Weber'in sorunu , yerelleştirme teorisindeki en ünlü sorunlardan biridir . Fermat problemini genelleştirir ve kendisi de çekim-itme problemi ile genelleştirilmiştir.
Fermat sorunu | Weber'in sorunu | Cazibe-itme sorunu | |
---|---|---|---|
Formüle eden | Fermat (1640'tan önce) | Simpson (1750) | Tellier (1985) |
Üçgen probleminin geometrik çözümü | Torricelli (1645) | Simpson (1750) | Tellier (2013) |
Üçgen probleminin doğrudan sayısal çözümü | Tellier (1972) | Tellier (1972) | Tellier (1985) |
Sorunun yinelemeli sayısal çözümü | Kuhn ve Kuenne (1962) | Kuhn ve Kuenne (1962) | Chen, Hansen, Jaumard ve Tuy (1992) |
Üçgen durumunda, Fermat'ın problemi, D ile diğer üç nokta arasındaki mesafelerin toplamı en aza indirilecek şekilde A, B ve C üç noktasına göre bir D noktasının yerleştirilmesinden ibarettir. Bu problem 1640'tan önce Fermat tarafından formüle edildi ve hem yerelleşme teorisinin hem de uzay ekonomisinin gerçek başlangıcı olarak görülebilir . Torricelli , 1645 civarında bu soruna geometrik bir çözüm buldu, ancak 325 yıl sonra, bu sorunun hala doğrudan sayısal bir çözümü yoktu. Kuhn ve Kuenne, 1962'de genel Fermat problemine yinelemeli bir çözüm buldular ve 1972'de Luc-Normand Tellier , Fermat üçgen problemine doğrudan sayısal bir çözüm buldu, bu çözüm trigonometrikti. Kuhn ve Kuenne'nin çözümü üçgen ve üçten fazla çokgen durumları için geçerliyken, Tellier'in çözümü sadece üçgen için geçerlidir; bu, aşağıda açıklanan nedenlerden dolayı.
Weber'in problemine gelince, bu üçgen durumunda, D ile diğer üç nokta arasındaki taşıma maliyetlerinin toplamını en aza indirgemek için A, B ve C üç noktasına göre bir D noktasını yerleştirmekten ibarettir. Bu problem, daha sonra göreceğimiz gibi, hem eşit hem de eşit olmayan çekim güçlerini hesaba katması nedeniyle Fermat sorununun bir genellemesini oluşturur, oysa Fermat'ın sorunu yalnızca sistemin tüm çekici güçlerinin eşit olduğu durumla ilgilidir. . Üçgeni "Weber" problemi formüle edilip ilk kez çözüldü Thomas Simpson 1750 yılında ancak adlandırılmıştır için Alfred Weber Kuhn ve Kuenne yinelenen çözüm 1962'de bulundu ve Tellier de doğrudan çözüm bulundu 1909 popüler, 1972, Weber'in üçgeni sorununa olduğu kadar Fermat üçgeni sorununa da uygulanır; Kuhn ve Kuenne'nin çözümü, üçten fazla kenarı olan çokgenler için de geçerlidir.
En basit bir versiyonda, gözde-itme sorunu üç nokta için A ile ilgili olarak, bir nokta D yerini oluşur 1 , A 2 çekim kuvvetleri gözde A noktalarına tarafından uygulanan böyle bir şekilde ve R 1 ve A 2 , ve İtme R noktasının uyguladığı itme kuvveti birbirini ortadan kaldırır, bu da D noktasının optimal lokalizasyonunu karakterize eder. Bu problem hem Fermat'ın hem de Weber'in probleminin bir genellemesini oluşturur. Üçgen durumunda ilk olarak 1985 yılında Tellier tarafından formüle edilmiş ve çözülmüştür. 1992'de Chen, Hansen, Jaumard ve Tuy, üçten fazla kenarı olan çokgenler için çekim-itme probleminin yinelemeli bir çözümünü buldular.
Torricelli'nin Fermat üçgeni problemine geometrik çözümü iki gözlemden kaynaklanıyor:
İlk gözlemden, optimum durumda AD, BD ve CD hatları arasındaki açıların 360 ° / 3 = 120 ° 'ye eşit olması gerektiğini kanıtlayabiliriz. Torricelli bu sonuçtan şu sonuca varmıştır:
Simpson çözüm "Weber" sorununa Fermat sorununa Torricelli çözümü doğrudan izler. Simpson ve Weber, toplam taşıma maliyetini en aza indirmeye gelince, A, B veya C çekim noktalarından birine yaklaşmanın faydasının, bu noktalardan veya bu noktalara neyin nakledildiğine ve nakliye maliyetlerine bağlı olduğuna dikkat çekti. orada uygulanabilir. Sonuç olarak, A, B veya C'ye bir mil yaklaşmanın faydası aynı değildir. Değişir. Ayrıca ∠ADB, ∠ADC ve ∠BDC açılarının artık 120 ° olması gerekmez.
Simpson, Fermat üçgeni probleminde olduğu gibi, oluşturulmuş üçgenler ABE, ACF ve BCG'nin eşkenar olduğunu anladı, çünkü Weber üçgen problemi durumunda, oluşturulmuş üçgenler ABE, ACF ve BCG'nin yer tespit sisteminin çeşitli çekim güçleriyle orantılı olması gerekiyordu.
Simpson'ın çözümü şu şekildedir:
Çekme kuvvetlerinin üçgeni ile orantılı üçüncü bir oluşturulmuş üçgenin AC tarafından oluşturulabileceği ve bu oluşturulmuş üçgenden çizilen sınırlı çemberin D noktasında çevrelenen diğer iki çemberi de geçtiği anlaşılacaktır.
Çekim-itme probleminin geometrik çözümüLuc-Normand Tellier , üçgen çekim-itme problemine geometrik bir çözüm buldu. Bu çözüm, Torricelli ve Simpson'ın çözümlerinden önemli ölçüde farklıdır. Bu son iki durumda, kuvvetlerin üçgenleri ABC konum üçgeninin dışında inşa edilirken, burada iki inşa edilmiş üçgen, A 1 A 2 R konum üçgeninin üzerine yerleştirilmiştir (burada A 1 ve A 2 , iki çekim noktasıdır. ve R bir itme noktasıdır).
Çözüm şu gerçeği ile karakterize edilir:
Açıktır ki, bu çözüm yalnızca üç kuvvetten hiçbiri baskın değilse (bir kuvvet, “büyüklüğü” diğer iki kuvvetin büyüklüklerinin toplamından büyükse baskındır) ve açılar uyumluysa uygulanabilir. Aslında, belirli durumlarda, hiçbir kuvvet baskın olmasa bile, sorunun açıları uyumsuz olabilir; o zaman en uygun konum, en büyük çekim gücünü uygulayan noktadır.
Fermat ve Weber'in üçgen problemlerinin trigonometrik çözümü332 yıldan fazla bir süre, Fermat üçgeni probleminin ilk formülasyonunu ve bu probleme yinelemeli olmayan sayısal bir çözümün keşfini ayırır. Bu, tüm bu zaman boyunca veya neredeyse, bu sorunun geometrik bir çözümü olduğu için, bu daha da şaşırtıcıdır. İki senaryonun incelenmesi, bunun neden böyle olduğunu anlamamızı sağlar. Klasik durumda, optimal çözüm bulunduğunda, altı açı ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 ve ∠6, Fermat ve Weber problemlerini karakterize eder; bu açılar, konum üçgeni ve bu üçgenin üç köşesine işaret eden üç vektör. Bu klasik durumu inceleyerek, altı bilinmeyen (yani ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 ve ∠6 açıları) ve altı bilinen değeri (yani üç açı) içeren aşağıdaki altı denklemi kolayca yazabiliriz. Lokalizasyon üçgeninin ∠A, ∠B ve ∠C'si, verilen açıları ve A, B ve C çekim noktalarına doğru yönlenmiş üç vektörün oluşturduğu ∠α A , ∠α B ve ∠α C açıları değerler yalnızca A, B ve C çekim noktalarına doğru çeken üç çekim kuvvetinin göreceli büyüklüğüne bağlıdır, üç çekim kuvveti de verilmiştir):
∠1 + ∠2 = ∠C;
∠3 + ∠4 = ∠A;
∠5 + ∠6 = ∠B;
∠1 + ∠6 + ∠α A = 180 °;
∠2 + ∠3 + ∠α B = 180 °;
∠4 + ∠5 + ∠α C = 180 °.
Ne yazık ki, altı bilinmeyen içeren bu altı denklem sistemi belirsizdir ve bu, doğrudan sayısal çözüm arayışında büyük bir engel teşkil etmektedir. İkinci durum, bu sistemin denklemlerinin neden gereksiz olduğunu açıklar. Bu durum, üç vektörün ortak bir kökene sahip olmadığı duruma karşılık gelir. Böyle bir durumda, ikinci durumda yazdığımız altı denklemin hala geçerli olduğunu, ikinci durumda ise, üçgenin içinde bir "delik" oluşması nedeniyle optimum lokalizasyon P'nin ortadan kalktığını gözlemliyoruz. . Aslında, Tellier'in gösterdiği gibi, bu üçgen delik, Simpson'un geometrik çözümünde oluşturulan kuvvet üçgenleriyle tamamen aynı oranlara sahiptir.
Bu üçgen deliğin olası varlığının, yukarıda yazılan sistemin denklemlerinin fazlalığını açıkladığını not ettikten sonra, bu sisteme üçgenin içinde böyle bir üçgen delik olmaması gereken yedinci bir gerekliliği eklemek için bir çözüm bulmaktır. . Başka bir deyişle, konum üçgeninin köşelerine işaret eden üç vektörün başlangıç noktaları çakışmalıdır.
Kısacası, Fermat ve Weber'in üçgenlerinin problemlerinin trigonometrik çözümü üç adımdan oluşur.
Luc-Normand Tellier, Fermat-Weber sorununu itme güçleri durumuna genişletti. A1 w ve A2 w olmak üzere iki çekim kuvveti ve bir itme kuvveti R w içeren bir A 1 A 2 R üçgenini varsayalım . Önceki durumda olduğu gibi bu durumda, üç vektörün başlangıç noktalarının çakışmaması düşünülebilir, bu da önceki ile aynı sorunu ortaya çıkarır. Bu sorunun trigonometrik çözümü aşağıdaki adımları içerir:
Kuvvet sayısı üçü aştığında, konum poligonunun geometrisini hesaba katmadan kuvvetleri ayıran açıları belirlemek artık mümkün değildir. Geometrik ve trigonometrik yöntemler bu durumda uygulanamaz. Böyle bir durumda yinelemeli optimizasyon yöntemleri kullanılmalıdır. Kuhn ve Kuenne, üçten fazla çekici gücü içeren Fermat problemlerinin ve Weber problemlerinin çözülmesine izin veren, ancak çekim-itme problemleri durumunda uygulanamayan birini tanımladılar. İkinci durumda, kuvvetlerin sayısı üçü aşarsa, Chen, Hansen, Jaumard ve Tuy tarafından geliştirilen algoritmaya başvurmak gerekir.
Somut ekonomik alanda, itme güçleri her yerde mevcuttur. Arazi değerleri, hem kentsel hem de kırsal arazi değerleri teorisinin çoğu aşağıdaki gibi özetlenebilecek ölçüde onunla özellikle ilişkilidir.
Tek bir çekim noktasının olduğu (ister şehir merkezi ister tarımsal alanda bir pazar olsun) ve tüm ekonomik birimlerin (üreticiler veya tüketiciler) bu noktadan itibaren çekim gücüne maruz kaldığı bir alanda, kendilerini merkeze yerleştirmek isteyen çeşitli teklif sahipleri, doğal olarak, sistemin benzersiz çekim noktasını arazi değerleri açısından bir itme noktasına dönüştüren arazi değerlerinin ortaya çıkmasına neden olur. İtici kuvvetlerin bu ortaya çıkışı, optimum durumda, her ekonomik unsurun merkez tarafından üzerlerine uygulanan itme kuvveti ve çekim kuvvetinin birbirini iptal ettiği yerde konumlanacağı gerçeğiyle karakterize edilen bir mekansal-ekonomik dengenin elde edilmesini sağlar. .
Çekicilik-geri çekilme sorununun formülasyonu , 1990'larda gelişen ve 2008'de Paul Krugman'a “ ekonomi alanında Nobel Ödülü ” kazandıran geniş bir araştırma akışı olan Yeni Coğrafi Ekonomi'nin ortaya çıkışından önce geldi . Ottaviano ve Thisse, bunu bu akımın başlangıcı olarak görüyor. Aslında, çekim ve itme güçleri kavramı, New Geographic Economy tarafından geliştirilen yığılma ve dağılma güçleriyle yakından ilgilidir.