Ehrenfest teoremi

Ehrenfest teoremi fizikçi adını, Paul Ehrenfest zamana göre türevi bağlayan ortalama değer bir bir operatör kuantum için geçiş ile operatöre Hamilton sisteme. Bu teorem, özellikle yazışma ilkesini doğrulayan tüm sistemlerle ilgilidir . H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

Teoremi

Ehrenfest teoremi, bir operatörün ortalama değerinin zaman türevinin (burada, ilgili gözlemlenebilirin zaman türevini döndüren operatör) şu şekilde verildiğini belirtir: AT^{\ displaystyle {\ şapka {A}}}

d⟨AT^⟩dt=⟨∂AT^∂t⟩+1benℏ⟨[AT^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ kısmi {\ hat {A}}} {\ kısmi t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ sağ \ rangle}

herhangi bir kuantum operatörü ve ortalama değeri nerede . AT^{\ displaystyle {\ şapka {A}}}⟨AT^⟩{\ displaystyle \ langle {\ şapka {A}} \ rangle}

Dalga fonksiyonunun değil operatörün zamansal bağımlılığı, Heisenberg'in kuantum mekaniği temsilinin karakteristiğidir . Klasik mekanikte benzer bir ilişki buluyoruz: faz uzayında tanımlanan bir fonksiyonun zamansal türevi, sonra bir komütatör yerine Poisson parantezlerini içeriyor : f(q,p,t){\ displaystyle f (q, p, t)}

dfdt=∂f∂t+{f,H}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t}} + \ sol \ {f, H \ sağ \} }

(kanıt doğrudan Hamilton'un kanonik denklemlerinden gelir )

Genel olarak, klasik bir analoğa sahip kuantum sistemleri için, komütatörler ve Poisson parantezleri arasındaki bu tersine çevirme ampirik yasa olarak kabul edilebilir. ( yazışma ilkesine bakınız ).

Teoremin kanıtı

A, otomatik eşleme operatörü tarafından temsil edilen fiziksel bir miktar olsun . Ortalama değerini şu şekilde tanımlıyoruz: AT^{\ displaystyle {\ şapka {A}}}

⟨AT^⟩=⟨ψ(t)|AT^|ψ(t)⟩{\ displaystyle \ langle {\ şapka {A}} \ rangle = \ sol \ langle \ psi (t) \ sağ | {\ şapka {A}} \ sol | \ psi (t) \ sağ \ rangle}

Bu eşitliği zamana göre türetiyoruz:

d⟨AT^⟩dt=d⟨ψ(t)|dt|AT^|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|∂AT^∂t|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|AT^|d|ψ(t)⟩dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ sol \ langle \ psi ( t) \ sağ |} {\ mathrm {d} t}} | {\ hat {A}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle + \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ frac {\ bölümlü {\ hat {A}}} {\ bölümlü t}} \ sol | \ psi (t) \ sağ \ rangle + \ sol \ langle \ psi (t) \ sağ | {\ şapka {A}} | {\ frac {\ mathrm {d} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle} {\ mathrm {d} t}}}

Schrödinger denklemini ve eşleniğini kullanıyoruz:

+benℏd|ψ(t)⟩dt=H^|ψ(t)⟩{\ displaystyle + i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ sol | \ psi (t) \ sağ \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ şapka {H}} \ sol | \ psi (t) \ sağ \ rangle}

ve

-benℏd⟨ψ(t)|dt=⟨ψ(t)|H^{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ sol \ langle \ psi (t) \ sağ |} {\ mathrm {d} t}} = \ sol \ langle \ psi (t) \ sağ | {\ hat {H}}}

Önceki denklemde değiştirerek şunu elde ederiz:

d⟨AT^⟩dt=⟨∂AT^∂t⟩+1benℏ⟨ψ(t)|AT^H^|ψ(t)⟩-1benℏ⟨ψ(t)|H^AT^|ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ kısmi {\ hat {A}}} {\ kısmi t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ psi (t) \ sağ | {\ hat {A}} {\ hat {H}} \ sol | \ psi (t) \ sağ \ rangle - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ psi (t) \ sağ | {\ hat {H}} {\ hat {A}} \ sol | \ psi (t) \ sağ \ rangle}

İle , nihayet anladık [AT^,H^]=AT^H^-H^AT^{\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] = {\ hat {A}} {\ hat {H}} - {\ hat {H}} {\ hat {A}} }

d⟨AT^⟩dt=⟨∂AT^∂t⟩+1benℏ⟨[AT^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ kısmi {\ hat {A}}} {\ kısmi t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ sağ \ rangle}  

Ehrenfest İlişkileri

Klasik bir analoğa sahip kuantum sistemleri için, konum ve momentum operatörlerine uygulanan Ehrenfest teoremi şunları verir:

ddt⟨x^⟩=1m⟨p^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle} ddt⟨p^⟩=⟨F⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle F \ rangle}

Burada Hamilton'un ortalama miktarlara uygulanan kanonik denklemlerini tanıyoruz . Newton'un ikinci yasasını bulmak için ilkini zamana göre ayırmak yeterlidir .

Bu ilişkilerin gösterilmesi

Rasgele bir potansiyel alanındaki bir parçacık için, dikkate alınan Hamilton işlevi şu biçimi alır:

H^(x,p,t)=p^22m+V^(x,t){\ displaystyle {\ hat {H}} (x, p, t) = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ hat {V}} (x, t )}

Darbe operatörü

Ortalama momentumdaki değişimi bilmek istediğimizi varsayıyoruz . Ehrenfest teoremini kullanarak, elimizde ⟨p^⟩{\ displaystyle \ langle {\ şapka {p}} \ rangle}

ddt⟨p^⟩=⟨∂p^∂t⟩+1benℏ⟨[p^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ partic {\ hat {p}}} {\ kısmi t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {H}}] \ rangle}

Kendimizi bir "konum" temsiline yerleştiririz: daha sonra dürtü operatörü yazılır . Bir operatör kendisiyle önemsiz bir şekilde gidip gelirken ve dürtü zamanın açık bir işlevi olmadığından, Ehrenfest ilişkisi şu şekilde azalır: p^=-benℏ∇{\ displaystyle {\ şapka {p}} = - i \ hbar \ nabla}

ddt⟨p^⟩=1benℏ⟨[p^,V^(x,t)]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{ \ hat {p}}, {\ hat {V}} (x, t)] \ rangle}

dır-dir

ddt⟨p^⟩=⟨-∇V^(x,t)⟩=⟨F⟩,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle - \ nabla {\ hat {V}} (x, t ) \ rangle = \ langle F \ rangle,}

( ikna olmak için bir test işlevine başvurabiliriz ) 1benℏ⟨[p^,V^]⟩{\ displaystyle {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {V}}] \ rangle}|ψ⟩{\ displaystyle \ sol | \ psi \ sağ \ rangle}

Operatör konumu

Aynı hesaplama , hala "pozisyon" gösteriminde olan pozisyon operatörü için yapılır . Potansiyel yalnızca konuma ve zamana bağlı olduğundan, konum operatörü ile değişir ve Ehrenfest ilişkisi şu şekilde azalır: x^{\ displaystyle {\ şapka {x}}}

ddt⟨x^⟩=⟨∂x^∂t⟩+1benℏ⟨[x^,H^]⟩=1benℏ⟨[x^,p^22m]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ partic {\ hat {x}}} {\ kısmi t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ hat {H}}] \ rangle = {\ frac {1} { i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}] \ rangle}

Anahtarlama ilişkisini kullanarak,

[x^,p^2]=p^[x^,p^]+[x^,p^]p^=2benℏp^{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {2}] = {\ hat {p}} [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] + [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] {\ hat {p}} = 2i \ hbar {\ hat {p}}}

elde ederiz :

ddt⟨x^⟩=1m⟨p^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle}  

Ayrıca görün

• Liouville teoremi
• Heisenberg'in temsili

Kaynakça

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu ve F. Laloë , Kuantum mekaniği [ baskının detayı ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">