Levy yasası

Lévy dağılımı
Olasılık yoğunluk farklı değerleri için c .
Dağılım fonksiyonu farklı değerleri için c .
Ayarlar	μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs>0{\ displaystyle c> 0 \,}
Destek	x∈]μ,+∞[{\ displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
Olasılık yoğunluğu	vs2π⋅1(x-μ)3/2e-vs2(x-μ){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
Dağıtım işlevi	erfvs vs2(x-μ){\ displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \!}
Umut	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Medyan	vs/2(erf-1(1/2))2{\ displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} için μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Moda	vs3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} için μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Varyans	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Asimetri	tanımlanmamış
Normalleştirilmiş basıklık	tanımlanmamış
Entropi	1+3γ+ln⁡(16πvs2)2{\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
Moment üreten fonksiyon	tanımlanmamış
Karakteristik fonksiyon	ebenμt--2benvst{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}

Gelen olasılık teorisi ve istatistik , Lévy'nin kanunu matematikçi adını, Paul Levy , bir olan , sürekli olasılık yasası . Gelen fiziği , daha doğrusu içinde spektroskopi , bu adını taşıyan bir Waals der van profili ve belli profilini tarif eder spektral çizgilerinin .

Bu yasa iki parametreye bağlıdır: desteği kaydıran bir konum parametresi ve bir ölçek parametresi . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}[μ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [} vs{\ displaystyle c}

Eğer X bir Lévy, not şöyle: . X∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}

İle Cauchy kanun ve normal bir hukuk , bu evrişimle kararlı olmak ve bir sahip üçten biridir analitik expressible olasılık yoğunluğu .

Özellikler

Olasılık yoğunluğu

Olasılık yoğunluk Lévy'nin kanunla verilir:

f(x;μ,vs)={vs2π1(x-μ)3/2e-vs2(x-μ) Eğer x>μ0 değilse{\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ begin {case} \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {aksi takdirde }} \ end {vakalar}}}

burada bir durum parametresi ve bir ölçü parametresi . Tüm sabit yasalar gibi , değişkenin değişmesinden elde ettiğimiz yoğunluk ile tanımlanan standart bir yasa biçimi vardır : ifadesinde . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}vs>0{\ displaystyle c> 0}f(x;0,1){\ displaystyle f (x; 0,1)}y=x-μvs{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}f(x;μ,σ){\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma)}

Lévy yasasının aşağıdaki formülle ifade edilen ağır bir kuyruğu vardır :

f(x;μ,vs)∼x→∞vs2π 1x3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ underet {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}

Bu özellik, yoğunluğun bir log-log kıyaslamasındaki temsili ile gösterilmektedir .

Dağıtım işlevi

Dağılımı fonksiyonu Lévy'nin kanunla verilir:

F(x;μ,vs)={erfc(vs/2(x-μ)) Eğer x>μ0 değilse{\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ başlar {vakalar} \ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ sol ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ sağ) ve {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {aksi halde}} \ end {vakalar}}}

burada erfc olan tamamlayıcı hata fonksiyonu .

Karakteristik fonksiyon

Karakteristik fonksiyon Lévy'nin kanunun geçerli:

φ(t;μ,vs)=ebenμt--2benvst.{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}

Bu karakteristik işlevi daha klasik kararlı yasalar biçiminde yazabiliriz:

φ(t;μ,vs)=ebenμt-|vst|1/2 (1-ben işaret(t)).{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {işaret}} (t))}. }

Anlar

For n inci zaman Levy'nin yasanın resmen verilir: μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}

mdeğil =def vs2π∫0∞e-vs/2xxdeğilx3/2dx.{\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Bu integral tüm n > 0 için farklıdır , bu nedenle Lévy yasasının momentleri tanımlanmamıştır. Moment kavramı resmi ile verilir:

M(t;vs) =def vs2π∫0∞e-vs/2x+txx3/2dx.{\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

İntegral , sıfıra yakın herhangi bir aralıkta ıraksar ve dolayısıyla tanımsızdır, bu nedenle moment üreten fonksiyon tanımsızdır. t>0{\ displaystyle t> 0}

Diğer kanunlara bağlantılar

• Eğer öyleyseX∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}kX+b∼Levy(kμ+b,kvs){\ displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
• Eğer öyleyse ( ters gama yasası )X∼Levy(0,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Inv-Gamma(12,vs2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
• Lévy yasası, bir V tipi Pearson fonksiyonunun özel bir durumudur .
• Eğer ( normal dağılım ) o zamanY∼Normal(μ,σ2){\ displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}(Y-μ)-2∼Levy(0,1/σ2){\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
• Eğer öyleyseX∼Normal(μ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}(X-μ)-2∼Levy(0,σ){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
• Eğer o zaman ( stabil kanunu )X∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}X∼Kararlı(1/2,1,vs,μ){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Kararlı}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}
• Eğer öyleyse ( ters yasa-χ² ölçek değiştirdi)X∼Levy(0,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Ölçek-inv-χ2(1,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Ölçek-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
• Eğer öyleyse ( katlanmış normal dağılım )X∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}(X-μ)-12∼Katlanmış Normal(0,1/vs){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}

Referans

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı "  Lévy dağılımı  " ( yazarların listesini görmek ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">