Bükme (malzeme)

Fizikte ( mekanik ) bükülme , bir nesnenin bir yükün etkisi altında deformasyonudur. Bir eğrilikle sonuçlanır. Bir kiriş durumunda, iki ucunu bir araya getirme eğilimindedir. Bir plaka durumunda, hareketin altında taban tabana zıt iki noktayı bir araya getirme eğilimindedir.

Bükülme testi bir kiriş olduğu mekanik test eğrilme mukavemetini test etmek için kullanılır. Biri " üç nokta  " olarak bilinen bükme ve " dört nokta  " olarak bilinen  bükme kullanır  .

Gelen Isıya dayanıklı , bükme bir levhanın biz aşan istediğiniz bükme olan elastik sınırı kesin olması için, malzemenin deformasyonu ( plastik deformasyon ). Diğer birçok durumda, aksine, parçanın bütünlüğünü korumak için elastik sınırı aşmamak için gerekli koşullar aranır.

Bir kiriş durumu

İçinde bir ışın teorisi , bir kısmı dS ortalama eğrisi ( “ışın yönü”) için bir eğri paralel tarafından üretilen malzemelerin küçük silindirler demek olduğu, lifler düşünün; ortalama eğri, düz bölümlerin (ortalama eğriye dik bölümler) ağırlık merkezlerinden geçer. Fleksiyonun dışına doğru yer alan lifler ekstansiyondadır, çekişe maruz kalırlar . Fleksiyonun içinde bulunan lifler kompresyon halindedir .

Ortalama eğri tarafından üretilen elyafa “nötr lif” denir. Bükülürken uzunluğunu korur.

Daha sonra, aksi belirtilmedikçe, kirişin bükülmeden önce doğrusal olduğunu (ortalama eğri düz bir çizgi oluşturur) ve bölümlerin simetrik olduğunu varsayacağız. Başlangıçta düzlem eğimini, yani kirişin simetri düzleminde hareket eden yükleri ele alacağız.

Deformasyon

Nedeniyle Bernoulli hipotezi , (deformasyon esnasında, düzlem bölümler ortalama elyaf dik ortalama elyafa düzlemi ve dik kalır)

• nötr lif sıfır uzamaya sahiptir;
• kıvrımın dışındaki lifler gerilir;
• bükülme içindeki lifler sıkıştırılır.

boylamsal gerinim ε, y'nin bir fonksiyonu olarak doğrusal olarak değişir .

Dahası, düz bir kiriş göz önüne alındığında, u y ( x ) sapmasını , yani eğilme nedeniyle apsis x'de bulunan ortalama eğri noktasının dikey yer değiştirmesi olarak adlandırırsak, yarıçapın genel tanımına göre elde ederiz . eğrilik  :

γ=1ρ≃d2senydx2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ rho}} \ simeq {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} }.

Grafik u y ( x ) aynı zamanda “kiriş deformasyonu” adı verilen, ortalama eğrisinden şeklini verir.

Gösteri

Işının sonsuz küçük bir elemanını düşünürsek, o zaman lifler aynı d angle açısına sahip eşmerkezli çemberler oluşturur. Ρ, nötr fiberin eğrilik yarıçapı ise ( y = 0), bir ordinat üzerinde bulunan bir yayın uzunluğu l , y'ye eşittir :

l=(ρ-y)⋅dθ=l0⋅(1-yρ){\ displaystyle l = (\ rho -y) \ cdot \ mathrm {d} \ theta = l_ {0} \ cdot \ sol (1 - {\ frac {y} {\ rho}} \ sağ)}

Eğer l  0 liflerin başlangıç uzunluğudur. Boyuna deformasyonun

ε=Δll0=-yρ{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta l} {l_ {0}}} = - {\ frac {y} {\ rho}}}

y'nin bir fonksiyonu olarak doğrusal olarak değişir .

Uyum çabaları

Kohezyon kuvvetlerini ele alırsak (Kirişlerin Teorisi ve Uyum torsörü makalelerine bakın ), eğilme M f y ve M f z eğilme momentlerinden kaynaklanır .

Burada sağdaki çabalar konvansiyonunu ele alacağız.

Kesme kuvvetinin değerinin, dikkate alınan noktanın x konumuna kıyasla eğilme momentinin türevi olduğunu fark ediyoruz :

T=-dMfzdx{\ displaystyle \ mathrm {T} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {d} x}}}.

Eğilme momentlerinin diyagramı füniküler yöntemle oluşturulabilir .

Kısıtlamalar

Düz bir kiriş için normal gerilim

Olumlu bir eğilme momenti M f z durumunda kendimizi konumlandıralım ; düzlemde (G xy ), lifler eşmerkezlidir, merkez O yukarı doğru yerleştirilmiştir. Yayın uzunluğu yarıçapla orantılıdır, yani burada dikkate alınan apsisin bir fonksiyonu olarak doğrusal olarak değişir . Aynı şekilde, bölüme normal gerilim y'ye göre doğrusal olarak değişir ve biri şunu bulur:

σxx=-MfzbenGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y }.

burada I G z , kesitin şekline göre hesaplanan eksenin ikinci dereceden momentidir (G z ).

Gösteri

Liflerin uzunluğu gibi, bağıl uzama ε y ile orantılıdır  :

ε(y)=-yρ{\ displaystyle \ varepsilon (y) = - {\ frac {y} {\ rho}}}

bu nedenle, Hooke yasasına göre, stres de doğrusal olarak değişir:

σxx(y)=E⋅ε(y)=-Eρ⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = \ mathrm {E} \ cdot \ varepsilon (y) = - {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y},

E / ρ miktarı belirlenecek. Küçük bir yüzey elemanı dS, bir dF kuvveti alır.

dF=σxx⋅dS→⋅x→=-Eρ⋅y⋅dS⋅x→{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathrm {F} = \ sigma _ {xx} \ cdot {\ vec {\ mathrm {dS}}} \ cdot {\ vec {x}} = - {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {x}}}.

G (0,0,0) noktasına kıyasla bu kuvvetin dM f z momenti , dolayısıyla ortalama çizgiye ait olan değer:

dM→fz=y→∧dF→=Eρ⋅y2⋅dS⋅z→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {M}}} _ {\ mathrm {f} z} = {\ vec {y}} \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm { F}}} = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {z}}}

Eğilme momenti, tüm bu momentlerden kaynaklanır ve düz bölüme entegre ederek şunu buluruz:

Mfz=Eρ⋅benGz{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}

ile

benGz=∫Sy2⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} = \ int _ {\ mathrm {S}} y ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS}}

Daha sonra elimizde:

Eρ=MfzbenGz{\ displaystyle {\ frac {E} {\ rho}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} }}

dır-dir

σxx(y)=-MfzbenGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y}.

Kırılma riski, kirişin uzatılmış yüzündedir. -V'yi bu yüzde bulunan noktanın koordinatı olarak adlandırırsak, kısıt değer:

σxx m-dex=MfzbenGz⋅V=MfzbenGzV{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} }} \ cdot \ mathrm {V} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {V}}}}}.

I G z / V miktarı "elastik eğilme modülü" olarak adlandırılır ve W el olarak belirtilir . z  :

σxx m-dex=MfzWe´l. z{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {W} _ {\ mathrm {{\ akut { e}} l.} \ z}}}}.

Kiriş simetrikse ve h yüksekliğinde ise ,

V=±h2{\ displaystyle \ mathrm {V} = \ pm {\ frac {h} {2}}}

Malzemenin elastik alanda kalması gerektiği gerçeğini sınır olarak tutarsak, sınırda kalırız.

σ=Re{\ displaystyle \ sigma = \ mathrm {R} _ {\ mathrm {e}}}

burada R, E bir elastik sınır . Maksimum bükülme momenti sınırı bu durumda

Mfmax=Re×We´l. z{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} \, \ max} = \ mathrm {R} _ {\ mathrm {e}} \ times \ mathrm {W} _ {\ mathrm {{\ akut { e}} l.} \ z}}.

Bu, plastik fleksiyon ile karşılaştırmak için kullanılacaktır.

Not Bizi ilgilendiren kısıtın mutlak değeri olduğundan ve her durumda işaret seçilen kurala bağlı olduğundan, genellikle ifadeyi buluruz σxx=MfzbenGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y} Eğimli bir kiriş için normal gerilim

Kirişin ( x , y ) düzleminde bir düzlem eğrisi tarafından oluşturulduğunu ve nötr lifin gerilme sırasında bu düzlemde kaldığını varsayıyoruz . Bu tipik bir kaldırma kancasıdır . Lokal eğrilik yarıçapı (hareketsiz) r ( x ) ile gösterilir .

Düz kirişte olduğu gibi, eğilme momentinin etkisi altında, düz bölümler döner, lifler gerilir veya sıkıştırılır. Ancak önceki durumdan farklı olarak, lifler aynı başlangıç ​​uzunluğuna sahip değildir. Gerilmenin y boyunca dağılımı artık doğrusal değil, şu biçimde hiperboliktir:

σ(y)∝y--der-y{\ displaystyle \ sigma (y) \ propto {\ frac {y-a} {ry}}}.Kesme

Çoğu durumda, eğilme momenti (T, bir kesme kuvvet eşlik Y M f z T z M f y ). Bu cission (τ oluşturur xy T y ve τ xz T z ). Bu kayma gerilmesi, yalnızca çok az başarısızlık riski oluşturur ve bu nedenle genellikle ihmal edilir (Bernoulli modeli).

Gerilmelerin dağılımı tekdüze değildir: serbest bir yüzey üzerindeki gerilim zorunlu olarak yüzey düzlemindedir, bu nedenle dış yüzlerdeki kesilme sıfırdır. Bu nedenle, nötr elyafa yaklaştığımızda artan bir kisyonumuz var. Enine kesitin alanı S ise, maksimum gerilim değerlidir:

• dikdörtgen tam kesitli kiriş  ;τm-dex=32⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}
• dairesel kesitli tam kiriş  ;τm-dex=43⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}
• ince dairesel boru  :;τm-dex≃2⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} \ simeq 2 \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}

S, düz bölümün alanıdır. Bu örneklerde, gerilimin basit kesme durumundan 1.5 ila 2 kat daha fazla olduğunu görüyoruz.

Normal gerilimin sıfır olduğu durumlarda (nötr fiber ile) kesmenin maksimum olduğu ve kesmenin sıfır olduğu yerlerde (dış yüzlerde) normal gerilimin maksimum olduğu not edilir. Bu nedenle, iki kısıtlama arasında bir sinerji yoktur.

Gösteri

İlk iki destek arasına üç noktayı bükme durumunda biri kendini yerleştirir. İki düz yerleştirilen bölümler arasında bir ışın öğesine x ve x + d x arasında ve Y koordinat y 0 ve tabakanın düzeyinde y koordinatı kiriş V alt kirişin genişliği .

Maddenin bu unsuru şunlara tabidir:

• normalden düz bölümlere zorlamak;
• makaslamadan kaynaklanan kuvvet; Bu boyutlar, dikdörtgen bir yüzüne uygulanan l x d x .

Eğilme momenti değiştiğinden, düz bölümlerin her birindeki normal kuvvet farklıdır. Bu nedenle, kesmeyi statiğin temel ilkesine (PFS) göre çıkarabiliriz.

Kesme kuvveti T y , 0 ile kirişin ortası arasında tekdüzedir ve bizde:

Mfz=Ty×x{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} = \ mathrm {T} _ {y} \ kere x}.

Sol yüzdeki kuvvet bu nedenle

F¯1=∫Vy0(-σxx)⋅dS=∫Vy0MfzbenGzy⋅dS=TyxbenGzQ(y){\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {1} = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} (- \ sigma _ {xx}) \ cdot \ mathrm { dS} = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm { G} z}}} y \ cdot \ mathrm {dS} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} x} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm { Q} (y)}

veya

Q(y)=∫Vy0y⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} y \ cdot \ mathrm {dS}}

enine kesitin V ve y 0 arasındaki kısmının statik momentidir .

Sağ yüzdeki kuvvetin değeri:

F¯2=-Ty(x+dx)benGzQ(y0){\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {2} = - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} (x + \ mathrm {d} x)} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0})}.

Ortaya çıkan kuvvet

F¯=F¯1+F¯2=-TybenGzQ(y0)dx{\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} = {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {2} = - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0}) \ mathrm {d} x}.

PFS bu nedenle yazılmıştır:

τxyldx-TybenGzQ(y0)dx=0{\ displaystyle \ tau _ {xy} l \ mathrm {d} x - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0}) \ mathrm {d} x = 0}

dır-dir

τxy=TyQ(y0)benGzl{\ displaystyle \ tau _ {xy} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} \ mathrm {Q} (y_ {0})} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} l}}}.

Bahsedilen bölümler için var:

• Katı dikdörtgen kiriş kesit yüksekliği h ve genişliğinin l  :  ;Q(y)=l2(h24-y2){\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {l} {2}} \ sol ({\ frac {h ^ {2}} {4}} - y ^ {2} \ sağ)}
• yarıçapı kiriş tam daire dilimi, r  :  ;Q(y)=23(r2-y2)3/2{\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {2} {3}} (r ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3/2}}
• ince, daire şeklindeki boru yarıçapı iki silindir ile sınırlanan r ve R: .Q(y)=23(r3-y3){\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {2} {3}} (r ^ {3} -y ^ {3})}

Deformasyonun hesaplanması

Yukarıda gördük:

1. kayma gerinimi ihmal edilir;
2. eğrilik ve eğrilik yarıçapı ρ bükülme momenti M f z , form faktörü I G z ve Young modülü E'nin bir fonksiyonu olarak belirlenir : ρ=1γ=EbenGzMfz{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {M} _ { \ mathrm {f} z}}}} ;
3. u y deformasyonu diferansiyel denkleme göre ρ ve γ ile ilgilidir  : d2senydx2=1ρ=γ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ rho}} = \ gamma}.

Böylece deformasyon çift entegrasyonla belirlenebilir:

γ=d2senydx2=MfzEbenGz{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ matematik {f} z}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}.

Kiriş, aynı malzemeden (E değişmez) tek tip kesitli ise (I G z değişmez), eğilme momentini entegre etmek yeterlidir:

EbenGzγ=EbenGzd2senydx2=Mfz⟹EbenGzseny=∬Mfzdx2+AT⋅x+B{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} \ gamma = \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \ Longrightarrow \ mathrm {E} \ mathrm { I} _ {\ mathrm {G} z} u_ {y} = \ iint \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {A} \ cdot x + \ mathrm {B}}

burada A ve B, sınır koşullarından belirlenen entegrasyon sabitleridir:

• bağlantı noktalarında u y = 0 var;
• gömme noktalarında u ' y = 0;
• problem medyan kesite kıyasla simetrikse , kirişin merkezinde u ' y = 0 olur.

Biri genel olarak u y'nin maksimum değeri, hizmette sınır durumunu belirleyen kirişin "sapması" ile ilgilenir (SLS, kiriş şeklinin işleviyle uyumlu kalması için aşılmaması gereken yükleme değeri) ).

Not Genellikle küfürlü gösterimler buluruz EI G z y  '' = M f z . orada yer değiştirmeyi belirtir. Dahası, tam ifadeler: seny″(x)(1+seny′2(x))3/2=1ρ=γ{\ displaystyle {\ frac {u_ {y} '' (x)} {\ sol (1 + u_ {y} '^ {2} (x) \ sağ) ^ {3/2}}} = {\ frac {1} {\ rho}} = \ gamma} ve bu yüzden EbenGzseny″(x)(1+seny′2(x))3/2=Mfz{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {u_ {y} '' (x)} {\ left (1 + u_ {y} '^ {2 } (x) \ sağ) ^ {3/2}}} = \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}}.

Deformasyon, füniküler yöntemle grafiksel olarak oluşturulabilir .

Büyük deformasyonda bükülme

Eğrilik yarıçapı ρ, bölümün yüksekliğinin h on katından az olduğunda

ρ < h * 10,

varsayımlar artık geçerli değil. Bununla birlikte, şunu düşünürsek:

• düz bölümler düz kalır;
• bölüme normal gerilmeler bölüme paralel gerilimlerden bağımsızdır;

daha sonra bükülme momentinden kaynaklanan normal gerilim olur

σxx=MfzρS+MfzbenGzyρρ+y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ rho \ mathrm {S}}} + {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} y {\ frac {\ rho} {\ rho + y}}}

S, bölümün alanıdır.

Sapma

Saptırılmış bükülme, yüklerin kesiti ikinci dereceden momentin ana ekseni etrafında döndürmediği durumdur; kirişin kesiti ne olursa olsun her zaman en az iki temel ikinci dereceden moment ekseni vardır.

Simetrik kiriş

Simetrik bir kiriş durumunda, vektör eğilme momenti sıfır olmayan iki M f y ve M f z bileşenine ayrıştırılabilir . Biri küçük gerilmelerde kalırsa, sistem doğrusaldır, bu nedenle birinin iki düzlem çarpımının üst üste geldiği düşünülebilir. Normal stres bu nedenle değerlidir

σxx=-MfzbenGzy+MfybenGyz{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} y + { \ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} y}}} z}.

Gerilmenin iptal edildiği düzleme "nötr düzlem" denir.

Simetrik olmayan kiriş

Biz atalet Y ve Z (makalesine bakın ana eksenlerini belirleyen eylemsizlik Moment referansı (G kendimizi koyarak), o zaman önceki duruma gelip x YZ):

σxx=-MfZbenGZY+MfYbenGYZ{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {fZ}}} {\ mathrm {I_ {GZ}}}} \ mathrm {Y} + {\ frac { \ mathrm {M} _ {\ mathrm {fY}}} {\ mathrm {I_ {GY}}}} \ mathrm {Z}}.

İzostatik durumlar

Üç noktalı fleksiyon

Üç noktadan bükme klasik bir mekanik testtir. İki basit destek üzerine yerleştirilen bir kirişin durumunu temsil eder (bir düzlem probleminde bir nokta bağlantısına eşdeğer olan doğrusal doğrusal destekler) ve kirişin ortasına aynı zamanda basit bir temasla uygulanan konsantre bir yüke maruz kalır. Desteklerden biri, yatay olarak hareket etmeyen bir kirişe sahip olmak için genellikle bir pivot olarak modellenir.

Karşıdaki şekilde, kirişin uzunluğu L ve merkezi yük P'dir.

Kesme kuvveti mutlak değerde sabittir: merkezi yükün yarısı P / 2 değerindedir. Işının ortasındaki işareti değiştirir. Eğilme momenti, 0'a eşit olduğu bir uç ile mutlak değerinin PL / 4'e eşit olduğu merkez arasında doğrusal olarak değişir; kırılma riskinin en yüksek olduğu yer burasıdır.

Kirişin profili, bir kirişin yarısında (diğer yarısı simetriktir) üçüncü derece bir polinomla ( x 3'te fonksiyon ) tanımlanır.

Kesme kuvvetleri ve eğilme momentlerinin diyagramları geleneksel olarak dikey çizgilerle dolu olarak temsil edilir. Bu, grafik yöntemi için kullanılan yamuk alan bölmesine karşılık gelir.

Nokta yükü ile iki destek üzerinde kiriş

Bu durum, üç noktalı eğilmenin genellemesidir: yükün merkeze uygulanması gerekmez. Bu, örneğin bir yuvarlanma yükünü temsil etmeyi mümkün kılar.

Yükün bir ucu ile uygulama noktası arasındaki analiz, üç noktalı bükme ile aynıdır, ancak sorun artık simetrik değildir.

Gömme kiriş

Kirişle sabitlenmiş ( kenetli kiriş , konsol ) kiriş veya konsol, bir kiriş konsolunun (örneğin bir dirsek) bir bayrak direği, zemindeki bir sızdırmazlık direği durumunu gösterir.

Üç noktayı bükerken bir kirişin yarısı gibi davrandığı fark edilebilir, sabit destek merkeze karşılık gelir. Maksimum bükülme momenti gömme seviyesindedir, burası başarısızlık riskinin en büyük olduğu yerdir.

Dört nokta fleksiyon

Üç noktalı eğilmedeki temel fark, iki yük arasındadır: eğilme momenti sabittir ve kesme kuvveti sıfırdır. Bu durum saf bükme veya dairesel bükme olarak nitelendirilir .

Düzgün dağıtılmış yüke sahip iki destek üzerinde kiriş

Tek tip bir yük, kirişin kendi ağırlığını veya hatta bir boru veya tank durumunda bir sıvının ağırlığını tanımlamayı mümkün kılar.

Doğrusal olarak dağıtılmış yüke sahip iki destek üzerinde kiriş

Bu durum, karanın veya suyun bir tarafıyla dikey bir duvarı destekleyen bir kolon üzerindeki yükü tanımlamak için kullanılabilir: basınç derinlikle artar.

Grafik yöntemi

İzostatik eğilme problemlerinin çözümü grafiksel olarak yapılabilir.

Hiperstatik durumlar

Desteklenen ve gömülü kiriş (derece 1)

Desteklenen ve simetri ile gömülü bir kiriş durumu, aynı açıklıklara sahip üç destek üzerindeki bir kirişin durumu ile tamamen aynıdır (destekle, eğim sıfırdır ve bir gömülmeye karşılık gelir).

Üç destek üzerinde kiriş (derece 1)

Uzunlukta iki özdeş alana sahip olan bir kiriş halinde l , düzgün bir yük altında q , destek üzerindeki moment yani tek bir ışın, bir süre içinde momentine eşit olmasına karşın  ; Bu nedenle, iki ışını ortak bir destek üzerinde süreklilik içinde birleştirerek direnç açısından hiçbir şey kazanılmaz. Öte yandan, aralıktaki maksimum moment geçerlidir ve maksimum sapma, izostatik kirişe kıyasla yaklaşık% 40 oranında azaltılır. pl2/8{\ displaystyle pl ^ {2} / 8}9pl2/128{\ displaystyle 9pl ^ {2} / 128}

İki gömülü kiriş (derece 3)

Düzgün dağıtılmış sürekli yük q	Maksimum q 0 olan üçgen yük
Konsantre yük P	Tork M 0

Plastik bükme

Başlangıçta, malzemenin elastik alanda kalması gerektiği gerçeği, benzer direnç kriteri (nihai sınır durumu, ULS) muhafaza edilir. Maksimum kabul edilebilir yük bu nedenle şu şekilde olmalıdır:

σ maks ≤ R pe

ile

• R pe = R e / s  : uzamaya pratik direnç;
• R, E  : elastik sınır , tipik olarak 185 355  MPa bir yapı çeliği (düşük karbon Saf çelik);
• s  : güvenlik katsayısı , tipik olarak 1.5 ile 5 arasındadır.

Bu nedenle, yanlışlıkla aşırı yüklenmelerle başa çıkmayı mümkün kılan, gönüllü olarak büyük boyutlu yapılarımız var.

Kirişin belirli alanlarının plastikleştirilebileceğini (plastik deformasyona uğrayabileceğini) kabul edersek, daha küçük boyutlandırabiliriz, böylece daha hafif bir yapı tasarlayabiliriz.

Genel olarak benimsenen yaklaşım şunlardan oluşur:

• elastik sınırın, gerilme eğrisini basitleştiren maksimum gerilim değeri olduğunu düşünün  ;
• bir bölümün bütününün plastik bir gerilime maruz kaldığı anı mahvetme ölçütü olarak almak .

Kesit tamamen plastikleştirildiğinde, normal gerilim şu değerdedir:

• - h / 2 ≤ y <0: σ ( y  ) = R ' e  ;
• 0 < y ≤ h / 2: σ ( y  ) = R , e .

Eğilme momenti değerlidir

Mf=-∫-h/2h/2y⋅σ(y)⋅dS{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f}} = - \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} y \ cdot \ sigma (y) \ cdot \ mathrm {dS} }.

Işın simetrik ise, o zaman

Mf=-2∫0h/2y⋅σ(y)⋅dS=2∫0h/2y⋅Re⋅dS=Wpl×Re{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f}} = - 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ sigma (y) \ cdot \ mathrm {dS} = 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ mathrm {R_ {e}} \ cdot \ mathrm {dS} = \ mathrm {W_ {pl}} \ times \ mathrm {R_ {e}}}

W pl , plastik eğilme modülüdür:

Wpl=2∫0h/2y⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {W_ {pl}} = 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ mathrm {dS}}.

Sahip olduğumuza dikkat edin

W pl = 2S z

burada S z , yarım bölümün statik momentidir .

Elastik bükülme ile karşılaştırıldığında, kirişin daha yüksek bir bükülme momentine maruz kaldığı kabul edilmektedir. Bu iki an arasındaki oran φ "kazanç" olarak adlandırılır ve değeridir:

φ=Mf m-dex plMf m-dex e´l=Wpl×ReWe´l×Re=WplWe´l{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f \ max \ pl}}} {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f \ max \ {\ akut {e}} l}}}} = {\ frac {\ mathrm {W_ {pl}} \ times \ mathrm {R_ {e}}} {\ mathrm {W _ {{\ akut {e}} l}} \ times \ mathrm {R_ {e}}}} = {\ frac {\ mathrm {W_ {pl}}} {\ mathrm {W _ {{\ akut {e}} l}}}}}.

Bu bir biçim faktörüdür: yalnızca kesitin şekline bağlıdır.

Birkaç standartlaştırılmış profil için kazançlar

Profil	Kazanç
IPN	1.18
IPE	1.15
HEA	1.15
HEB	1.16
UPN	1.19
UAP	1.18
tüp	1.27
tabak	1.5
yuvarlak	1.7

Malzeme plastik alana girdiğinde , kirişin yerel plastikleşmesini karakterize eden plastik bilyeli mafsal kavramını devreye sokmak gerekir . Yapının çökme mekanizması daha sonra kinematik teoremi veya yapısal mekaniğin statik teoremi kullanılarak belirlenebilir.

Bir tabak vakası

In plaka teorisi , biz dikkate

• yaprakçıklar, yani plakanın yüzlerine paralel ince malzeme dilimleri, orta katman plakanın ortasında yer alır ve
• normal lifler, yani ortalama tabakaya dik ince malzeme tüpleri.

Kirchhoff-Love'ın ince plaka teorisinde, ortalama tabaka bükülür ancak düzleminde gerilmez ("membran" gerilimi yoktur) ve normal lifler deformasyon sırasında ortalama tabakaya dik kalır. Bu nedenle, sadece yer değiştirmeleri ifade edebilir u ve v göre bir noktanın x ve y , sırasıyla yükseklik bir fonksiyonu olarak z yer değiştirmesinin bu noktanın, ağırlık göre z ve açılar θ arasında X ve θ y  :

u ( x , y , z ) ≃ z · θ y ( x , y ); v ( x , y , z ) ≃ - z · θ x ( x , y ); θx=∂w∂y ;θy=-∂w∂x.{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ theta _ {x} = {\ frac {\ kısmi w} {\ kısmi y}} {\ text {;}} \\ [1ex] \ theta _ {y} = - {\ frac {\ kısmi w} {\ kısmi x}} {\ text {.}} \\\ end {matris}}}

Mutlak terimlerle ifade etmek gerekirse, membran deformasyonunun yokluğu hipotezi yalnızca yüzey geliştirilebiliyorsa, yani yalnızca bir eğriliğe sahipse ( silindir veya dönme konisi ) geçerlidir. Genel durumda ( küre ve atın eyeri örneklerine bakın ), mutlaka bir streç vardır. Bu nedenle varsayım, yalnızca yer değiştirme w plakanın kalınlığı h ile karşılaştırıldığında zayıfsa geçerlidir .

Deformasyon

Suşların tensörünün tanımına göre , biri:

{ε11=z⋅∂θy∂x=-z⋅γxε22=-z⋅∂θx∂y=-z⋅γy{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {dizi} {l} \ varepsilon _ {11} = z \ cdot {\ frac {\ kısmi \ theta _ {y}} {\ kısmi x}} = - z \ cdot \ gamma _ {x} \\ [1ex] \ varepsilon _ {22} = - z \ cdot {\ frac {\ parsiyel \ theta _ {x}} {\ kısmi y}} = - z \ cdot \ gamma _ { y} \\ [1ex] \ end {dizi}} \ sağ.}

burada γ X bir eğrilik ortalama tabakanın xz düzleminde ve γ y de , yz düzleminde .

Uyum çabaları

Eğilme momentleri m xy normal yüzüne etki eden, x olan ve vektör boyunca yönlendirilir y ve m, yx , normal yüzüne etki eden y olan vektör boyunca yönlendirilir ve x , normal gerilme doğrusal bir dağıtım. Bu durum kirişinkine benzer.

Kısıtlamalar

Hooke yasasındaki stresleri değerlendirebiliriz  :

{ε11=1E⋅(σ11-ν⋅σ22)ε22=1E⋅(σ22-ν⋅σ11){\ displaystyle \ sol \ {{\ begin {matrix} \ varepsilon _ {11} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {E}}} \ cdot (\ sigma _ {11} - \ nu \ cdot \ sigma _ {22}) \\ [2ex] \ varepsilon _ {22} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {E}}} \ cdot (\ sigma _ {22} - \ nu \ cdot \ sigma _ {11 }) \\\ end {matrix}} \ right.}

dır-dir

{σ11=-E1-ν2⋅(γx+νγy)⋅zσ22=-E1-ν2⋅(γy+νγx)⋅z{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} = - {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ cdot (\ gamma _ {x } + \ nu \ gamma _ {y}) \ cdot z \\ [2ex] \ sigma _ {22} = - {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \ cdot z \\\ end {matris}} \ sağ.}

Burada E Young modülü ve ν Poisson oranıdır .

Eşdeğerlik ilkesi ile normal gerilmeler ile eğilme momentleri ilişkilendirilebilir; bunun için, kirişler için soldaki veya sağdaki kuvvetlerin konvansiyonları gibi bir konvansiyon seçmek gereklidir. Burada, aşağı doğru bir eğriliğe neden oluyorlarsa, yani üst yüz sıkıştırılmışsa ( z > 0 için σ ii < 0) ve alt yüz gerilimde ise (σ ii > 0 için ) pozitif momentleri not etmeyi seçiyoruz. z <0).

Öyleyse maddenin öğesi d x × d y × h ise , o zaman

{mxy⋅dy=∫-h/2h/2(σ11⋅z⋅dy)⋅dzmyx⋅dx=∫-h/2h/2(σ22⋅z⋅dx)⋅dz{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} m_ {xy} \ cdot \ mathrm {d} y = \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ sol (\ sigma _ {11} \ cdot z \ cdot \ mathrm {d} y \ right) \ cdot \ mathrm {d} z \\ [1ex] m_ {yx} \ cdot \ mathrm {d} x = \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ left (\ sigma _ {22} \ cdot z \ cdot \ mathrm {d} x \ right) \ cdot \ mathrm {d} z \\\ end {matrix}} \ right.}

dır-dir

{mxy=-D⋅(γx+νγy)myx=-D⋅(γy+νγx){\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} m_ {xy} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {x} + \ nu \ gamma _ {y}) \\ m_ {yx} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \\\ end {matrix}} \ sağ.}.

Dönem

D=E1-ν2∫-h/2h/2z2⋅dz=Eh312(1-ν2){\ displaystyle \ mathrm {D} = {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \ cdot \ mathrm {d} z = {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}}

bükülme sertliği olarak adlandırılır . Bir kirişin bükülmesi için E⋅I G z faktörüyle aynı rolü oynar .

Sahip olduğumuz gibi

{γx≃∂2w∂x2γy≃∂2w∂y2{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} \ gamma _ {x} \ simeq {\ dfrac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi x ^ {2}}} \\ [2ex] \ gama _ {y} \ simeq {\ dfrac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi y ^ {2}}} \\\ uç {matris}} \ sağ.}

diferansiyel denklemleri çıkarıyoruz  :

{mxy=-D⋅(∂2w∂x2+ν∂2w∂y2)myx=-D⋅(∂2w∂y2+ν∂2w∂x2){\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} m_ {xy} = - \ mathrm {D} \ cdot \ sol ({\ frac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi x ^ {2}} } + \ nu {\ frac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi y ^ {2}}} \ sağ) \\ [1ex] m_ {yx} = - \ mathrm {D} \ cdot \ left ( {\ frac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi x ^ {2}}} \ sağ) \\\ end {matrix}} \ right.}.

Genel durumda, m xy m yx , x ve y'nin işlevleridir .

Özel durumlar

Dikdörtgen bir plakanın kenarlarında homojen moment dağılımı

İlk olarak, kenarlarında tekdüze momentlere maruz kalan dikdörtgen bir plakanın basit durumunu ele alacağız; bu durum özellikle ilginç gerçek bir duruma karşılık gelmez, ancak basit bir şekilde belirli sayıda sonucun alınmasını mümkün kılar. Bu durum, bir kirişin saf bükülmesine benzer (dört noktalı bükmenin orta kısmı).

Bizim özel durumumuzda, tork torsörleri durumundayız. Plakanın herhangi bir yerinde bir madde unsuru düşünülürse, bu durumda kişi:

m xy = M x  ; m yx = M y .

Bunlar sabitler, bu yüzden elimizde

{Mx=-D⋅(γx+νγy)My=-D⋅(γy+νγx){\ displaystyle \ sol \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {x} + \ nu \ gamma _ {y}) \\ \ mathrm {M} _ {y} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \\\ end {matrix}} \ right.}

Bu durumda çözüm basittir: tek tip eğrilikler elde ederiz:

{γx=-Mx-νMyD′γy=-My-νMxD′{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {M} _ {x} - \ nu \ mathrm {M} _ {y}} {\ mathrm {D} '}} \\ [2ex] \ gamma _ {y} = - {\ dfrac {\ mathrm {M} _ {y} - \ nu \ mathrm {M} _ {x}} {\ mathrm {D } '}} \\\ son {matris}} \ sağ.}

ile

D′=(1-ν2)D=Eh312{\ displaystyle \ mathrm {D} '= (1- \ nu ^ {2}) \ mathrm {D} = {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12}}}.

Harici çiftlerden biri sıfırsa, örneğin M y = 0, o zaman elimizde

γ y = -νγ x ,

yani iki ana eğriliğin zıt olduğu anlamına gelir ( at eyeri tipinin "antiklastik" eğrisi ). M y = νM x olduğu özel durumda , elimizde

γ y = 0

yani bir yönde sadece bir eğriliğimiz var. Bu durum, bir kirişin saf bükülmesine benzer, ancak sonuç biraz farklıdır:

tabak :Mx=-Dγx=-Eh312(1-ν2)γxkiriş:Mx=-EbenGzγx=-Eh312γx{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {plate:}} & \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {D} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {E } h ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}} \ gamma _ {x} \\ {\ text {ışın:}} & \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12}} \ gamma _ {x } \\\ son {matris}}}

Fark faktörü 1 / (1-ν²), levhanın yanlarda serbestçe uzanma imkanına sahip olmamasından kaynaklanmaktadır. Metaller durumunda (ν ≃ 0.3), yaklaşık% 10'luk bir fark vardır (1 / (1-ν²) ≃ 1.10).

M y = M x varsa , o zaman

γ y = γ x ,

plaka bu nedenle bir küre başlık şeklini alır. Bu aslında, herhangi bir homojen moment dağılımı için plakanın şekli ne olursa olsun doğrudur.

Düzgün basınç Desteklenen kare plaka

Tarafının kare plaka halinde bir sadece tek tip bir basınç tarafından yüklenen desteklenen p 0 , maksimum sapma ağırlık maksimum merkezindedir ve değerdir:

wm-dex=p0-de44π4D{\ displaystyle w _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {p_ {0} a ^ {4}} {4 \ pi ^ {4} \ mathrm {D}}}}.Gömme dairesel plaka

Gömülü R yarıçaplı dairesel bir plaka olması durumunda , merkezden r mesafesindeki sapma değerindedir.

w(r)=p064D(R2-r2)2{\ displaystyle w (r) = {\ frac {p_ {0}} {64 \ mathrm {D}}} (\ mathrm {R} ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2}} ;

maksimum sapma merkezdedir ve eşittir

wm-dex=p064DR4{\ displaystyle w _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {p_ {0}} {64 \ mathrm {D}}} \ mathrm {R} ^ {4}}.

Oku formda da yazabileceğimizi unutmayın.

w(r)=wm-dex(1-r2R2)2{\ displaystyle w (r) = w _ {\ mathrm {maks}} \ sol (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ mathrm {R} ^ {2}}} \ sağ) ^ {2 }}.

İnşaat için uygulama

Daha önce görüldüğü gibi, bir elemandaki ( kiriş veya zemin ) bükülmeden kaynaklanan gerilmeler (ve gerilmeler) esas olarak alt ve üst liflerin yakınında yoğunlaşırken, nötr lifin yakınında olanlar çok az streslidir. Dolayısıyla, malzeme ekonomisi nedenleriyle, finansal bir amaç için veya elemanın kendi ağırlığını azaltmak, malzemeyi nötr elyaftan uzaklaştırmak ve merkezinde inceltmek mümkündür. Bu nedenle borular , haddelenmiş profiller (U, I, H, köşeler ), nervürlü veya kutu plakalar şeklinde profilli profiller kullanıyoruz ...

Notlar ve referanslar

1. Michel Del Pedro , Thomas Gmür ve John Botsis , "Eğri kirişlerin eğilmesi " , Katı ve yapıların mekaniğine giriş , Lozan, Presses politeknikleri et universitaire romandes,2004( ISBN  2-88074-617-5 ) , s.  115-124

Ayrıca görün

Kaynakça

• Jean-Louis Fanchon, Mekanik rehber , Nathan,2001, 543  s. ( ISBN  2-09-178965-8 ) , s.  265-396
• Claude Hazard, Frédy Lelong ve Bruno Quinzain, Mémotech - Metalik yapılar , Paris, Casteilla,1997, 352  s. ( ISBN  2-7135-1751-6 ) , s.  326-336
• D. Spenlé ve R. Gourhant, Mekanikte hesaplama kılavuzu: endüstriyel sistemlerin performansını kontrol etme , Paris, Hachette,2003, 272  s. ( ISBN  2-01-168835-3 ) , s.  130-208

İlgili Makaleler

• Sapma
• Sapma (malzeme direnci)
• Alanların anları yöntemi