B-spline

Gelen matematik , bir B-spline a, doğrusal bir kombinasyonudur ve pozitif yivler az kompakt destek. B-spline'lar Bézier eğrilerinin genelleştirmesidir ve NURBS tarafından genelleştirilebilirler .

Tanım

[0, 1] 'de m +1 düğüm t i verildiğinde $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ Bir derece spline eğri parametrik eğridir $değil$ ${\ mathbf {S}} \ ,: \, [0,1] \ - {\ mathbb {R}} ^ {d}$ n derece B-spline fonksiyonlarından oluşur ${\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ toplamı _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ içinde [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , burada P ı olarak adlandırılan bir çokgen formu kontrol poligon ; bu çokgeni oluşturan nokta sayısı m - n'ye eşittir .

M - n derece B-spline fonksiyonları n alt derecesine indüksiyonu ile tanımlanmaktadır: $b _ {{j, 0}} (t): = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 & {\ mathrm {aksi halde}} \ end {matris}} \ sağ.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Düğümler eşit uzaklıkta olduğunda, yani aritmetik ilerlemede olduklarında, B-spline'larının "tekbiçimli" olduğu söylenir: bu, düğümleri t i olan tekbiçimli B-spline'lar olan Bézier eğrileri için geçerlidir ( i için 0 ile m arasında ) 0 ile 1 arasında sabit adım 1 / m olan ve Bézier eğrisinin n derecesinin m'den büyük olamayacağı bir aritmetik dizi oluşturur .

Uzantı olarak, iki ardışık düğüm ve birleştirildiğinde, biri poz verir : bu, bir t değeri ile parametrelenmiş eğrinin noktası için teğetin bir süreksizliğini tanımlama etkisine sahiptir , bu nedenle orada açısız bir köşe çanağı yaratmak için; ancak, bu "genişletilmiş B-spline" ı, farklı düğümlerle tanımlanan iki B-spline'ın birleşimi olarak tanımlamak genellikle daha kolaydır, bu spline'lar, burada parametrik değerlendirmede herhangi bir zorluk çıkarmadan, bu ortak köşe ile basitçe birleştirilir. T parametresinin belirli değerleri için B-spline'lar . Ancak bu, herhangi bir basit poligonu genişletilmiş bir B-spline olarak düşünmeyi mümkün kılar. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Özellikleri

Temel işlevlerin şekli, düğümlerin konumuna göre belirlenir.

Eğri, kontrol noktalarının dışbükey zarfının içindedir .

N derece B-spline $b _ {{i, n}} (t)$ [ t i , t i + n + 1 ] aralığında sıfırdan farklıdır : $b _ {{i, n}} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 & {\ mathrm {aksi halde}} \ end {matrix}} \ right.$

Başka bir deyişle, bir kontrol noktasının taşınması, eğrinin şeklini yalnızca yerel olarak değiştirir.

Tek boyutlu b-spline'lar

B-spline'lar yaklaşım teorisinde temel fonksiyonlar olarak kullanılabilir. N derecesinin B-spline'ı şu şekilde verilir: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ left (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ sağ) _ {+} ^ {n}}$ , burada (y) + , pozitif kısım fonksiyonunun genişletilmiş bir versiyonudur : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ başla {vakalar} 0 & {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} & {\ text {si}} x = 0 {\ metin {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} & {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {ve}} n \ geqslant 1 \ end {vakalar}}$

Özellikle 0 dereceli spline'ı kapı fonksiyonu olarak kabul ediyoruz .

Bu fonksiyonlar enterpolasyonlu değildir, ancak kompakt bir ortamdaki yüksek düzenlilikleri onları fonksiyonların yaklaştırılmasında ilginç adaylar yapar.

Referanslar

(in) P. Thevenaz, Blu T. ve M. Unser, " interpolation revisited " , IEEE Process on Medical Imaging , Cilt. 19, n o 7,temmuz 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

İç bağlantılar

Dış bağlantılar

(tr) Spline'lar: Görüntü işleme için birleştirici bir çerçeve (B-spline'lar üzerine eğitim)