katı açı

katı açı Katı açı, bir koni tarafından (pembe renkte) kesilen kürenin alanı ile yarıçapının karesi arasındaki orandır. Anahtar veri

SI birimleri	steradian ( sr )
Boyut	$1$
Doğa	Boyut skaler geniş
Her zamanki sembol	$\Omega$

Gelen matematik , geometri, ve fizik , bir katı açı bir üç boyutlu analogudur düzlem ya da iki boyutlu bir açı . İlk önce , mutlaka dairesel olması gerekmeyen bir koni ile sınırlanan alanın bir bölümünü belirtir . Koninin tepesi, katı açının tepesidir. Katı açı, en yaygın anlamıyla, uzayın bu bölümünün ölçüsünü de belirtir. Onun birimdir steradyan , bir sr kaydetti türetilmiş birim gelen Uluslararası Birim Sistemi .

Tanım

Düzlem açısı arasındaki oran olarak, iki boyutlu bir uzayda tanımlanır uzunluğu yakalanan yay ve dairenin yarıçapı.

Katı açısı, üç boyutlu uzayda elde edilen oran olarak benzer şekilde tanımlanır alan yakalanan dairesel kapağın ve kareli kürenin yarıçapı.

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {\ matematik {S}} {\ matematik {R} ^ {2}}}}

İle:

$\Omega$ : steradyan cinsinden katı açı (sr);
$S$ : kürenin metrekare cinsinden kesilen bölümünün alanı ( m 2 );
$$$ : metre (m) cinsinden kürenin yarıçapı .

Temel katı açı

Sonsuz küçük bir yüzeye karşılık gelen temel katı açı şu şekilde ifade edilir: ${\ displaystyle \ matematik {d} ^ {2} S}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega = {\ frac {{\ overrightarrow {u}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} ^ {2} S}}} {r ^ {2 }}} = {\ frac {{\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {n}}} {r ^ {3}}} \, \ matrm {d} ^ {2} S}

veya:

${\ displaystyle \ matematik {d} ^ {2} \ Omega}$ temel katı açıdır;
${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ matematik {d} ^ {2} S}}}$ olan , normal yüzey elemanı ve norm ; ${\ displaystyle \ matematik {d} ^ {2} S}$
${\ displaystyle {\ overrightarrow {n}}}$ bir birim vektör yüzey elemanının yön veren;
$r$ temel katı açının tepe noktası ile yüzey elemanı arasındaki mesafedir; . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = r \ {\ overrightarrow {u}}}$

integral formu

Bir noktadan bir yüzeyi gördüğümüz katı açı , yüzey integrali tarafından verilir : $S$ $Ö$

{\ displaystyle \ Omega = \ int \! \! \! \! \! \ int _ {S} {\ frac {\ overrightarrow {u}} {r ^ {2}}} \ cdot {\ overrightarrow {\ matematik {d} ^ {2} S}} = \ int \! \! \! \! \! \ int _ {S} {\ frac {{\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {n}}} {r ^ {3}}} \ {\ matematik {d} ^ {2} S}}

Başka bir deyişle, katı açı, alanın göz önünde bulundurulan yüzeyden geçen akışına eşittir . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} / r ^ {3}}$

Küresel koordinatlarda katı açı

Bir tepe noktası ile ilişkili olan katı açı, küresel koordinatlarda etüt genellikle en uygun olanıdır.

Temel katı açı

Yarıçaplı bir küre için , temel katı açı , yükseklik ve azimutun sonsuz küçük açısal değişimlerine karşılık gelen bir temel yüzey elemanı için tanımlanır (diferansiyel hesaplama çerçevesinde, temel yüzey bir düzleme benzetilir): $r$ ${\ displaystyle \ matematik {d} ^ {2} \ Omega}$ ${\ displaystyle \ matematik {d} ^ {2} S}$ $\ teta$ $\ fi$

{\ displaystyle \ matematik {d ^ {2} S} = r \ cdot \ matematik {d} \ teta \ cdot r \ günah \ teta \ cdot \ matematik {d} \ phi = r ^ {2} \ cdot \ sin \ teta \ cdot \ matematik {d} \ phi \ cdot \ matematik {d} \ teta}

nereden :

{\ displaystyle \ matematik {d} ^ {2} \ Omega = \ günah \ teta \ cdot \ matematik {d} \ phi \ cdot \ matematik {d} \ teta}

Bir dönüş konisinin katı açısı

Tepede yarım açılı bir devir konisi olması durumunda , katı açı, küresel koordinatların açısal alanlarında , küre üzerindeki entegrasyon ile hesaplanır : $\alfa$

{\ displaystyle \ Omega = \ int \! \! \! \! \! \ int \ matematik {d} ^ {2} \ Omega = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ matematik {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ günah \ teta \ \ matematik {d} \ teta \ = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ günah \ teta \ \ matematik {d} \ teta = 2 \ pi \ sol [- \ cos \ teta \ sağ] _ {0} ^ {\ alpha} \}

{\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ sol (1- \ cos \ alpha \ sağ)}

Bazı örnekler

Tüm küreyi kesen katı açı 4π sr'dir. Bu nedenle bir yarım küre , 2π sr'lik bir katı açıya karşılık gelir.
1.80 m , Ay ve Güneş'te bir euro sentlik madeni parayı gördüğümüz katı açılar çok yakındır: 6 × 10 -5 sr .
ABC, C'de bir dik üçgen, B'de üçgen düzlemine dik olan bir O noktası, B'den h mesafesinde bir O noktası olsun, o zaman altında O'dan üçgeni gördüğümüz katı açı şuna eşittir: ${\ displaystyle \ alpha - \ arcsin {\ frac {h \ sin \ alpha} {\ sqrt {a ^ {2} + h ^ {2}}}}}$ nerede ve . Altında herhangi bir çokgen gördüğümüz katı açıyı çıkarabiliriz . ${\ görüntü stili a = M.Ö.}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ geniş hat {CBA}}}$

Notlar ve referanslar

José-Philippe Pérez ve Olivier Pujol , Mekanik: Temeller ve uygulamalar - 7. baskı: 320 alıştırma ve çözülmüş problemle , Dunod,3 Eylül 2014, 800 s. ( ISBN 978-2-10-072189-4 , çevrimiçi sunum )
Dikdörtgenin merkezinden yükseltilmiş düzlemine dik bir noktasından bakıldığında doğrudan hesaplama .

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

“İbn el-Heysem: büyüklük olarak katı açı” in Roshdi Rashed , Açılar ve Büyüklük: Öklit Kemaleddin El Farisi için Walter de Gruyter GmbH & Co KG,19 Mayıs 2015( ISBN 978-1-5015-0238-5 , çevrimiçi okuyun )