Temelsiz kümeler teorisi
İyi temeli olmayan kümeler teorisi, sınırsız aidiyet setlerine izin veren aksiyomatik küme teorisinin bir çeşididir. Başka bir deyişle, temelin aksiyomunu ihlal eden bir küme teorisidir . Daha doğrusu, asılsız setleri teoride, kurucu aksiyomu ZFC onun olumsuzlamasıydı karıştığı bir aksiyomuna ile değiştirilir.
Temelleri sağlam olmayan setlerle ilgili çalışma, Demetrius Mirimanoff tarafından 1917 ile 1920 yılları arasında Fransızca olarak yayınladığı ve iyi kurulmuş süitler ile sağlam temelsiz süitler arasında bir ayrım yaptığı bir dizi makale ile başlatıldı . ancak, iyi bir temelin aksiyomunu kullanmaz. Temelsiz kümeler için birkaç aksiyom daha sonra önerilmiş olsa da, Peter Aczel 1988'de hiperset teorisini önerene kadar hiçbiri uygulama bulamadı.
Temelsiz kümeler teorisi, bilgisayar biliminde ( süreç cebiri ), dilbilimde ve doğal dilin anlambiliminde süreç hesaplamalarının sonlandırılmaması için modeller sunmayı mümkün kılar . Ayrıca felsefede ( yalancı paradoksu ) ve standart dışı analizde uygulamaları vardır .
Paradokslardan sonra
İkilemlerini analiz etmek Burali-Forti ve Russell , Demetrius Mirimanoff , 1917 yılında, bir dizi iyi bir temel kavramını ortaya:
Bir küme, sonsuz üyelik dizisinin başlangıcında değilse geçerlidir:
Temel aksiyomu sayesinde, ZFC'de sonsuz azalan üyelik dizisi yoktur. Öte yandan, temel aksiyomu olmayan ZFC varyantlarında, örneğin .
Mirimanoff, potansiyel olarak temelsiz kümeler arasında bir izomorfizm kavramını ortaya koyarken, ne bir temel aksiyomu ne de bir temele aykırı aksiyom olarak değerlendiriyor. 1926'da Paul Finsler temelsiz kümelere yetki veren ilk aksiyomu tanıttı. Ancak Zermelo, Von Neumann'ın daha önceki çalışmalarının bir sonucu olarak kendi sistemine temel bir aksiyomu benimsedikten sonra , temelsiz setlere olan ilgi onlarca yıldır azaldı. Ancak olmayan sağlam temelli setler teorisinin başlangıcı yeniden ortaya yeni vakıf arasında Quine bu olmasına rağmen, tip teorisi ziyade küme teorisi.
Temel aksiyomun bağımsızlığı
Kurucu aksiyomuna bağımsızlığı Çeşitli gösteriler ZF tarafından özellikle 1950'lerde yayınlanan Paul Bernays'ın 1941 yılında ve tarafından sonucunun bir duyuru izledi 1954 yılında, Ernst Specker onun farklı bir gösteri verdi güçlendirme hangi edecek 1951 ve Bunu 1957'de yayınlayın. 1957'de, bu gösteriler için genel bir çerçeve sunan ve böylece temelsiz kümeler için aksiyom sistemlerine olan ilgiyi yeniden etkinleştiren Rieger teoremi yayınlandı. 1960 yılında Dana Scott (yayınlanmamış bir yazışmada) bugün Scott'ın temeli karşıtı aksiyom olarak adlandırılan aksiyomu önererek yeni bir öneride bulundu . Başka bir aksiyom, 1960'ların sonlarında Maurice Boffa tarafından önerildi; aşkın evrensellik aksiyomu olarak adlandırılan bu aksiyom, Aczel tarafından on yılın en yüksek araştırma noktası olarak kabul edilir. Boffa'nın fikri, küme teorisini mümkün olduğunca doğru temelden uzakta veya daha kesin olarak genişlemenin izin verdiği ölçüde yapmaktır. Boffa'nın aksiyomu, kümeler anlamındaki her bir genişleme ilişkisinin, geçişli bir sınıftaki üyelik koşulu ile izomorfik olduğunu ima eder.
Rönesans
1985 yılında Marco Forti ve Furio Honsell, bisimülasyon kavramı olan bilgisayar biliminden ödünç alarak konuyu yeniden canlandırdılar . Aslında, iki benzer kümeler birbirinden ayrılamaz ve bu nedenle eşit kabul edilir, bu da genişleme aksiyomunu güçlendirir . Bu bağlamda, kurucu aksiyomla çelişen aksiyomlara temele aykırı aksiyomlar denir ve mutlaka sağlam temeli olmayan bir küme de "hiper küme" olarak adlandırılır.
İkiye ikişer bağımsız dört temel karşıtı aksiyom vardır. Genellikle aşağıdaki listenin ilk harfiyle tanımlanırlar.
- Bir FA ('Anti-Foundation Axiom') - M.Forti ve F.Honsell ( Aczel'in anti-vakıf aksiyomu olarak da adlandırılır ) nedeniyle,
- S AFA ('Scott's AFA') - Dana Scott ,
- F AFA ('Finsler's AFA') - Paul Finsler sayesinde ,
- B AFA ('Boffa'nın AFA'sı') - Maurice Boffa sayesinde .
Temelde sağlam temellere sahip bir setin dört farklı kavramına karşılık gelirler. İlk aksiyom, AFA , erişilebilir, yönlendirilmiş bir grafik olarak ifade edilebilir : erişilebilir, yönlendirilmiş bir grafiğin, bir ve yalnızca bir hipersetin . Bu çerçevede, Q = {Q} denklemini sağlayan Quine atomunun var olduğunu ve benzersiz olduğunu gösterebiliriz . Hiperset teorisinin klasik set teorisini genişlettiği, ancak onun yerini almadığı unutulmamalıdır. Aslında, iyi kurulmuş hiper kümeler, terimin klasik anlamındaki kümelerdir.
Peter Aczel tüm bunları şekillendiriyor ve temelsiz setler teorisini klasikleşen bir kitapta sunuyor.
Referanslar
- (fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınmış olan İngiliz Vikipedi başlıklı makalesinde “ Sigara sağlam temelli küme teorisi ” ( yazarların listesini görmek ) .
- Mirimanoff, D. (1917). Russell ve Burali-Forti'nin çelişkileri ve küme teorisinin temel sorunu. Matematik eğitimi. Uçuş. 19, 37-53.
- Peter Aczel Sağlam olmayan setler (1988) CSLI Yayınları, 131 s.
- * (in) Jon Barwise ve John Etchemendy, The Liar , Oxford University Press, Londra, 1987 - Bu aksiyomla çalışın ve yalancı paradoksunu analiz etmek için kullanın .
- Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), Standart olmayan analiz için standart temeller , Sembolik Mantık Dergisi, 57 (2): 741–748,
- Levy (2002), s. 68; Hallett (1986), s. 186 ; Aczel (1988) s. 105, hepsi Mirimanoff'tan alıntı yapıyor (1917)
- Aczel (1988) s. 105
- (in) John von Neumann , "Set Teorisine bir aksiyomlaştırılması" in Jean van Heijenoort , Frege itibaren Gödel için: Matematiksel Mantık A Kaynak Kitabı, 1879-1931 , Cambridge, Massachusetts, Harvard University Press ,1967 (1925 metni İngilizceye çevrildi ve yeniden basıldı).
- bir erişilebilir sivri yönlendirilmiş grafiktir a, yönlendirilmiş grafiktir bir düğüm (veya tepe noktası) ayırt edilir ve buradaki tüm diğer düğümler bu düğümden ulaşılabilir.