star} d \ Gamma - \ int _ {\ Omega} {\ underline {\ underline {\ sigma}}} : {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ({\ underline {u}} ^ {\ star}) = 0}
Davranış modelini kullanarak, aşağıdaki soruna yol açar:
kinematik olarak kabul edilebilir bul, örneğin:
sen_{\ displaystyle {\ underline {u}}}![{\ displaystyle {\ underline {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee25dde8ded6869153fcc7e75fc148f4a329318)
-de(sen_,sen_⋆)=l(sen_⋆), ∀sen_⋆ VSAT0{\ displaystyle a ({\ underline {u}}, {\ underline {u}} ^ {\ star}) = l ({\ underline {u}} ^ {\ star}), \ \ forall {\ underline { u}} ^ {\ star} \ CA0}
ile ve-de(sen_,v_)=∫ΩK____.ε__(sen_)ε__(v_)dΩ{\ displaystyle a ({\ underline {u}}, {\ underline {v}}) = \ int _ {\ Omega} {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {K}}}}}. { \ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ({\ underline {u}}) {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}} ({\ underline {v}}) d \ Omega}
l(v_)=∫Ωf_d.v_dΩ+∫∂ΩFF_d.v_dΓ{\ displaystyle l ({\ underline {v}}) = \ int _ {\ Omega} {\ underline {f}} _ {d}. {\ underline {v}} d \ Omega + \ int _ {{\ kısmi \ Omega} _ {F}} {\ altı çizili {F}} _ {d}. {\ underline {v}} d \ Gama}
Daha sonra , bir yandan çözümün varlığını ve benzersizliğini, diğer yandan da bu problemin problemine denkliğini sağlayan Lax-Milgram ve Stampacchia teoremlerinin uygulama çerçevesi içinde olduğumuzu doğrulayabiliriz . aşağıdakilerle tanımlanan işlevselliğin en aza indirilmesi :
ben(sen_){\ displaystyle I ({\ underline {u}})}![{\ displaystyle I ({\ underline {u}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9529526c3ee4f3e0466ae3338d612917771981)
ben(sen_)=12-de(sen_,sen_)-l(sen_){\ displaystyle I ({\ underline {u}}) = {\ frac {1} {2}} a ({\ underline {u}}, {\ underline {u}}) - l ({\ underline {u }})}
Bu işlevsellik potansiyel enerjiden başkası değildir.
Tamamlayıcı enerji, stres formülasyonu
Tamamlayıcı enerji teoreminin kurulması da aynı şekilde yapılır, ancak stresde varyasyonel bir formülasyon ortaya koyarak, bunun için davranış modelinden başlamak ve onu sıfırda statik olarak kabul edilebilir bir stres alanıyla çarpmak gerekir.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">