Gelen matematik , Mandelbrot kümesi a, fraktal olarak tanımlanan dizi noktalarının c ait kompleks düzlemde olan sekans ve karmaşık sayılar indüksiyonu ile tanımlanan için:
olduğu sınırlanmış .
Mandelbrot seti, Birinci Dünya Savaşı'ndan önce Gaston Julia ve Pierre Fatou tarafından keşfedildi . Tanımı ve şimdiki adı , 1980'lerde Benoît Mandelbrot tarafından yapılan temsillere saygı duruşunda bulunan Adrien Douady'den kaynaklanmaktadır . Bu set, Julia kümelerini göstermeyi mümkün kılar : karmaşık düzlemin her noktasında farklı bir Julia kümesine karşılık gelir. Mandelbrot kümesinin noktaları, bağlantılı Julia kümelerine tam olarak karşılık gelir ve dışındakiler, ilgisiz Julia kümelerine karşılık gelir. Bu set bu nedenle Julia'nın setleriyle yakından bağlantılıdır, aynı zamanda benzer şekilde karmaşık şekiller üretirler.
Mandelbrot kümesinin görüntüleri, karmaşık sayıların karmaşık düzlemin bir kare bölgesinde taranması ve her biri için matematiksel bir işlem yinelendiğinde sonucun sonsuzluğa meyilli olup olmadığı belirlenerek üretilir . Her karmaşık sayının gerçek ve hayali kısmını koordinatlar olarak kabul ederiz ve her piksel , ıraksama hızına göre veya uzaklaşmıyorsa renklendirilir .
Mandelbrot setinin görüntüleri, artan büyütme ile giderek daha ince yinelemeli ayrıntıları ortaya çıkaran ayrıntılı bir sınır sergiliyor. Böylece setin sınırı, ana formun küçük sürümleri oluşur fraktal özellik ait Kendine benzerlik bütün kümesindeki (sadece parçaları) için geçerlidir.
Mandelbrot seti, matematiğin dışında, sanatsal bir ilham kaynağı ve basit kuralların uygulanmasından gelen karmaşık bir yapı örneği olarak popüler hale geldi. Matematiksel görselleştirmenin en iyi bilinen örneklerinden biridir.
Mandelbrot kümesi kendi kökenleri vardır karmaşık dinamikler , bir alan Fransız matematikçiler tarafından temizlendi Pierre Fatou ve Gaston Julia erken XX inci yüzyıl.
Bu setin ilk temsili 1978'de Robert W. Brooks ve Peter Matelski tarafından yazılan bir makalede görülüyor.
1 st Mart 1980 merkezi Thomas J. Watson arasında IBM Research (içinde New York State ), Benoit Mandelbrot , ilk kez bütün bir bilgisayar görselleştirme aldı. Mandelbrot, karmaşık kuadratik polinomların parametre uzayını 1980'de yayınlanan bir makalede inceliyor .
1984'te Mandelbrot setinin çalışması , temel mülklerini kuran ve Mandelbrot onuruna sete isim veren Adrien Douady ve John H. Hubbard'ın çalışmalarıyla gerçekten başladı .
1985'te matematikçiler Heinz-Otto Peitgen (en) ve Peter Richter, Mandelbrot setini akıllara gelen kaliteli görüntülerle popüler hale getirdi .
Scientific American dergisinin Ağustos 1985 sayısında , Mandelbrot seti "şimdiye kadar keşfedilmiş en karmaşık matematiksel nesne" olarak halka tanıtıldı ve kendi izini sürmesine izin veren algoritmayı sunuyor. Bu sayının kapağında Peitgen tarafından oluşturulan bir resim kullanılmaktadır.
Douady ve Hubbard'ın çalışmaları, karmaşık dinamiklere olan büyük ilgiyle aynı zamana denk geldi ve Mandelbrot topluluğunun çalışması, o zamandan beri bu alandaki ilgi odağı oldu. Bu topluluğun çalışmasına önemli katkı sağlayan matematikçiler arasında Tan Lei , Mikhail Lyubich (de) , Curtis T. McMullen , John Milnor , Mitsuhiro Shishikura (en) ve Jean-Christophe Yoccoz'dan alıntı yapmalıyız .
Tarafından geliştirilen genel teori Pierre FATOU ve Gaston Julia erken XX inci herhangi bir fonksiyon (yeterli ilişkili yüzyılda, normal ) f ( z , C (bağımsız değişkenler ve değerleri ile) kompleks ) Julia setleri J c bir için tanımlandığı, ( c sabit ) halinde sınır kümesinin bir kompleksleri ile belirlenir ve böylece sekans z 0 = a ve z , n + 1 = f ( Z , n , c ) kalır sınırlanan (içinde modülü ); Özellikle fonksiyonu f ( z , C ) = Z 2 + C , biz Mandelbrot kümesi tanımlayan M grubu olarak c hangi J C olan bağlı . Fatou ve Julia, bu tanımın girişte verilene eşdeğer olduğunu, yani c'nin M'ye ait olduğunu ancak ve ancak z 0 = 0 ve z n + 1 = z n 2 + ile tanımlanan dizinin ( z n ) olduğunu göstermişlerdir. c sınırlı kalır (modül olarak); gerçek sayılarda kalan , bu nedenle koordinat noktaları ( a , b ) öyle ki iki dizi ( x n ) ve ( y n ) x 0 = y 0 = 0 ve x n +1 = x n 2 - y n 2 + a ; y n +1 = 2 x n y n + b sınırlı kalır.
Dizisi halinde modüllerinin ve z , n daha sonra belirli bir dizin için 2'den daha kesin olarak büyüktür, bu dizi, bir artan bu dizinden ve sonsuza doğru gitmektedir .
GösteriΑ, α 2 = α + | denkleminin pozitif kökü olsun. c | (bu nedenle α ≥ 1). Ayarlayarak x n = | z n | - α, bizde:
α + x n +1 ≥ (α + x n ) 2 - | c |,
dolayısıyla x n +1 ≥ 2α x n .
Sonuç olarak, belirli bir k indeksi için , | z k | > α daha sonra, bu indeksten ( x n ) dizisi geometrik olarak artar .
Bu, özellikle, | c | > 2, k = 1 olur olmaz ve aynı zamanda | c | ≤ 2, belirli bir k için hemen , | z k | > 2.
Dizisi için ( z , n sınırlanmış olarak), ise , bu nedenle yeterli sonsuzluğa eğiliminde değildir, ve gereken (modülünde) 2 ile sınırlı kalır. Bu, girişte verilene eşdeğer Mandelbrot setinin iki tanımını sağlar ve ayrıca bu setin merkezi 0 ve yarıçapı 2 olan kapalı diske dahil edildiğini kanıtlar .
Mandelbrot seti M , kompakttır , gerçek eksen etrafında simetriktir ve merkezi 0 ve yarıçapı 1/4 olan kapalı diski içerir.
Gerçek eksenle kesişimi [–2, 1/4] segmentidir .
GösteriBize göstersin ( Z N ( c )), karmaşık bir ile ilişkili dizi , c ve herhangi bir tam sayı için , n > 0 ise, E , n noktaları kümesi C olan | z n ( c ) | ≤ 2. Yukarıdaki paragraftan M , M n dizisinin kesişimidir (tesadüfen, bu dizinin azaldığını da çıkarabiliriz). Şimdi M 1 , bu nedenle bir kapalı bir disk düzleminin kompakt ve her E n olduğu kapalı bir şekilde, karşılıklı görüntü ve M 1 ile bir polinom fonksiyonu c ↦ z n ( c ). M'nin kompakt olduğunu izler .
İşlevleri c ↦ z n ( c ) Gerçek katsayılı olmak polinomlar, her M n, hem de M ile kararlı kompleks konjugasyon geometrik simetri ile ifade edilmektedir, M , n ve M reel eksene göre.
Eğer | c | ≤ 1/4 sonra, tümevarım ile | z n ( c ) | Tüm n için 1/2, yani c M'ye aittir .
Eğer c , 1/4 <| şeklinde bir gerçek sayı ise durumu aydınlatmaya devam etmektedir. c | ≤ 2.
Not. C ↦ z n ( c ) polinomlarının tüm kökleri M içindedir . Gerçekte, eğer z r ( c ) = 0 ise, z n ( c ) 'nin dizisi bu nedenle sınırlı periyot r'ye sahiptir .
Onun alanı etrafında tahmin edilmektedir 1.506 591 77 ± 0,000 000 08 .
Bu ağırlık merkezi gerçek pozisyonu -0,286 768 3 ± 0.000 000 1 olduğu tahmin edilmektedir.
Dikkate değer ana yapı, merkezi kardioid , merkez ve kutup denklemidir . Merkez ve yarıçaplı çemberi de verebiliriz .
Douady ve Hubbard, 1985'te bütünün birbiriyle bağlantılı olduğunu gösterdi. Bu sonuç, görünüşte diğerlerinden ayrılmış "adaları" ortaya çıkaran ilk Mandelbrot planlarının gözleminden açık değildi. Bunu yapmak için, Mandelbrot kümesinin tamamlayıcısının , birim diskin ℂ 'sindeki tamamlayıcıya uygun olarak izomorfik olduğunu gösterdiler .
Mandelbrot kümesinin yerel olarak bağlı olduğunu varsayıyoruz .
Mandelbrot kümesi kendine benzer içinde civarı arasında noktalarında Misiurewicz (in) . Bu noktalar topluluğun tüm sınırı boyunca yoğundur . Nihayetinde Feigenbaum noktaları civarında da otomatik benzer olduğunu varsayıyoruz (örneğin: -1,401 155 veya -0,152 8 + 1,039 7 i).
Mandelbrot setinin daha küçük sürümleri, küçük farklılıklar ile sonsuz büyütmelerde tüm kenarlığı boyunca görünür.
Mandelbrot kümesi, genel olarak, tamamen otomatik olarak benzer değildir.
Mandelbrot M kümesi , birçok holomorfik işlev için evrensel bir karaktere sahiptir . M'nin kopyaları, çekim havzalarının sınırlarında görülebilir , yani f ( f (… f ( z )))) yinelemelerinin belirli bir komplekse doğru yakınsadığı c kümeleri . İşte aşkın işlevlerle birkaç örnek :
Ayrıca , Newton'un yöntemi gibi bir kübik fonksiyon ailesinin yinelemesi sırasında M'yi buluruz . Bu polinomun bir köküne yaklaşmayan noktalar kümesi M biçimini alır .
Burada yine kendine benzerlik katı değildir.
Newton yöntemi ile bir kübik fonksiyon için yakınsak olmayan noktalar kümesi.
F (z, c) = cos (z) + 1 / c, bölge [-0.09: -0.07] x [0.345: 0.36] yinelemeleri için yakınsama noktaları.
Arasında Hausdorff boyutu Mandelbrot kümesi sınır Bu sonuç Mitsuhiro Shishikura tarafından 1990'da gösterilmiştir 2'dir. Bu sınırın pozitif bir Lebesgue ölçümü (yüzey) olup olmadığını bilmiyoruz .
Gerçek [–2, 1/4] aralığındaki M parametreleri , lojistik denklemdekilerle bire bir karşılık gelecek şekilde konulabilir : yazışma şu şekilde verilir:
Mandelbrot kümesi M kompleksleri grubu olarak tanımlanabilir C olan karşılık gelen Julia seti , J C , bağlanır. Ancak, özel olarak, arasındaki özdeşlik (sınırı) sahip J c ve M yakın c , c sınır ait M . Bu nedenle, belirli bir noktada Mandelbrot kümesinin geometrisi ile ona karşılık gelen Julia kümesinin yapısı arasında yakın bir ilişki vardır. Örneğin, bir nokta Mandelbrot kümesinde tam olarak karşılık gelen Julia kümesinin bağlı olduğu yerdedir .
Bu ilkeden birçok kanıt ve Mandelbrot setindeki derin keşiflerde yararlanılır. Örneğin Mitsuhiro Shishikura, Mandelbrot kümesinin sınırının Hausdorff boyutunun 2 olduğunu ve bu sınırdaki bir noktaya karşılık gelen Julia kümesinin de 2 boyutuna sahip olduğunu kanıtladı .
Jean-Christophe Yoccoz , Julia kümesinin, bu parametrelere karşılık gelen noktalarda Mandelbrot kümesi için de kurmadan önce, belirli parametreler için yerel olarak bağlantılı bir alan olduğunu kanıtladı .
Mandelbrot seti, ana kardioid şeklindeki yapıyı çevreleyen birkaç tomurcuk şeklindeki yapıyı gösterir .
Tomurcuklar ayrıca anten şeklindeki filamentlerle kaplıdır. Anten sayısı doğrudan tomurcuğun periyodikliği ile ilgilidir. Böylelikle anten sayısının sayılması, tomurcuğun periyodikliğini belirlemeyi mümkün kılar.
Biz modülü olan en kısa sürede yukarıda gördüğümüz z n kesin sonsuza 2'den büyük, sıra ıraksamaktadır ve bu nedenle c dışında Mandelbrot'un kümesidir. Bu, katsayı kesinlikle 2'den büyük olan ve dolayısıyla Mandelbrot kümesinin dışında olan noktaların hesaplamasını durdurmamızı sağlar. Mandelbrot kümesinin noktaları için, hesaplama asla sona ermeyecektir, bu nedenle program tarafından belirlenen belirli sayıda yinelemeden sonra durdurulması gerekir. Sonuç olarak, görüntülenen görüntü yalnızca gerçek görüntünün yaklaşık bir değeridir.
Matematiksel olarak alakasız olsa da, fraktal üreten çoğu program Mandelbrot setinin dışındaki noktaları farklı renklerde gösterir . Kümeye ait olmayan bir noktaya atfedilen renk, sonunda karşılık gelen dizinin sonsuza doğru ıraksak ilan edildiği yineleme sayısına bağlıdır (örneğin, modül kesinlikle 2'den büyük olduğunda). Bu, Mandelbrot kümesini çevreleyen birkaç eş merkezli bölge ile sonuçlanır. En uzak sekansı (c olan noktaları oluşur z , n ) sonsuza "daha hızlı bir şekilde" eğilimindedir. Bu farklı bölgeler, Mandelbrot kümesini az çok kesin bir şekilde sınırlar.
Bu nedenle maksimum yineleme sayısı, Mandelbrot kümesinin temsilini güçlü bir şekilde etkiler. Nitekim, setin temel şekli 100 iterasyondan aşırı derecede farklılık göstermiyorsa, bu setin tüm merkezleri ve tüm yakınlaştırmaları için aynı değildir.
Hesaplamaları sınırlamanın bir yolu, önce kardioide ve ana tomurcuğa ait noktaları, yani merkez diski (-1, 0) ve yarıçapı 1/4 bulmaktır. Bu noktalar, Mandelbrot kümesine ait olduklarından ve bu nedenle maksimum yinelemelere çıkmayı gerektirdiğinden, hesaplamalarda özellikle pahalıdır. Yinelemeli algoritmada bir koordinat noktasını geçmeden önce , aşağıdakileri kontrol etmek gerekir:
Diğer tomurcuklar, tamamen dairesel olmadıkları için eşdeğer bir teste sahip değildir. Yine de, bir noktanın bir daireye ait olup olmadığını, bu tomurcuklardan birinde yazılı olup olmadığını kontrol etmek mümkündür, bu da ikincisinin noktalarının çoğunun yinelemeli algoritmayı başlatmamasına izin verir.
Pertürbasyon algoritmasıKomşu noktaya kıyasla evrimdeki farklılığı gerekçelendirmek için ana denklemi yeniden formüle etmek mümkündür. Bu yöntem , bilgisayarın donanım kayan nokta hesaplama birimleri alanında, bu farklılıkları düşük bir kesinliğe (yaklaşık yirmi anlamlı basamak) indirmeyi mümkün kılar ve bunlar , çok duyarlılıklı aritmetik kitaplıklardan çok daha hızlıdır . . Böylece bütün, mutlak bir şekilde hesaplanan bir (veya daha fazla) referans noktasından hesaplanır.
Mutlak olarak muhakeme edersek, setin hesaplanmasında kullanılan sayılar büyük yakınlaştırma seviyeleri için binlerce anlamlı rakama ulaşabilir, yakınlaştırma ile daha da artabilir. Bu algoritma ile, hesaplama hızı, yakınlaştırma düzeyine bağlı olarak nispeten sabit kalır, hesaplama hızı daha çok sahnenin karmaşıklığına bağlıdır.
Bu algoritma, 2017'de Mandelbrot setindeki en hızlı hesaplama programlarından birinin temelini oluşturuyor : Kalles Fraktaler .
Prensip:
Bunların hepsi hesaplanan, depolanan referanslar, en kalabalık ve pahalı işlemler için kullanılacak nokta hesaplama birimleri yüzen bilgisayarın donanımını sağlayan, düşük hassasiyet var.
Hesaplama , yaklaşık olarak ifade edilerek daha da optimize edilebilir :
ile bağlı olmayan fakat yalnızca, (bozuklukları hesaplandığı referans dizi).
Böylece, referans noktası ( ) için tümünü hesaplayıp ezberledikten sonra , herhangi bir komşu noktayı (değiştirerek ) ikili arama yoluyla doğrudan arayabiliriz , bu da sekansın sapmasına neden olur (çünkü hesaplamaya ihtiyacımız yok) ) ve bir noktanın hesaplanması bir ile yapılır zaman karmaşıklık yerine , maksimum yineleme sayısı olmak üzere.
Mandelbrot seti, popülerliğini yapılarının çeşitliliğine ve güzelliğine ve detaylarının sonsuz derinliğine, aynı zamanda bugün mevcut olan birçok yazılımı kullanarak kendiniz keşfetme olanağına borçludur.
Aşağıda açıklanan keşif dizisi, bir dizi karakteristik model aracılığıyla c = –0.743643887037151 + 0.13182590420533i değerine doğru derin bir yakınlaştırmadır. Son görüntü ile ilk görüntü arasındaki büyütme oranı 60 milyar civarındadır (son görüntü tam boyutta olsaydı, ilk görüntü Dünya-Ay mesafesinin yaklaşık on katı olurdu). Bütün sekans, (ve yaklaşık 10 arasında bir büyütme kadar devam ettirilmesi 30 ) animasyon ters izlenebilir.
Adım | Açıklama |
---|---|
İlk Mandelbrot kümesi.
Kardioid ile ana tomurcuk arasındaki vadiyi yakınlaştıracağız. |
|
Bu vadi "denizatı vadisi" olarak vaftiz edilmiştir. | |
Solda çift spiral, sağda "denizatı".
Bunlardan birini yakınlaştırıyoruz. |
|
Baş aşağı bir "denizatı". Bu hipokampus, 2 grup 12 ve kardioide bağlı bir filamentten oluşan 25 "anten" den oluşur. Kapı tomurcuğunun 25'lik bir periyodikliğe sahip olduğu sonucuna vardık . Bu antenlerin buluşma noktası " Misiurewicz (in) noktası" dır . Hipokampusun "kuyruğuna" götüren daha uzun antende, Mandelbrot setinin "uydu" olarak da adlandırılan küçültülmüş bir kopyasını tanıyabiliriz.
Şimdi deniz atının kuyruğunu yakınlaştırıyoruz. |
|
Bir spiral şeklinde sarılmış kuyruğun ucu da bir Misiurewicz dikişidir.
Görüntünün üst kısmını yakınlaştırıyoruz. |
|
Kuyruğun bir bölümü. Bu karmaşık yapı, kuyruğun sonuna giden tek bir yoldan oluşur. Mandelbrot kümesi basitçe bağlantılı bir kümedir , yani döngü veya ada yoktur.
Görüntünün merkezine yakınlaştıralım. |
|
Bu kavşağın kalbinde ikinci bir "uydu" (veya "minibrot") belirir. Kendine benzerliğe bir örnek: Mandelbrot kümesinin sınırı kendisinin sonsuz sayıda kopyasını içerir. Yakınlaştırdığımız yer neresi olursa olsun, her zaman en az bir tane bulacağız. İki spiral, uydu merkezde olan bir dizi eş merkezli halkanın başlangıcıdır.
Bu uyduya doğru yaklaşıyoruz. |
|
Bu kronların her biri benzer spirallerden yapılmıştır. Bunların sayısı, uydu ortamına özgü bir fenomen olan 2'nin gücünde artar. Kuyruğun sonuna giden yol, kardioidin bükülme noktasından uyduya girer ve anteninin ucundan çıkar. | |
Uydu anteni. Birkaç ikinci derece uyduyu ayırt edebiliriz.
Görüntünün sağ üst köşesini yakınlaştıralım. |
|
Uydunun “denizatı vadisi”. Daha önce karşılaşılan tüm yapılar yeniden ortaya çıkar. | |
Çift spiral ve denizatı. İlk vadinin aksine, burası hafif sarmal yapılarla doludur. Bir düzen uydusunda n + 1 tipte farklı yapılar bir arada bulunur. Bu nedenle, 1. derecedeki bu uydu için, 2 farklı yapı türü bir arada var olur.
Vadinin solundaki çift sarmal üzerinde yakınlaştırıyoruz. |
|
İkinci dereceden uydulara sahip çift sarmal.
Şimdi görüntünün sağ üst köşesindeki beyaz tırtıklı yapılardan birini yakınlaştırıyoruz. |
|
Bu ışık yapıları, belirli Julia setlerini andırıyor. Burada yine, bu çok işkence gören model sadece bir iplikçikten oluşur.
Görüntünün sağında görülebilen "çift kancayı" yakınlaştırıyoruz. |
|
Bu çift kanca, bir denizatı kuyruğunun spiral şeklini bir kez daha hatırlatıyor.
Merkezi motife yaklaşıyoruz. |
|
Adacıklar, Cantor'un tozu gibi görünür . Genel şekli Julia J c . Bununla birlikte, Julia kümesinin aksine, bu noktaların hepsi birbiriyle bağlantılıdır, çünkü hala Mandelbrot kümesindeyiz. Bu setin genel şekli, bu konumla ilişkili Julia setinin şekli değildir. Bu, keşfimizin başlangıcında denizatı yerine çift sarmalın yakınındaki bir noktayı seçmiş olsaydık elde edeceğimiz Julia setidir.
Bu yapıların kendileri, büyütmeyi daha da ileri götürürsek keşfedebileceğimiz merkezi bir yapıya bağlıdır. Teorik olarak, büyütme sonsuz olabilir ve sürekli olarak yeni yapılar keşfedebilir. Daha fazlasını görmek için, bu bölümün sağ üst köşesindeki animasyonu tıklayın. |
Mandelbrot kümesi, z ↦ z d + c için 2'den büyük d güçleri için genelleştirilebilir . Bu genellemelere bazen " multibrot " adı verilir , ancak bazı yazarlar için (McMullen gibi) "Mandelbrot kümesi" terimi de bu genellemelere atıfta bulunmalıdır.
Güç 3
Güç 4
Güç 5
Güç 6
1993 yılında Melinda Green tarafından önerilen izleme yönteminin bir modifikasyonu, " Buddhabrot " adlı bir varyantı ortaya çıkarır . Farklılaşan c değerlerine karşılık gelen yörüngelerin ziyaret ettiği noktaların yoğunluğunu , dolayısıyla Mandelbrot kümesinin dışında seçildiğini görüyoruz .
3 boyutta, karmaşık sayılarla karşılaştırılabilir vücut yapısı yoktur, bu nedenle "doğal" uzantı yoktur. Ancak Daniel White'ın uzantısına dikkat edin
(2009) “ Mandelbulb . "
4 boyutta, doğal uzantısı alanına ait kuaterniyonlara (bkz kuaterniyonik Mandelbrot kümesi için tedavi edildi 1987 Diğer teorik sonuçlar John Holbrook tarafından incelenmiştir videoyu formunun ikinci dereceden bir polinom ile tanımlanan) .
2000 yılında, Dominic Rochon kullanılan değişmeli halka ait BIComplex sayılar boyutunda üç ve dört Mandelbrot kümesi yeni bir sürümünü vermek. Çalışmalarından "Tetrabrot" ortaya çıkıyor .
Daha fazla genelleme yapmak ve bunun yerine keyfi yinelemeleri değerlendirmek de mümkündür .
F (z, c) = cos (z / c) için bir değişken
f (z, c) = sinh (z) + 1 / c²
f (z, c) = cos (z) + 1 / c
f (z, c) = c z-1 e - c (Gama fonksiyonunun integrali)
f (z, c) = sinh (z) + 1 / c k (0,1 ile 10 arasında değişen k)
f (z, c) = z² + günah (c 3 )
f (z, c) = z² + c 3 -δ, δ≈-1.401155 ile Feigenbaum noktası
f (z, c) = z² + (c 3 + 0.7-0.2i) 3 + i (0.36 + 0.7i yakınlaştır)
Mandelbrot seti, en popüler ve en iyi bilinen matematiksel nesnelerden biridir. Özellikle kitaplarda veya müzikte çeşitli sanatçılar tarafından bahsedilmektedir: