Bulanık küme

Teorisi bulanık alt kümeleri bir olan matematiksel teori alanında soyut cebir . 1965 yılında Lotfi Zadeh tarafından , belirli nesne sınıflarıyla ilgili belirsizliği matematiksel olarak temsil etmek için geliştirilmiştir ve bulanık mantığın temeli olarak hizmet eder .

Sunum

Bilginin insan temsilini modellemek ve böylece bu modellemeyi kullanan karar sistemlerinin performansını iyileştirmek için bulanık alt kümeler (veya bulanık bölümler) tanıtıldı.

Bulanık alt kümeler, belirsizliği ve belirsizliği modellemek veya bir uzman sistem tarafından özümsenebilecek sözcük biçiminde kesin bilgileri temsil etmek için kullanılır .

Tanım

Bir montajın bir parçası genellikle karakteristik işleviyle ilişkilendirilir . Elemanları için bu geçerlidir x arasında . Eğer 0 değerini aldığında x için değil aittir ve 1 eğer x aittir . AT{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}

X'in bir öğesi olduğu gerçeğini kesin olarak ifade etmek istediğimizden daha yüksek olan bir dereceye kadar ait olan x öğelerine atfederek bulanık bir kısmını tanımlamak istiyoruz . Biz o ifade etmek isteyen bu değer 0'a eşit olacak x belirli bir şekilde unsuru değildir bunu ifade etmek istiyoruz eğer 1 değerinde olacaktır, x ait belirli bir şekilde ve o arasında bir değer alacak 0 ve 1, x'in ait olduğundan aşağı yukarı emin olup olmamasına bağlı olarak . Bu nedenle bulanık bir kısmı şu şekilde tanımlamaya yönlendiriliyoruz: AT{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}

Bir kümenin belirsiz bir bölümü (veya bulanık alt kümesi) [0,1] ' den bir eşlemedir . E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}

Eğer Daha genel olarak, a, tam dağıtım ve komplemente kafes biz bir harita olarak bir L-bulanık bir kısmını tanımlar içinde . Eğer biz bulanık kısmının önceki tanımını bulmak ve eğer biz E. parçası olağan kavramını bulmak L{\ displaystyle L}E{\ displaystyle E}L{\ displaystyle L}L=[0,1]{\ displaystyle L = [0,1]}L={0,1}{\ displaystyle L = \ {0,1 \}}

Özellikleri

• Bulanık kısım arasında bir uygulama ile karakterize edilir içinde . Adlandırılan bu harita, üyelik fonksiyonu ve kaydetti önermenin geçerlilik derecesini temsil “  aittir  elemanların her biri için” arasında . Eğer , nesne tamamen aittir ve eğer , hiç kendisine ait değil. Belirli bir öğe için üyelik işlevinin değeri , öğenin alt kümeye ait olduğu derece olarak adlandırılır .AT{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}μAT{\ displaystyle \ mu _ {A}}x{\ displaystyle x}AT{\ displaystyle A}x{\ displaystyle x}E{\ displaystyle E}μAT(x)=1{\ displaystyle \ mu _ {A} (x) = 1}x{\ displaystyle x}AT{\ displaystyle A}μAT(x)=0{\ displaystyle \ mu _ {A} (x) = 0}x{\ displaystyle x}μAT(x){\ displaystyle \ mu _ {A} (x)}x{\ displaystyle x}AT{\ displaystyle A}

• Küme , aynı şekilde 1'e eşit üyelik işlevi tarafından verilir. Boş küme, aynı şekilde sıfır üyelik işlevi tarafından verilir.E{\ displaystyle E}

• Çekirdek bulanık bir kısmının tamamen ait elemanları seti olup olan ait derecesi demek ki 1 'e eşit.AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A} değil(AT)={x∈E∣μAT(x)=1}{\ displaystyle n (A) = \ {x \ in E \ orta \ mu _ {A} (x) = 1 \}}

• Destek bulanık parçanın bile çok az mensup elemanları seti olduğu için aidiyet kimin derecesi demek ki 0'dan farklıdır.AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}ek⁡(AT)={x∈E∣μAT(x)>0}{\ displaystyle \ operatorname {supp} (A) = \ {x \ in E \ mid \ mu _ {A} (x)> 0 \}}

• Yükseklik bulanık alt kümesi arasında tanımlanırAT{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E} h(AT)=sup{μAT(x)∣x∈E}{\ displaystyle h (A) = \ sup \ {\ mu _ {A} (x) \ orta x \ E \}}.

• Bulanık bir kısmı , tüm α bölümleri ile de karakterize edilebilir. Bulanık bir kısmın bir a-kesiti , a'ya eşit veya daha büyük bir üyelik derecesine sahip olan öğelerin net (klasik) alt kümesidir.AT{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}AT{\ displaystyle A}α-vsÖsenpe⁡(AT)={x∈E∣μAT(x)⩾α}{\ displaystyle \ operatorname {\ alpha -coupe} (A) = \ {x \ in E \ mid \ mu _ {A} (x) \ geqslant \ alpha \}}

• Sonlu bir küme, ancak ve ancak L kafesi sonlu ise, sınırlı sayıda L-bulanık alt kümeye sahiptir. L = [0,1] ise, sonlu bir küme sonsuz sayıda bulanık alt kümeye sahiptir.

Operasyonlar

Parçaların karakteristik işlevlerine göre olağan işlemlerin nasıl davrandığını gözlemleyerek , bu işlemleri bulanık parçaların üyelik işlevlerine genişletiyoruz.

Toplantı

Üyelik işlevi tarafından verilen bir kümeye göre indekslenmiş bir kümenin bulanık bölümlerinden oluşan bir aile olalım . Bu parçaların birliğini aşağıdaki üyelik işlevi ile tanımlıyoruz : (μben)ben∈ben{\ displaystyle (\ mu _ {i}) _ {i \ I’de}}E{\ displaystyle E}ben{\ displaystyle I}μben{\ displaystyle \ mu _ {i}}μ{\ displaystyle \ mu}

μ(x)=sup{μben(x),ben∈ben}{\ displaystyle \ mu (x) = \ sup \ {\ mu _ {i} (x), ben \ içinde ben \}}not edilecek μ=⋁ben∈benμben{\ displaystyle \ mu = \ bigvee _ {i \ içinde I} \ mu _ {i}}

Kavşak

Aynı şekilde, bu parçaların kesişimini aşağıdaki üyelik işlevi ile tanımlıyoruz:

μ(x)=inf{μben(x),ben∈ben}{\ displaystyle \ mu (x) = \ inf \ {\ mu _ {i} (x), ben \ içinde ben \}}not edilecek μ=⋀ben∈benμben{\ displaystyle \ mu = \ bigwedge _ {i \ içinde I} \ mu _ {i}}

Karşılaşma ve kesişme birbirine göre dağılımlı kalır .

Tamamlayıcı

Üyelik işlevi tarafından verilen bulanık bir bölümün tamamlayıcısı, üyelik işlevi olan bulanık bölümdür . μ{\ displaystyle \ mu}1-μ{\ displaystyle 1- \ mu}

Bir kesişimin tamamlayıcısı, tamamlayıcıların yeniden birleşmesine eşit kalır ve yeniden birleşmenin tamamlayıcısı, tamamlayıcıların kesişimidir. Tamamlayıcının tamamlayıcısı, ilk kısmı döndürür.

Bununla birlikte, bulanık bir parçanın ve onun tamamlayıcısının birleşimi her zaman kümeyi vermez ve bulanık bir parçanın ve onun tamamlayıcısının kesişimi boş küme vermez. E{\ displaystyle E}

Nitekim, örneğin, bulanık bölümünü dikkate ait üyelik fonksiyonu ile veri: F{\ displaystyle F}E{\ displaystyle E}∀x∈E,μ(x)=1/2{\ displaystyle \ forall x \, E olarak, \ mu (x) = 1/2}

Bu bulanık kısım, tamamlayıcısına eşittir çünkü üyelik fonksiyonu kontrol eder . μ=1-μ{\ displaystyle \ mu = 1- \ mu}

Daha sonra anladığım buF=F¯{\ displaystyle F = {\ overline {F}}}F∪F¯=F∩F¯=F{\ displaystyle F \ cup {\ overline {F}} = F \ cap {\ overline {F}} = F}

Karşılıklı görüntü

Let ve olmayacak iki setleri ve bir uygulama içinde . Üyelik işlevine göre verilerin belirsiz bir bölümünü düşünün . Aşağıdaki üyelik işlevi ile verilerin bulanık kısmının bu bulanık kısmının karşılıklı görüntüsünü çağırıyoruz , not  : E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle F}μ{\ displaystyle \ mu}f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}f-1(μ){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ mu)}

∀x∈E,f-1(μ)(x)=μ(f(x)){\ displaystyle \ forall x \ E olarak, f ^ {- 1} (\ mu) (x) = \ mu (f (x))}

Doğrudan görüntü

Let ve olmayacak iki setleri ve bir uygulama içinde . Üyelik işlevine göre verilerin belirsiz bir bölümünü düşünün . Aşağıdaki üyelik işlevi ile verilerin bulanık kısmının bu bulanık kısmının doğrudan bir görüntüsünü çağırıyoruz , kaydetti  : E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}E{\ displaystyle E}μ{\ displaystyle \ mu}f{\ displaystyle f}F{\ displaystyle F}f(μ){\ displaystyle f (\ mu)}

∀y∈F,f(μ)(y)=sup{μ(x),x∈f-1({y})}{\ displaystyle \ forall y \ F'de, f (\ mu) (y) = \ sup \ {\ mu (x), x \ f ^ {- 1} (\ {y \}) \}}

Tam set tam bulanıklık

Bu işlem, 2017 yılında Javier Perez-Capdevila tarafından şu şekilde tanıtıldı : Bulanık kümeler verildiğinde, W1 = {(w11, f (w11)), (w12, f (w12),…, (w1i, f (w1i)}, W2 = {(w21, f (w21)), (w22, f (w22),…, (w2j, f (w2j)}, ..., Wm = {(wm1, f (wm1)), (wm2, f (wm2),…, (w2k, f (w2k)} bu kümelerden bir M = {(m1, f (m1)), (m2, f (m2),…, (mn, f (mn) kümesi elde edersek )}, öyle ki her mi, i = 1, 2,…, n, her bir Wk'ye ait elemanların bir kombinasyonudur, k = 1, 2,…, m, her Wk'nin her bir elemanı en az bir mi ve f (mi) değerleri, her bir mi'yi oluşturan elemanların fonksiyon değerlerinin aritmetik ortalamasıdır, M kümesi tam bulanık küme olarak adlandırılır .

Bulanık topoloji

1968 gibi erken bir tarihte Chang, bulanık küme teorisini topolojiye uygulayarak bulanık topolojiye yol açtı.

Tanım

Set olalım . Bulanık bir topoloji, aşağıdaki özellikleri doğrulayan bir üyelik işlevleri koleksiyonu tarafından verilir : E{\ displaystyle E}δ{\ displaystyle \ delta}

(i) 0 ve 1 fonksiyonları koleksiyona aittir δ{\ displaystyle \ delta} (ii) Sonlu sayıda öğenin alt sınırı , öğesinin öğesidir.δ{\ displaystyle \ delta}δ{\ displaystyle \ delta} (iii) Herhangi bir sayıda öğenin üst sınırı öğesidir .δ{\ displaystyle \ delta}δ{\ displaystyle \ delta}

Öğeleri olan açık bulanık olanları. Tamamlayıcıları kapalı bulanık olanlardır. Özellik (i), küme ve boş kümenin bulanık açıklıklar olduğunu, özellik (ii) bulanık açıklıkların sonlu bir kesişiminin bulanık bir açık olduğunu ve (iii) herhangi bir birleşim ve açık bulanıklığın açık bulanık olduğunu ifade eder. δ{\ displaystyle \ delta}E{\ displaystyle E}

Örneğin , olağan anlamda bir topoloji ile sağlanan bir boşluk verildiğinde , [0,1] 'deki değerlerden daha düşük yarı sürekli fonksiyonlar koleksiyonu alarak onu doğal bir bulanık topoloji ile ilişkilendirebiliriz . Bu şekilde tanımlanan bulanık topolojisi ilk topolojisi ile üretilebilir söylenir arasında . Tersine, eğer üzerinde tanımlanmış bulanık bir topoloji ise , onu genel anlamda bir topoloji ile , yani aşağıda yarı-sürekli olanın tüm fonksiyonlarını yapan en az ince topoloji ile ilişkilendirebiliriz . E{\ displaystyle E}τ{\ displaystyle \ tau}ω(τ){\ displaystyle \ omega (\ tau)}δ{\ displaystyle \ delta}τ{\ displaystyle \ tau}E{\ displaystyle E}δ{\ displaystyle \ delta}E{\ displaystyle E}ι(δ){\ displaystyle \ iota (\ delta)}δ{\ displaystyle \ delta}

Daha sonra bulanık topoloji hakkında daha karmaşık kavramlar sunabiliriz.

Süreklilik

Bu nedenle, bir işlev, ancak ve ancak varış kümesinin bulanık bir açılma görüntüsünün, hareket kümesinin bulanık bir açık olması durumunda bulanık süreklidir . Sabit fonksiyonlar, ancak ve ancak başlangıç ​​uzayının bulanık topolojisi, sabit üyelik fonksiyonları tarafından tanımlanan tüm bulanık açıklıkları içeriyorsa bulanık süreklidir.

Kompaktlık

Alışılmış topolojik nosyona benzer şekilde, bulanık bir topolojik uzay, eğer, bulanık açıklıklar ile herhangi bir örtüşmeden sonlu bir örtüşme çıkarabilirsek , kompakttır . Öte yandan, bir bulanık sürekli uygulamanın kompakt görüntüsü kompaktsa , Tychonoff'un teoremi yalnızca sınırlı bir sürümü kabul eder: yalnızca bulanık topolojideki kompaktların bitmiş ürünü kompakttır. Daha genel olarak, ya da bir tam dağıtım ve komplemente kafes maksimum elemanın 1 veya bir ana sayısı ve her iki L-bulanık topolojisinde tabletlerin, bir aile kardinal . O halde, ürünü L-bulanık çarpım topolojisi için kompakttır, ancak ve ancak 1 aşağıdaki özelliği sağlarsa: kesinlikle 1'den küçük olan herhangi bir öğe ailesi için , kesinlikle 1'den küçüktür (Tychonoff'un L-bulanık topolojisi için teoremi). Durumda olağan topoloji veren bu tesis, herhangi kardinal için doğrulanır ve tabletlerin herhangi bir ürün kompakt. Ancak , bulanık topoloji verilirse , özellik yalnızca sonlu kardinaller için doğrulanır. L{\ displaystyle L}α{\ displaystyle \ alpha}(Xben)ben∈ben{\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ I’de}}ben{\ displaystyle I}α{\ displaystyle \ alpha}Xben{\ displaystyle X_ {i}}(-deben)ben∈ben{\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ I’de}}L{\ displaystyle L}sup{-deben,ben∈ben}{\ displaystyle \ sup \ {a_ {i}, i \ in I \}}L={0,1}{\ displaystyle L = \ {0,1 \}}α{\ displaystyle \ alpha}L=[0,1]{\ displaystyle L = [0,1]}

Lowen, bulanık topolojide kompaktların başka bir tanımını önerdi. Aslında, bulanık topoloji tüm sabit üyelik işlevlerini içeriyorsa, önceki anlamda bir kompakt yoktur: işlevler öyledir ki bu işlevler , bu nedenle bu işlevler, alanın örtüşmesini tanımlar, ancak tamamlanmış bir gizli kapak yoktur. Herhangi bir sabit üyelik işlevi için , her şey ve herhangi bir bulanık açık aile öyle ki , öyle sonlu bir alt aile varsa, Lowen'in anlamında bulanık topoloji için bir boşluk kompakttır . Bu tanımla, olağan bir topoloji ile sağlanan bir uzay , ancak ve ancak tarafından üretilen bulanık topoloji ile sağlanmışsa kompakttır ve kompakt uzayların herhangi bir ürünü kompaktsa (Tychonoff'un Lowen tarafından sağlanan bulanık topoloji teoremi). μben=benben+1{\ displaystyle \ mu _ {i} = {i \ over i + 1}}⋁ben∈DEĞİLμben=1{\ displaystyle \ bigvee _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mu _ {i} = 1}E{\ displaystyle E}ν{\ displaystyle \ nu}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}(μben)ben∈ben{\ displaystyle (\ mu _ {i}) _ {i \ I’de}}⋁ben∈benμben≥ν{\ displaystyle \ bigvee _ {i \ I} \ mu _ {i} \ geq \ nu}J⊂ben{\ displaystyle J \ alt küme I}⋁ben∈Jμben≥ν-ϵ{\ displaystyle \ bigvee _ {i \ in J} \ mu _ {i} \ geq \ nu - \ epsilon}τ{\ displaystyle \ tau}ω(τ){\ displaystyle \ omega (\ tau)}τ{\ displaystyle \ tau}

Son olarak, Tychonoff'un L-bulanık topoloji teoreminin ve Tychonoff'un Lowen'in anlamında bulanık topoloji teoreminin, her zamanki Tychonoff teoremi gibi, seçim aksiyomuna eşdeğer olduğunu gösteriyoruz .

Notlar ve referanslar

1. İngilizce'de: "Bulanık kümeler". Bulanık setler aynı zamanda Claude Ollier'ın bir romanının başlığıdır .
2. LA Zadeh, Bulanık kümeler , Bilgi ve Kontrol 8 (1965) 338-353
3. A. Kaufmann Mühendislerin kullanımı için bulanık alt kümeler teorisine giriş , Cilt. 1 Temel teorik öğeler , Masson, Paris 1977, ( ISBN  2225 45804 9 ) s . 31
4. CL Chang, Bulanık topolojik uzaylar , J. Math. Anal. Appl. 24 (1968) 182-190
5. JA Goguen, Bulanık Tychonoff teoremi , J. Math. Anal. Appl. 43 (1973) 734-742
6. Stephan C. Carlson, Bulanık Tychonoff teoremi arayışı , Amer. Matematik. Aylık 115 (2008) 871-887
7. R Lowen, Bulanık topolojik uzaylar ve bulanık kompaktlık , J. Math. Anal. Appl. 56 (1976) 621-633

Ayrıca görün

• Bulanık mantık
• Bulanık aritmetik
• Prototip teorisi
• Olasılıklar Teorisi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">