Ortalama yaşam
Sayıları sıfıra doğru azalan bir dizi öğe verildiğinde, ortalama yaşam süresi ( yaşam süresi olarak da adlandırılır), kümenin azalma ( azalma ) oranını karakterize eden bir sayıdır . Özellikle, montajın bir elemanının bireysel ömrü, bir referans an ile bu elemanın kaybolması arasında harcanan zaman ise, ortalama ömür, bireysel ömürlerin aritmetik ortalamasıdır .
Üstel düşüş durumu: ortalama ömür ve yarı ömür
Bir parçacığın bozunması "tamamen rastlantısaldır", yani bozunma olasılığı tek tiptir ve λ olarak belirtilir. T ve d t zamanları arasında bozulma olasılığı bu nedenle:
P ([ t ; t + d t ] 'deki bozunma) = λ⋅d t
Bir parçacığın boyu T olduğu da ihtimal olan t (bu süre içinde bulunduğu için , t ve artık bulunmuyorsa t + d , t ):
P (T ∈ [ t ; t + d t ]) = λ⋅d t
Bu aynı zamanda, sabit bir anlık arıza oranı, yani elektronik bileşenler gibi genç zayıflık, aşınma veya hafıza etkisi olmaksızın arıza sergileyen sistemleri de açıklar.
N parçacıklı (veya sistem) bir popülasyon ölçeğinde, bozunma (veya başarısızlık) yasası bu nedenle yazılır:
dDEĞİL(t)dt=-λ⋅DEĞİL(t){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {N} (t)} {\ mathrm {d} t}} = - \ lambda \ cdot \ mathrm {N} (t)}N- (burada t ) süresi de nüfus t , ve A (Yunan harfi lambda) bir oranı sabitidir.
Bu diferansiyel denklemi çözmek, azalan bir üstel fonksiyonu ortaya çıkarır:
DEĞİL(t)=DEĞİL0e-λt{\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t}}N 0 terimi , başlangıçtaki konsantrasyondur.
Bu nedenle ortalama ömür, yaşam süresinin aritmetik ortalaması veya matematiksel beklentisidir :
t¯=1DEĞİL0∫0+∞tdDEĞİL′(t)dt=1λ{\ displaystyle {\ bar {t}} = {\ frac {1} {\ mathrm {N} _ {0}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {d} \ mathrm { N} '(t) \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {\ lambda}}}.
Gösteri
İstatistiksel olarak, t ve t + d t zamanları arasında bozunan parçacıkların (veya başarısızlık gösteren sistemlerin) sayısı:
DEĞİL(t+dt)-DEĞİL(t)=DEĞİL′(t)dt=-DEĞİL0λe-λtdt{\ displaystyle \ mathrm {N} (t + \ mathrm {d} t) - \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} '(t) \ mathrm {d} t = - \ mathrm {N} _ {0} \ lambda \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t}Bir ömrü t olan parçacıkların sayısıdır . Bu yaşam sürelerinin ortalaması bu nedenle
t¯=1DEĞİL0∫0+∞tDEĞİL′(t)dt=-λ∫0+∞te-λtdt{\ displaystyle {\ bar {t}} = {\ frac {1} {\ mathrm {N} _ {0}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {N} '(t ) \ mathrm {d} t = - \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t}Biri parçalara göre bir entegrasyon gerçekleştirir :
t×e-λt=sen×v′{\ displaystyle t \ times \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} = u \ times v '}ile
sen=t ; v′=e-λtsen′=1 ; v=-1λe-λt{\ displaystyle {\ begin {align} u = t & {\ text {; }} & v '= \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \\ u' = 1 & {\ text {; }} & v = - {\ frac {1} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ end {hizalı}}}dır-dir
t¯=-λ[senv]0+∞+λ∫0+∞sen′vdt=-λ[-tλe-λt]0+∞+λ∫0+∞(-1λ)e-λtdt{\ displaystyle {\ bar {t}} = - \ lambda \ sol [uv \ sağ] _ {0} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} u'v \ mathrm {d} t = - \ lambda \ left [- {\ frac {t} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} + \ lambda \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left (- {\ frac {1} {\ lambda}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t }pozitif λ için ( bkz.Asimptotik karşılaştırma> Karşılaştırma ölçeği ),
limt→+∞te-λt=0{\ displaystyle \ lim _ {t \ ila + \ infty} t \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} = 0}bu nedenle ilk terim sıfırdır, kalır
t¯=-∫0+∞e-λtdt=[1λe-λt]0+∞=1λ{\ displaystyle {\ bar {t}} = - \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ mathrm {d} t = \ sol [{\ frac { 1} {\ lambda}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda t} \ right] _ {0} ^ {+ \ infty} = {\ frac {1} {\ lambda}}}CQFD.
Genellikle Yunanca τ (tau) harfini kullanırız :
τ = 1 / λ
ve daha sonra düşüş yasasını λ yerine τ ile ifade edebiliriz :
DEĞİL(t)=DEĞİL0e-tτ{\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ mathrm {e} ^ {\ frac {-t} {\ tau}}}Parçalanmanın fiziksel gerçekliği bu nedenle daha açık bir şekilde tanımlanır.
Yarı ömür süresini ortalama yaşam süresi ile ilişkilendirmek de mümkündür . Yarı ömür süresi t _ 1/2 , partiküllerin yarısının parçalanması için gerekli süre olarak tanımlanır; diğer bir deyişle, konsantrasyon N ( t 1/2 ) N 0/ 2'ye eşdeğer olmalıdır . Matematiksel olarak medyandır . Bu, aşağıdaki denkliğe yol açar:
t1/2=τ⋅ln2=ln2λ{\ displaystyle t_ {1/2} = \ tau \ cdot \ ln 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda}}}kullanım
Yarı ömür, bir radyoaktif izotopu veya kararsız bir temel parçacığı karakterize etmek için en sık kullanılan parametredir . Tipik olarak, karbon-14 tarihlemesi yalnızca canlı organizmalardaki karbon-14 oranı ve karbon-14 izotopunun yarı ömrü hakkında önceden bilgi sahibi olmayı gerektirir.
Diğer istatistiksel yasalar
Tüm sistemler üstel bir yasayı takip etmez. Özellikle, anlık başarısızlık oranının tekdüze olması için bir neden yoktur:
- azalabilir, bu da sistemin zamanla daha güçlü hale geldiğini veya genç kusurları olan sistemlerin erkenden ortadan kaldırıldığını gösterir (bkz. Bebek ölümleri , Çocuk ölümleri ve İçeri girme );
- yaşlanma, aşınma olgusunu gösteren büyüyebilir;
- sistemin ömrü boyunca üç aşamalı bir "küvet" eğrisine sahip olabilir: azalan, sonra sabit, sonra artan.
Her durumda, ortalama ömür t matematiksel beklentiye eşit kalır.
Çoğu durumda, aşağıdaki biçimde ifade edilen bir popülasyon (hayatta kalma yasası) ile bir Weibull yasası kullanılır :
DEĞİL(t)=DEĞİL0×e-(x/λ)β{\ displaystyle \ mathrm {N} (t) = \ mathrm {N} _ {0} \ times \ mathrm {e} ^ {- (x / \ lambda) ^ {\ beta}}}veya:
- β (Yunan harfi beta) şekil parametresidir;
- λ, ölçek parametresidir.
Bu yasa pek çok profil tipini basitçe modellemeyi mümkün kılar: β = 1 ile üstel - ancak şekil parametresinin λ üstel yasanın λ tersi olduğunu fark ederiz -, 3 ile 4 arasında bir β ile Gauss,… We sonra sahip olun:
t¯=τ=λ×Γ(1+1/β){\ displaystyle {\ bar {t}} = \ tau = \ lambda \ times \ Gama (1 + 1 / \ beta)}Γ gama fonksiyonu ile - üstel yasa durumunda, β = 1, Γ (2) = 1 olur.
Çeşitli sürekli istatistiksel yasalar için ortalama ömürler ve yarı ömürler
Yasa
|
Hayatta kalma fonksiyonu R ( t ) = N ( t ) / N 0 |
Ortalama ömür τ = t
|
Yarı ömür t 1/2 = L 50 = B 50 |
---|
Üstel
|
exp (-λ t )
|
1 / λ
|
ln (2) / λ
|
---|
Normal
|
1-Φ(t-μσ){\ displaystyle 1- \ Phi \ sol ({\ frac {t- \ mu} {\ sigma}} \ sağ)}
|
μ
|
μ
|
---|
Günlük normal
|
1-Φ(lnt-μσ){\ displaystyle 1- \ Phi \ sol ({\ frac {\ ln t- \ mu} {\ sigma}} \ sağ)}
|
exp (μ + σ 2 /2),
|
exp (μ)
|
---|
Weibull
|
tecrübe(-(t/λ)β){\ displaystyle \ exp \ sol (- (t / \ lambda) ^ {\ beta} \ sağ)}
|
λΓ (1 + 1 / β)
|
λln (2) 1 / β |
---|
Χ 2
|
γ(k/2,t/2)Γ(k/2){\ displaystyle {\ frac {\ gama (k / 2, t / 2)} {\ Gama (k / 2)}}}
|
k
|
≈ k - 2/3
|
---|
Lojistik
|
11+tecrübe(x-μs){\ displaystyle {\ frac {1} {1+ \ exp \ sol ({\ frac {x- \ mu} {s}} \ sağ)}}}
|
μ
|
μ
|
---|
Log-lojistik
|
αβtβ+αβ{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {\ beta}} {t ^ {\ beta} + \ alpha ^ {\ beta}}}}
|
απβgünah(π/β){\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ pi} {\ beta \ sin (\ pi / \ beta)}}}
|
α
|
---|
Notlar ve referanslar
Notlar
-
Dağılım fonksiyonunun tamamlayıcısıdır : R ( t ) = 1 - F ( t )
Referanslar
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">