Ayakkabı bağı (matematik)

In matematik özellikle, karmaşık analiz ve topoloji , bir dantel bir "döngü" modellemesidir. Bu bir olan sürekli ve kapalı yol onun uçları karıştı yani. Örneğin , Öklid düzlemindeki her daire bir danteldir.

Tanımlar

Let bir olduğunu topolojik uzay . $X$

Tanım 1:

Biz diyoruz dantel üzerinde herhangi sürekli bir uygulama gibi . $X$ ${\ displaystyle \ gama \ ,: \, [0,1] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ gama (0) = \ gama (1)}$
Diğer bir deyişle, bir dantel ilgili a, yol üzerinde bunun iki ucu ( başlangıç noktası ve bir bitiş noktası ) aynıdır. $X$ $X$

Tanım 2:

Biz diyoruz dantel üzerinde herhangi sürekli bir uygulama solucanlar , ifade eder birim çember . $X$ $S ^ {1}$ $X$ $S ^ {1}$ ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} \ orta | z | = 1 \}}$
S 1 olarak görülebilir bölüm arasında yaklaşık 1 0 tanımlayarak. $[0.1]$

Dantel tüm kümesi X denir döngü alanı içinde X .

In karmaşık analizde , biz de "düzeltilebilir eğrileri" dir dantel ilgilenen edilir

Bir döngü f olduğu söylenir basit eşitlik zaman f ( a ) = f ( b ) bu da ima bir = b , ya da . Sezgisel olarak, bu, dantelin yalnızca bir ilmek çizdiği anlamına gelir. Çokgen veya sınıf döngüleri de tanımlayabilirsiniz (bkz. Yollar ). Terimleri basit sapma ve Ürdün eğrisi eşanlamlıdır. ${\ displaystyle \ {a, b \} = \ {0.1 \}}$ $C ^ k$

Karmaşık düzlemdeki sapma indeksi

Bu durumda , bir sapmanın indeksini bir noktaya göre tanımlayabiliriz : bu nokta etrafında sapma tarafından yapılan dönüşlerin sayısına ( göreceli tamsayı ) karşılık gelir . ${\ displaystyle X = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I} (\ gama, z_ {0})}$ $\gama$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C} \ smallsetminus \ gamma ([0,1])}$

Bunu hesaplayarak elde edebiliriz:

{\ displaystyle \ operatorname {I} (\ gamma, z_ {0}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {\ mathrm {d} z} { z-z_ {0}}}}

Ayrıca görün

Homotopi
Yaylara göre bağlantı
Basit bağlantı
Dantel alanı
Temel grup
Sapma serbest (giriş)
Karmaşık analiz | Cauchy integral teoremi | Kalıntı teoremi

Notlar

bir eğri olan doğrultulabilir ise çokgenler yazılıdır eşit sınırlı bir uzunluğa sahiptir. " Bir yayın uzunluğu ".