In matematik , harmonik serisi bir olan dizi ait gerçek sayılar . Bu dizisidir terslerinin ait sıfırdan doğal tamsayılar . Bu benzerliğiyle adını aldığı harmonik ortalama aynı şekilde, aritmetik ve geometrik dizi ile karşılaştırılabilir aritmetik ve geometrik yollarla .
Referans serisi olarak kullanılan daha geniş Riemann serisi ailesinin bir parçasıdır : Bir serinin doğası genellikle onu bir Riemann serisiyle karşılaştırarak ve karşılaştırma teoremleri kullanılarak belirlenir .
Harmonik serinin genel terimi ( u n ) şu şekilde tanımlanır:
.Adı verilen n -inci harmonik sayısı (geleneksel olarak ifade H , n ) n, bu nedenle eşit olan harmonik serisi, kısmi toplamı inci
.Harmonik serinin ilk kısmi toplamlarını hesaplayarak, elde edilen sayı dizisinin arttığı , ancak yavaş büyüdüğü görülüyor : yakınsak bir seri olduğuna inanılabilir .
Değer n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
H n'nin yaklaşık değeri | 1 | 1.5 | 1.8 | 2.1 | 2.3 | 2.5 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.9 | 3.0 | 3.1 | 3.2 | 3.25 | 3.32 | 3.38 | 3.44 | 3.49 | 3.55 | 3.60 |
Aslında harmonik seri ıraksar , kısmi toplamları + ∞ yönündedir .
Değer n | 10 | 10 2 | 10 3 | 10 4 | 10 5 | 10 6 | 10 7 | 10 8 | 10 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
H n'nin yaklaşık değeri | 2.9 | 5.2 | 7.5 | 9.8 | 12.1 | 14.4 | 16.7 | 19.0 | 21.3 |
Yukarıdaki tabloda, her biz çarpma değeri olarak n , 10 ile, biz bir sabit eklemek gibi görünüyor , H , n 2.3 ≃ mertebesinde, ln (10) . Bu bariz bir davranıştır logaritmik olarak n . Daha ileri bir asimptotik çalışma yaparak elde ettiğimiz şey budur.
Harmonik serilerin diverjansının ilk gösterimi, Questiones super geometriam Euclidis'te (1360) yayınlanan Nicole Oresme'den kaynaklanmaktadır . Şunları fark etmekten ibarettir:
H 4 = 1 +12 + (13 + 14) ≥ 1 + 12 + (14 + 14) = 1 + 12 + 12 H 8 = 1 +12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ≥ 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12ve benzeri, H bulunuyor süresiz artan 2 nin kuvveti indeksi.
Ayrıca ( H n ) dizisinin + ∞ olma eğiliminde olduğunu tüm n , H 2 n - H n ≥ için not ederek gösterebiliriz.12dolayısıyla bu devam filmi Cauchy'nin devamı değildir .
Ayrıca harmonik seriyi iyi seçilmiş bir teleskopik seriye benzetebiliriz.
.O zaman , pozitif terimlerle ıraksak bir serinin genel terimidir, dolayısıyla karşılaştırmaya göre, harmonik seri de ıraksar.
Sonucu, seri-integral karşılaştırma yöntemini kullanarak da gösterebiliriz (bu, dahası, teleskopik serilerin “akıllı” seçiminde gizli olan bir şeydir).
Asimptotik gelişimin tüm terimleri, örneğin seri-integral karşılaştırma yöntemiyle elde edilebilir .
Ters fonksiyonun azalmasıyla bağlantılı aşağıdaki çerçeveyi kullanıyoruz
Sol eşitsizliği 1'den N'ye toplayarak ve sağdaki için 2'den N'ye toplayarak ve 1 ekleyerek şu sonuca varıyoruz:
Daha sonra, iki üye hesaplayarak ve her ikisi de işaret ederek eşdeğer için ln N , elde edilir:
( H n - ln n ) dizisi , geleneksel olarak Yunan harfi γ ile belirtilen ve Euler-Mascheroni sabiti olarak adlandırılan sonlu bir limiti kabul eder . Bu nedenle Euler formülüne sahibiz :
.Euler sabitinin ondalık açılımının ilk altı basamağı :
Yöntem, makale integral serisi karşılaştırmasında detaylandırılmıştır ve diğer serilere genelleştirilmiştir ( Euler-Maclaurin formülü elde edilerek ); gelişmenin ilk terimleri
Genel bir terimdir ( u , n ) ait harmonik dizi alternatif ile tanımlanır
Bu nedenle harmonik serinin bir çeşididir. İşaretlerin birbirini takip etmesi her şeyi değiştirir, çünkü bu seri birbirini izleyen serilerin yakınsama kriteriyle yakınsamaktadır . Yakınsamasını tekrar kanıtlamak ve toplamını belirlemek için yukarıdaki Euler formülünü kullanabiliriz :
.Sadece ondalık harmonik sayılar olan H 1 = 1 , H 2 = 1.5 ve H 6 = 2.45 .
Herhangi biri için asal sayı p ≥ 5 , pay arasında , H p -1 olan bölünebilir ile p 2 .
Daha fazla özellik için ayrıntılı makaleye bakın.
Harmonik seri , yavaş sapmasının mantıksız ve hatta paradoksal sonuçlara yol açtığı birçok eğlence amaçlı matematik probleminde ortaya çıkar.
Olarak blok istifleme sorunu , dikkatli bir hesaplama gösterir geniş bir şekilde istediği, elde edilen asılı olarak bir çıkıntı almak için aynı domino oluşan bir kemer istiflenmesi teorik olarak mümkün olduğu , uzunluğun 2 domino inci harmonik sayı
Benzer şekilde, lastik bant üzerindeki karınca probleminde, karınca dakikada bir santimetre hızla ilerlerken ve başlangıçta bir metre olan elastik, saniyede bir metre gerildiğinde, karınca yine de sonunda diğer uca ulaşacaktır: şeridin n saniyede kat ettiği kesri 'dir ve seri ıraksadığından, bu sayı zorunlu olarak 1'i aşacaktır (ancak, geçiş süresi orantısız olarak uzundur, e 6000 saniye mertebesindedir , yani 10 2000 yıldan fazladır ).
Harmonik seri ayrıca , bir cipin yolda yakıt biriktirme olasılığına sahip bir çölü geçmesi gerektiği çöl geçiş probleminde de ortaya çıkar ; gidilebilecek mesafe istediğiniz kadar uzundur, ancak tortu sayısı (ve tüketilen yakıt miktarı) mesafe ile katlanarak artar.