Runge-Lenz vektör

Bu makalede vektörler ve normları sırasıyla kalın ve italik olarak belirtilmiştir . Örneğin: .

Olarak klasik mekanik , Runge-Lenz vektörü ya da değişmez Runge Lenz a, vektör şeklini ve yönünü açıklamak için çoğunlukla kullanılan bir yörüngede bir yıldız etrafında bir gezegen durumunda olduğu gibi, bir başka çevresinde astronomik gövdenin.

Yerçekimi etkileşimindeki iki cisim için , Runge-Lenz vektörü bir hareket sabitidir , yani yörüngenin herhangi bir noktasında aynı değeri alır; eşdeğer bir şekilde Runge-Lenz vektörünün korunduğunu söylüyoruz. Daha genel olarak, Runge-Lenz vektörü, aralarındaki mesafenin karesinin tersi olarak değişen bir merkezi kuvvet vasıtasıyla etkileşen iki cismin herhangi bir sorunu için korunur . Bu tür sorunlara "Kepler'in sorunları" denir.

Hidrojen atomu, elektrostatik etkileşim iki ücretleri, mesafenin ters kare bir merkezi kuvvet anlamına gelir çünkü bir Kepler sorundur. Runge Lenz vektör ilk olarak gerekli olduğunu kuantum açıklamaları arasında emisyon spektrumu geliştirilmesi sonra hidrojen atomunun Schrödinger denkleminin . Ancak bu yaklaşım günümüzde çok az kullanılmaktadır. Klasik ve kuantum mekaniğinde , korunan büyüklükler genellikle sorunun simetrisine karşılık gelir . Runge-Lenz vektörünün korunumu alışılmadık bir simetri ile ilişkilidir: Kepler'in problemi matematiksel olarak 3-küre üzerinde serbestçe hareket eden bir parçacığa eşdeğerdir, bu da problemin dört boyutlu bir uzayda bazı dönüşler için simetrik olduğu anlamına gelir. Bu üstün simetri, Kepler'in probleminin iki özelliğinden kaynaklanır: hız vektörü her zaman mükemmel bir daire içinde hareket eder ve belirli bir toplam enerji için , tüm hız çemberleri iki aynı noktada kesişir.

Runge - Lenz vektörü, adını Carl Runge ve Wilhelm Lenz'den almıştır . Bu bilim adamlarından hiçbiri onu keşfetmemiş olsa da, Laplace vektörü olarak da bilinir ( Pierre-Simon de Laplace'den sonra ). Runge-Lenz vektörü aslında birkaç kez yeniden keşfedilen ve eşdeğerdir olmuştur dışmerkezlik vektörü içinde gök mekaniği . Genel göreliliği , elektromanyetik alanı ve farklı türdeki merkezi kuvvetleri hesaba katmak için Runge-Lenz vektörünün birkaç genellemesi tanımlanmıştır .

Bağlam

Bir etkisi altında hareket eden bir parçacık merkezi kuvvet tutucudur : en az dört hareket sabitleri olan enerji , toplam üç vektör bileşenlerinin açısal momentum L . Yörünge partikülün onun tarafından tanımlanan bir düzlemde yer alır , ilk ivme p (ya da eşit şekilde hızı ile v ) ve yarıçap-vektörü ile r parçacık ve kuvvet arasındaki (Şekil 1, aşağıya bakınız).

Aşağıda tanımlandığı gibi ( Matematiksel tanımlara bakınız ), Runge-Lenz vektör A , her zaman bir merkezi kuvvet için yörünge düzleminde bulunur. Bununla birlikte, A yalnızca ters karedeki merkezi kuvvet için sabittir. Birçok kuvvet için bu A vektörü sabit değildir, ancak norm ve yönde değişir; merkezi kuvvet alanı yaklaşık olarak ters bir kare yasasını takip ederse, A vektörü normda yaklaşık olarak sabittir, ancak yönde yavaşça döner. Koruyucu bir genelleştirilmiş Runge-Lenz vektörü , tüm merkezi kuvvetler için tanımlanabilir, ancak bu durumda vektör, konumun karmaşık bir fonksiyonudur ve genellikle analitik olarak ifade edilemez.

Yörüngenin düzlemi , sabit olan açısal momentum vektörü L'ye diktir ; bu iç çarpım r · L = 0 ile ifade edilebilir ; Aynı şekilde, bir bu düzlem içinde yer aldığı bir: A · L = 0.

Yeniden keşiflerin tarihi

Runge-Lenz vektör A , Kepler probleminin bir hareket sabitidir ve gezegenlerin hareketi gibi astronomik yörüngeleri açıklamak için yararlıdır . Bununla birlikte, belki de momentum veya açısal momentumdan daha az sezgisel olduğu için fizikçiler arasında kullanımı hiçbir zaman çok yaygın olmamıştır . Son üç yüzyılda birkaç kez yeniden keşfedilmesinin nedeni budur. Jakob Hermann , A'nın belirli merkezi ters kare kuvvetleri durumunda korunduğunu gösteren ilk kişiydi ve eliptik yörüngelerde yörünge eksantrikliği ile bağlantıları üzerinde çalıştı . Hermann çalışmaları ile modern formda yaygın Johann Bernoulli sonunda 1710 yılında XVIII inci  yüzyılın, Pierre-Simon Laplace korunmasını yeniden keşfedilen A analitik ziyade geometrik daha bunu almak. Ortasına doğru XIX inci  yüzyılda, William Rowan Hamilton eşdeğerdir ve vektör ivme olduğunu göstermek için kullanılır dışmerkezlik vektörü belirler s ters kare, merkezi kuvvet altında gerçekleştirilir hareketi için bir daireyi tarif etmektedir (Şekil 3). Başında XX inci  yüzyıl Josiah Willard Gibbs tarafından aynı vektör vektör analizi . Gibbs metodu ile bir örnek olarak verilen , Carl Runge tarafından başvurulan vektörler üzerindeki bir Alman kitapta Wilhelm Lenz yazısında kuantum işleme ait hidrojen atomu . 1926'da vektör, Wolfgang Pauli tarafından Schrödinger denklemini değil matris mekaniğini kullanarak hidrojen spektrumunu belirlemek için kullanıldı  ; Pauli'nin makalesinden sonra Runge - Lenz vektörü olarak bilinmeye başlar .

Matematiksel tanımlar

Denklem tarafından tanımlanan mesafenin ters karesinde merkezi bir kuvvet tarafından hareket ettirilen tek bir parçacık için , Runge-Lenz vektör A , aşağıdaki formülle matematiksel olarak tanımlanır

,

veya

Kuvvetin muhafazakar olduğu varsayıldığından , toplam enerji E bir hareket sabitidir :

.

Dahası, kuvvet merkezidir, açısal momentum L de sabittir ve parçacığın içinde hareket ettiği düzlemi tanımlar. Runge Lenz vektörü dik olan L olarak p ∧ L ve R dik olan L . O şöyle bir bulunan düzlem içinde yörüngede .

Bu A tanımı, belirli bir kuvvetin etkisi altında hareket eden m kütleli tek noktalı bir parçacık için geçerlidir . Bununla birlikte, aynı tanım uzatılabilir iki cisim sorununa yönelik alarak, örneğin Kepler sorun, m azaltılmış kütlesi iki gövde ve için r vektör iki gövde arasında.

Aynı hareket sabiti için bir alternatif de mümkündür. En yaygın olanı , eksantriklik vektörünü tanımlamak için bölmektir.

.

Kepler'in Yörüngesini Elde Etmek

Kepler'in iki cisim problemindeki yörüngelerin şekli ve yönelimi aşağıdaki gibi Runge-Lenz vektöründen belirlenebilir. Konum vektörü r ile A'nın iç çarpımı denklemi verir

,

θ, r ve A arasındaki açıdır (Şekil 2). Karışık ürünü değiştirerek

,

ve bir yeniden düzenleme, bir koniğin tanım formülüne yol açar

arasında merkezcillik

ve p parametresi

.

Koninin yarı büyük ekseni a , parametreden ve eksantriklikten elde edilebilir.

,

burada eksi işareti bir elipsi ve artı işareti bir hiperbolu belirtir .

A normu, E enerjisini içeren bir denkleme götürür

,

eksantriklik açısından ne yeniden yazılabilir

.

Dolayısıyla, enerji negatifse (bağlı durum), eksantriklik birden azdır ve yörünge bir elipstir. Enerji pozitifse (serbest durum veya difüzyon durumu), eksantriklik birden büyüktür ve yörünge bir hiperboldur. Son olarak, eğer enerji tam olarak sıfıra eşitse, yörünge bir paraboldür (eksantriklik 1'e eşittir). Her durumda A , koni simetri ekseni ile aynı doğrultudadır ve kuvvetin merkezinden en kısa yaklaşma noktası olan periapside doğru yönlendirilir .

Dairesel momentum hodografları

Runge-Lenz vektörü A ve açısal momentum vektörü L' nin korunumu , p vektörünün bir ters kare yasasına göre merkezi bir kuvvet hareketinde bir daire üzerinde hareket ettiğini göstermek için kullanışlıdır . A ve L' nin çapraz çarpımı , p için bir denkleme yol açar

.

Alarak L boyunca z ekseni ve birlikte majör ekseni x ekseni biz denklemi elde edersiniz:

.

Başka bir deyişle, momentum vektörü p (0, A / L ) merkezli mk / L yarıçaplı bir çemberi tanımlar . Eksantriklik e , Şekil 3'te görülen η açısının kosinüsüne karşılık gelir . Değişkeni tanıtmak da ilginçtir . Bu dairesel hodograf , Kepler'in probleminin simetrisini göstermektedir .

Hareket sabitleri ve süper entegre edilebilirlik

Yedi skaler büyüklük E , A ve L (vektörler, son ikisi her biri üç korunmuş miktar olarak sayılır), iki denklem A · L = 0 ve A 2 = m 2 k 2 + 2 m EL 2 ile bağlanır ve geriye 5 bağımsız hareket sabitleri. Bu, parçacığın yörüngesini belirleyen, başlangıç ​​tarihi sabit bir hareket tarafından belirlenemediğinden, sistemin altı başlangıç ​​koşulu (her biri üç bileşene sahip ilk konum ve ilk hız vektörü) ile tutarlıdır. Normu yana A (ve bu nedenle eksantriklik e yörüngesinin) açısal momentum ile belirlenebilir L ve enerji E , sadece yön arasında A , bağımsız bir şekilde korunur; Ayrıca, bu yana , A olmalıdır ortogonal için L aslında sadece hareketin bir sabit içerir, bunu.

D serbestlik derecesine sahip bir mekanik sistem maksimum 2 d - 1 bağımsız hareket sabitine sahip olabilir, çünkü 2 d başlangıç ​​koşulu vardır ve başlangıç ​​tarihi bir hareket sabiti ile belirlenemez. Daha fazla olan bir sistem d hareket sabitleri denir superintegratable ve 2 olan bir sistem d - 1 sabit olduğu söylenir maksimum superintegratable .

Yana Hamilton-Jacobi denklemi a koordinat sisteminde sadece yol açar d hareket sabitleri, integre sistemleri bir Kepler problemi özgürlük ve 5 bağımsız hareket sabitleri 3 derecelik sahip olduğu maksimum superintegratable olan koordinat sistemi fazlasında ayrılabilir; Hamilton'daki-Jacobi denklemi hem de ayrılabilir olan küresel ve parabolik koordinatlar . Yörünge, faz uzayındaki hareket sabitlerinin eş-yüzeylerinin kesişimi olduğundan, maksimum düzeyde süper entegre edilebilir sistemler, faz uzayında kapalı tek boyutlu yörüngelere yol açar. Bu sistemler, aşağıda açıklandığı gibi yalnızca anahtarlama ilişkileri kullanılarak kanonik olarak nicelendirilebilir .

Bozulmuş potansiyellerde evrim

Runge-Lenz vektör A , sadece tam tersi bir kare yasasını takip eden merkezi bir kuvvet için tutulur. Gezegenlerin hareketleri gibi çoğu pratik problemde, iki cisim arasındaki potansiyel etkileşim enerjisi, böyle bir yasayı kesin olarak takip etmez ve tedirginlik potansiyeli h ( r ) olarak adlandırılan ilave bir terim içerebilir . Bu gibi durumlarda, Runge-Lenz vektörü yörünge düzleminde yavaşça döner, bu da yörüngenin periastronunun yavaş bir devinimine karşılık gelir . Hipoteze göre, bozulma potansiyeli h ( r ) muhafazakar ve merkezidir, bu da toplam enerji E'nin ve açısal momentum vektörü L' nin korunduğunu gösterir. Sonuç olarak, hareket L'ye dik bir düzlemde tutulur ve A'nın normu A 2  = m 2 k 2 +2 mEL 2 denklemine göre korunur . Pertürbasyon potansiyeli h ( r ) herhangi bir fonksiyon olabilir, ancak iki cisim arasındaki ters kare kuvvetten kaynaklanan potansiyelden önemli ölçüde daha küçük olmalıdır.

Hızlı hangi Runge Lenz vektörü döner pertürbasyon potansiyel hakkında bilgi verir h (r) . Kanonik tedirginlikler teorisini ve hareket açısı koordinatlarını kullanarak, hemen A'nın hızda döndüğünü elde ederiz.

,

burada T yörünge dönemi olan ve kimlik L  dt  = m  r 2  d θ açısal integrali (Şekil 5) zaman entegralinin dönüştürmek için kullanılmıştır. Köşeli parantez içindeki ifade, 〈h ( r )〉, pertürbasyon potansiyelinin bir periyodu boyunca ortalamasını, yani yörüngesini bir kez tamamen tanımlayan parçacığın ortalamasını temsil eder. Matematiksel olarak küme parantezindeki büyüklük olan zaman ortalaması, devir hızındaki dalgalanmaları ortadan kaldırır.

Bu yaklaşım, teorisi doğrulama sağlamak için kullanılmıştır Einstein ait genel görelilik Newton yerçekimi potansiyel bir kübik rahatsızlık terimi ekler

.

Bu işlevi integrale enjekte ederek ve denklemi kullanarak

r'yi θ'nin bir fonksiyonu olarak ifade etmek için , Newtonian olmayan rahatsızlıklardan dolayı periastronun presesyonu şu şekildedir :

,

Merkür ve ikili pulsarların deviniminin gözlemlenen anormalliğine yakından karşılık gelir . Deneyimle yapılan bu anlaşma, genel göreliliğin geçerliliğinin önemli bir kanıtı olarak kabul edilir .

Balık kancaları

Üç bileşen L i açısal momentum vektörü L sahip Poisson parantez

,

burada i 1,2,3 ve ε = ijs olan Levi-Civita sembolü  ; yukarıda görülen kuvvetin k parametresiyle belirsizliği önlemek için burada toplama indeksi s kullanılır .

Runge Lenz vektör, bir başka ölçek Aşağıda açıklandığı gibi , D , aynı birimde tanımlanabilir açısal momentum bölünmesiyle A ile p 0 . Poisson braket arasında D açısal momentum vektörü L benzer bir formda olabilir

.

Balık Kanca ait D ile kendisinin işaretine bağlıdır E . Negatif enerjiler için (kapalı yörünge bağlantılı sistemler, kuvvet ters kare yasasını izliyorsa eliptik) Poisson parantezi:

pozitif enerji için (açık yörüngeli serbest sistemler, eğer kuvvet mesafenin ters karesindeyse hiperbolik) kanca zıt işarete sahiptir

.

Casimir'in operatörleri negatif enerjiler ile tanımlanmaktadır

ve D ve L' nin tüm bileşenlerini içeren sıfır Poisson parantezine sahip olun

.

Cı- 2 İki vektör, her zaman dik olduğundan, sıfırdır. Bununla birlikte, diğer değişmez Cı 1 önemsiz değildir ve sadece bağlıdır m , k ve E . Bu değişmez sağlar enerji düzeyleri ve hidrojen kullanarak sadece değiştirme ilişkileri arasında kuantum mekaniği yerine dayanarak daha yaygın yöntem Schrödinger denklemi .

Hidrojen atomunun kuantum mekaniği

Poisson parantezleri, mekanik bir sistemin basit bir kanonik nicemleme yöntemi sağlar; iki kuantum operatörünün komütasyon ilişkisi , karşılık gelen klasik değişkenlerin Poisson parantezinin çarpımına eşittir . Bu miktar ve Casimir operatörünün öz belirleyerek hesaplama gerçekleştirerek Kepler sorun, Wolfgang Pauli edilen enerji spektrumu ve hydrogenoid atomuna bu nedenle de (Şekil 6) ve atomik emisyon spektrumu gelişmeden önce elde edilmiş bu zarif sonuç dalga mekaniği .

Runge-Lenz vektör A ile ilişkili kuantum operatörünün bir incelik , momentum ve açısal momentum operatörlerinin değişmemesidir; p ve L' nin çapraz çarpımı daha sonra dikkatle tanımlanmalıdır. Genel olarak, operatörler Kartezyen bileşenler için bir ler , simetrik bir ürün kullanılarak tanımlanmaktadır:

olan tekabül eden ölçek operatörleri tanımlanabilir

.

İlk normalleştirilmiş Casimir operatörü aynı şekilde tanımlanabilir

,

burada H −1 , Hamilton enerji operatörünün tersidir ve I , kimlik operatörüdür . Bu operatör uygulayarak özdurumları açısal momentum, azimutal açısal momentum ve enerji toplam operatörlerin Casimirinkinden ilk operatörün özdeğerler C 1 olan n- 2 - 1; l ve m kuantum sayılarından bağımsızdırlar , bu da enerji durumlarını dejenere hale getirir . Enerji durumları tarafından verilir

,

bu eşdeğerdir Rydberg formül için hidrojen atomuna (Şekil 6).

Koruma ve simetri

Runge-Lenz vektörünün korunumu , sistemin ince bir simetrisine karşılık gelir . Olarak klasik mekanik, simetrileri mümkün sistemin enerji değiştirmeden bir yörüngede diğerine geçişini kolaylaştırıyor sürekli işlemlerdir; içinde kuantum mekaniği, simetrileri mix sürekli operasyonlardır atom orbitalleri aynı enerjinin, enerji seviyelerinin hangi neden dejenerasyonu söylemektir. Muhafazakar bir miktar genellikle bu tür simetrilerle ilişkilendirilir. Örneğin, herhangi bir merkezi kuvvet, açısal momentum L' nin korunumuna yol açan SO (3) dönme grubu ile simetriktir . Geleneksel olarak, sistemin tam dönüşü yörüngenin enerjisini değiştirmez; kuantum olarak, dönüşler enerjiyi değiştirmeden aynı kuantum numarasının l küresel harmoniklerini birleştirir .

Ters kare yasasını izleyen bir merkezi kuvvetin simetrisi daha yüksek ve daha karmaşıktır. Kepler'in probleminin özel simetrisi, açısal momentum L ve Runge-Lenz vektör A'nın ( yukarıda tanımlandığı gibi ) aynı anda korunmasından kaynaklanır ve kuantum mekaniğinde, atom d 'hidrojenin enerji seviyelerinin şuna bağlı olmamasını sağlar. kuantum sayıları l ve m . Ancak simetri daha inceliklidir çünkü daha yüksek boyutlu bir uzayda yer alır ; bu tür simetrilere bazen "gizli simetriler" denir.

Klasik olarak, Kepler probleminin yüksek simetrisi, enerjiyi koruyan, ancak açısal momentumu koruyamayan yörüngelerin sürekli bozulmasına izin verir; başka bir deyişle, aynı enerjinin, ancak farklı açısal momentlerin (dolayısıyla farklı eksantrikliklerin) yörüngeleri sürekli olarak birbirine dönüştürülebilir. Kuantum bir şekilde bu, örneğin atomik orbitaller s ( l = 0) ve p ( l = 1) gibi kuantum sayıları l ve m ile farklılık gösteren orbitallerin bir kombinasyonunu yapmaktan ibarettir . Bu tür kombinasyonlar, olağan üç boyutlu rotasyonlar ve ötelemeler dikkate alınarak yapılamaz, ancak daha büyük boyutlu bir uzayda bir dönüşe karşılık gelir.

Negatif enerjiler için, yani bağlantılı sistemler için, sistemin en yüksek simetri grubu, dört boyutlu uzayda uzunluğu koruyan SO (4) 'tür.

1935'te Vladimir Fock , Kepler'in bağlı kuantum sistemi probleminin, dört boyutlu bir uzayda 3-küre üzerinde hareket eden serbest bir parçacık problemine eşdeğer olduğunu gösteriyor. Bu Daha kesin olarak gösterir fock Schrödinger denklemi ait dalga fonksiyonları an uzayında stereografik çıkıntı arasında küresel harmonik küre üzerinde.

Notlar ve referanslar

Referanslar

  1. (en) H. Goldstein , Klasik Mekanik , Addison Wesley,1980, 2 nci  baskı. , s.  102–105,421–422
  2. (in) V. Arnold , Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2. baskı. , New York, Springer-Verlag ,1989, 2 nci  baskı. , 520  s. ( ISBN  978-0-387-96890-2 , çevrimiçi okuyun ) , s.  38 (Rusça'dan çevrilmiştir)
  3. (en) W. Pauli , "  Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik  " , Zeitschrift für Physik , cilt.  36,1926, s.  336-363
  4. (en) V. Fock , "  Zur Theorie des Wasserstoffatoms  " , Zeitschrift für Physik , cilt.  98,1935, s.  145–154
  5. (in) V. Bargmann , "  Zur Theory of Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur Arbeit von gleichnamigen V. Fock  " , Zeitschrift für Physik , cilt.  99,1936, s.  576–582
  6. (en) WR Hamilton , "  Newton çekim yasasını sembolik dilde ifade etmenin hodografı veya yeni bir yöntemi  " , İrlanda Kraliyet Akademisi Bildirileri , cilt.  3,1847, s.  344ff
  7. (en) H. Goldstein , "  Prehistory of the Runge - Lenz vector  " , American Journal of Physics , cilt.  43,1975, s.  735–738
    (en) H. Goldstein , "  Runge - Lenz vektörünün tarihöncesi hakkında daha fazla bilgi  " , American Journal of Physics , cilt.  44,1976, s.  1123–1124
  8. (in) WR Hamilton , "  Dinamik Kuaterniyonların Bazı Sorulara Uygulamaları  " , İrlanda Kraliyet Akademisi Bildirileri , cilt.  3,1847, Ek III
  9. (in) DM Fradkin , "  Tüm Klasik Merkezi Potansiyel Problemler için Dinamik Simetrilerin Varlığı O 4 ve SU 3  " , Teorik Fizik Gelişimi , Cilt.  37,1967, s.  798–812
  10. (in) T. Yoshida , "  Laplace-Runge-Lenz vektörünün iki genelleme yöntemi  " , European Journal of Physics , cilt.  8,1987, s.  258–259
  11. (in) J. Hermann , "  Metodo araştırması 'Pianeti, nell'ipotesi ve saf yerçekimi merkezi ...  " , Giornale Letterati D'Italia , cilt.  2,1710, s.  447–467
    (en) J. Hermann , "  M. Herman'ın Padoüe'den M. Bernoulli'ye yazdığı ve 12 Temmuz 1710 tarihli bir mektuptan alıntı  " , Kraliyet Bilimler Akademisi Tarihi , cilt.  1732,1710, s.  519–521
  12. (En) J. Bernoulli , "  M. Bernoulli'nin Basle'den 7 Ekim 1710 tarihli M. Herman'a Yanıtı'ndan Alıntı  " , Kraliyet Bilimler Akademisi Tarihi , cilt.  1732,1710, s.  521–544
  13. P.-S. Laplace , Gök Mekaniği Üzerine İnceleme ,1799, "Cilt I, Birinci Bölüm, Kitap II", s.  165 ve sonrası
  14. (inç) JW Gibbs , EB Wilson, Vektör Analizi , New York, Scribners,1901, s.  135
  15. (dan) C Runge , Vektoranalysis , Leipzig, Hirzel1919, s.  Cilt I
  16. (in) W. Lenz , "  Über den Bewegungsverlauf Quantenzustände und der gestörten Keplerbewegung  " , Zeitschrift für Physik , cilt.  24,1924, s.  197–207
  17. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t.  1: Mekanik [ sürümlerin ayrıntıları ].
  18. (in) NW Evans , "  Klasik mekanikte süper entegre edilebilirlik  " , Physical Review A , cilt.  41,1990, s.  5666-5676.
  19. (in) A. Sommerfeld , Atomik Yapısı ve Spektral Hatları , Londra, Methuen ,1923, s.  118.
  20. (in) NW Evans , "  Smorodinsky-Winternitz sisteminin grup teorisi  " , Journal of Mathematical Physics , Cilt.  32,1991, s.  3369–3375.
  21. (en) A. Einstein , "  Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie  " , Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften , cilt.  1915,1915, s.  831–839
  22. (en) U. Le Verrier , "  M. Le Verrier'den M. Faye'e Merkür Teorisi ve Bu Gezegenin Günberi Hareketi Üzerine Mektup  " , Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) , cilt .  49,1859, s.  379-383
  23. CM Will , General Relativity, an Einstein Century Survey , Cambridge, Cambridge University Press ,1979, SW Hawking ve W Israel, eds. ed. , s.  Bölüm 2
  24. (in) A. Pais , Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein , Oxford University Press ,1982
  25. NT Roseveare , Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein , Oxford University Press ,1982
  26. (en) A. Bohm , Kuantum Mekaniği: Temeller ve Uygulamalar , Springer Verlag ,1986, 2 nci  baskı. , s.  208–222
  27. (in) P. Dirac , Kuantum Mekaniği İlkeleri, 4 düzelterek baskısında , Oxford University Press ,1958
  28. (in) E. Schrödinger , "  Quantisierung als Eigenwertproblem  " , Annalen der Physik , cilt.  384,1926, s.  361-376
  29. (in) GE Prince ve CJ Eliezer, "  Klasik Kepler probleminin Lie simetrileri üzerine  " , Journal of Physics A: Mathematical and General , Cilt.  14,bin dokuz yüz Seksen bir, s.  587–596.

Notlar

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantı

Kepler'in yasalarının ve bir elipsin özelliklerinin gösterilmesi , Bernard Gisin'den mekanik dersi (kişisel web sitesi)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">