In matematik ve özellikle de genel topoloji , bir açık kümesi , aynı zamanda bir adlandırılan açık kısmı bir, daha sık veya açık bir olan alt küme a topolojik uzay onun her yerine içermiyor sınır . Açık, bir topolojik uzayın temel unsurudur.
İlgili alan türüne bağlı olarak birkaç açıklık tanımı vardır. Buradaki tanımı en genel durum için, yani topolojik uzaylar için kullanıyoruz. Metrik uzaylar , normlu vektör uzayları veya diğerleri gibi topolojik uzayların alt tipleri için daha açık spesifik tanımlar mevcuttur . Ancak bu tanımlar, bu genel tanımla tutarlı kalmaktadır.
Bir üzerinde grubu E , bir topoloji tanımlayabilir T kümesi olarak parçalar arasında E aşağıdaki üç özelliklere uyan:
Daha sonra, tanımı gereği, bir alt-kümesi , U ve E bir açık E topolojisi için T ancak ve ancak u ait T (topoloji izler T açıklıklarının grubu olarak tanımlanabilir E birlikte T ).
En sık incelenen topolojik uzaylar çeşitli ek yapılarla sağlanır:
Çizginin veya düzlemin açık bir çizgisi, aşağıdaki karakteristik özelliği sunan bir alt kümedir: bu alt kümenin herhangi bir noktasını başlangıç noktası olarak seçerek, etrafındaki tüm noktalar, çok uzaklaşmamak koşuluyla hala bu alt kümede bulunur. Bu, bu noktanın, bu alt kümeye ait olmayan tüm noktalardan yeterince uzak olduğu veya yine, bu nokta ile alt kümenin tamamlayıcısı arasında her zaman sıfır olmayan bir mesafe olduğu anlamına gelir (alt kümeye ait olmayan noktalar) . Bu, bir açıklığın sınırını içermediği fikrini yansıtır.
Misal Grubu ℝ olarak gerçek sayılar , aralık X =], 0, 1 [reals grubu demek olduğunu x 0 <örneğin x <1, açıktır.Hattın açıklıkları kümesi (sırasıyla düzlemin), hattın topolojisi (sırasıyla düzlemin topolojisi ) olarak adlandırılır . Hattın açıklıklarının boş küme ve açık aralıkların sonlu veya sonsuz birlikteliği olan kümeler olduğunu gösterebiliriz.
Bu sezgisel açık kavramını, bir d mesafesini , yani bir metrik uzayda tanımlayabileceğimiz herhangi bir E uzayına genelleyebiliriz . Bu alanda, bir açık bilya merkezi x ait E ve yarıçapı r > 0 noktalarına kümesidir E mesafesi x kesin daha azdır r :
.Eğer S bir parçası olan E , bir nokta söylenir X olan iç için S bir varsa açık top merkezli (yarıçap> 0) x içerdiği S .
Bir dizi içinde U alanı noktalarının S herhangi bir noktada elemanının bahsedilen zaman açılır u içinde olduğuna U .
Bu , eğer x noktalarının her biri için x'e yeterince yakın noktalar içeriyorsa, U'nun E'nin açık olduğu anlamına gelir : açıkta kalırken her noktayı çevreleyebiliriz, dolayısıyla U'nun hiçbir noktası " kenarda" olmaz. "bir U .
Açık bir topun da açık olduğunu hemen fark ederiz. Bu nedenle "açık top" adı, açık tanımıyla tutarlıdır.
Ayrıca:
Bu E açıklıkları kümesine metrik uzayın topolojisi ( E , d ) denir .
Bir vektör uzayı e ait bir boyut , bir fazla topolojik alan K a, kurallı topolojisi : yapar (en açık olan) kaba topolojisi olan sürekli bir doğrusal biçimini (doğrusal fonksiyonu E olarak K ). Böylelikle, bu topoloji için , doğrusal bir formla ve sonlu kesişimler ve bu tür kümelerin birleşimi ile bir K açıklığının herhangi bir karşılıklı görüntüsü açılır.
ℝ n için , açık bloklar tarafından üretilir: açık olanlar, açık aralıklı ürünlerin (muhtemelen sonsuz) birleşmeleridir. Bu açıklıklar metrik uzaydakilerdir (ℝ n , d ).
Bir kümenin bir parçasının açık karakteri, kendimize verdiğimiz topolojiye bağlıdır. Çoğu alanın kanonik bir topolojisi yoktur, ancak çoğu zaman birkaç ilginç topolojisi vardır.
Yeterince ince bir topoloji için herhangi bir küme açıkken, önemsiz olmayan bir parça çok kaba bir topoloji için açık değildir .
Örnekler
Gelen cebirsel geometri çeşitli cebirsel boşluklar üzerinde Zariski açıklıklarını tanımlamaktadır. Örneğin :
Açıklıkların sonsuz bir kesişimi, mutlaka açık bir kavşak olmak zorunda değildir. Dolayısıyla, örneğin, olağan topolojisiyle ℝ 'de, tüm açık aralıkların kesişimi ] -1 - 1 / n , 1 + 1 / n [, n sıfır olmayan doğal tamsayı için, segment [–1, 1] .
E ve F iki topolojik uzay olsun . Bir fonksiyon f arasında S de F olduğu , sürekli ise ters görüntü ile f her açık F açıktır e . Eğer durum bu ise doğrudan resim bir açik E açıktır F , biz söz açık bir uygulama .
Bir topolojik alanı (bir kısmı e , T ) bir kapalı kendi tamamlayıcı ise E ucu açık olan bir. Bir parça hem açık hem de kapalı olabilir ( E ve boş bütün, tanım gereği açık ve birbirini tamamlayıcıdır, dahası her zaman açık ve kapalıdır) veya ne biri ne de 'diğeri.
Bir partinin içiBir topolojik uzayın ( E , T ) herhangi bir S bölümü en az bir açık içerir: boş küme; Biz define iç ve S dahil tüm açık birliği olarak S ve biz dahil Open büyük olduğuna dikkat S .
Bir partinin mahallesiAdı mi civarı kısmı A bir topolojik boşluğunun (boş) E bir kısmı V bölgesinin E açık içeren U içeren A , öyle ki söylemek bir ⊂ U ⊂ V .
Boş olmayan bir kısmın mahalleleri bir filtre oluşturur , yani sonlu sayıda mahallenin kesişimi bir mahalle ve mahalleyi içeren bir bölüm bir mahalledir.
BağlılıkE'nin tek açık ve kapalı kısımları E ise ve set boşsa , bir E alanının bağlı olduğu söylenir . Başka bir deyişle, bağlantılı bir uzayda, açık bir parçanın tamamlayıcısı, parça veya tamamlayıcısı boş olmadığı sürece hiçbir zaman açık değildir.
KompaktlıkBir kısmı bir bir topolojik boşluk, E olduğu söylenir yarı-yoğun bir mesafede ise açık kaplaması arasında A , sonlu bir kaplama elde edilebilir. Ayrılmışsa ( indüklenmiş topoloji için ) kompakt olduğu söylenir .
Genel topolojinin temelleri atılmadan önce, bir topolojinin gerekli aksiyomlarını belirlemek için araştırmalar yapıldı. Bu çalışmanın takibi yoktu.