En az etki prensibi olan fiziksel prensibi olan fiziksel bir miktar (konum, hız ve bir parçacık ivmelenmesi ya da değerleri dinamikleri göre alan alanı içinde herhangi bir noktada, ve bunların varyasyonları) kutu dinamik değerlerin, eylemin verilen iki an arasında optimal bir değere sahip olmasına izin verdiği varsayılarak eylem adı verilen tek bir miktardan çıkarılabilir (iki an oldukça yakın olduğunda değer minimumdur).
Fiziğin temel denklemlerinin çoğu, en az eylem ilkesinden formüle edilebilir. Bu, özellikle klasik mekanik , elektromanyetizma , genel görelilik ve kuantum alan teorisinde geçerlidir .
Maupertuis , 15 Nisan 1744 tarihli Mémoires de l'Académie de Sciences de Paris'te yayınlanan ve şimdiye kadar uyumsuz görünen farklı doğa yasalarının Uzlaşması üzerine anılarında mekanik için en az eylem miktarı ilkesini şöyle tanımladı :
“Doğada herhangi bir değişiklik olduğunda, bu değişiklik için gereken eylem miktarı mümkün olduğunca azdır. "
Bu ilke, daha sonra Maupertuis'in metafizik düşüncesinin aksine, mutlak bir minimum değil, aşırı bir ilke, maksimum-minimum olduğunu gösteren çalışma sayesinde tüm değerini ortaya koydu: ' Euler , Lagrange , Hamilton , Jacobi ve Helmholtz .
Daha önce Leibniz , Couturat'ın bu en az eylem ilkesinin "genellikle kendisine atfedilen Maupertuis'ten değil, Leibniz'den kaynaklandığını" söyleyecek kadar ileri gittiği noktaya kadar benzer fikirleri mekaniğe sokmuştu . Temelinde de, yaygın bir fikir olduğunu XVII inci asır doğanın itaat Cimrilik anlamında ekonominin prensibi. Ne Fermat prensibi (1657) bu yüzden onun seyahat süresini en aza indirmek için başka bir noktadan ışık yayar varsayarak, optik içine almıştı.
İçinde mekanik , en az etki prensibi vücut hareketi sürekliliğini olmalıdır' dikkate alarak, hemen en az enerji tüketmek için (ya da hemen en enerji kazanmak üzere) izin verir yön alır bildiren (pozisyon ve hız) fiziki şartların devamlılığı varsa.
İki noktayı birbirine bağlayarak, vücudun aldığı yol her zaman onu genel olarak daha az enerji harcamasına neden olan yol değildir, çünkü bu harcama anlık (veya daha doğrusu anlık ) enerji en aza indirgenir (sanki vücut sadece yakın çevresinin koşullarını algılıyormuş gibi). ) ve kat edilen yol uzunsa, daha yüksek anlık enerji harcaması olan daha kısa bir yol daha düşük toplam harcamaya izin verebilir. Bir arabanın yakıt tüketimi ile bir benzetme yapılabilir.
Bu "özet"te, "enerji" kinetik enerji anlamına gelir ve "enerji harcaması", kinetik enerjinin potansiyel enerjiye dönüştürülmesi anlamına gelir .
Aksiyon arasındaki farkın, sistemin bir yol boyunca, toplamı olarak sunulmuştur kinetik enerji ve potansiyel enerji .
Sistemin eylemi = , zaman nerede .Yol, değişken bir yöntemle belirlenir : uç noktalar sabitlenir, seyahat süresi de değişir, yollar değişir ve fiziksel olarak kabul edilen yol(lar), eylemin dakika varyasyonlarına göre durağan olduğu yollardır. seyahat).
Bu yöntem , eylemin diğer yakın olanlarla karşılaştırıldığında her zaman minimum olmadığı ve matematiksel olarak kabul edilebilir olmadığı, ancak bazen sütun noktaları olduğu yollar veren Euler-Lagrange denklemlerine götürür : eylem sonsuz küçük varyasyonlar mesafesi için durağandır ve bu bir maksimumdur. bazı varyasyon türleri için, diğerleri için minimumdur. Her durumda, bu yollar fiziksel koşullara uyar ve bu nedenle gerçekçidir. Bununla birlikte, her biri boyunca, eğer iki nokta yeterince yakınsa (ölçüm onları ayıran yolun uzunluğu ile yapılır), o zaman aralarındaki bu yolun , ilkenin adını haklı çıkaran varyasyon yöntemindeki eylemi en aza indirdiğini gösterebiliriz.
Bu, aşağıdaki iki koşula eşdeğer olarak yorumlanabilir:
Bazen bu iki enerji (sürtünmesiz sarkaç, eliptik yörüngeli uydu vb.) veya geçici stabilizasyon (hareketsiz veya bir deliğin dibine yerleştirilmiş top, dairesel yörüngeli uydu vb.) arasında döngüsel bir değişim olur.
Bir cismin serbest düşüşü, potansiyel (yerçekimi) enerjisinin kinetik enerjiye dönüşümünün tipik örneğidir. Dikey olarak fırlatılan bir cismin yavaşlaması ve durması (düşmeden önce) ters dönüşüme bir örnektir.
Sürtünmeler , malzemelerin moleküllerinin kinetik enerjisi olan ısı ürettikleri için daha karmaşık bir dönüşüm uygularlar, ancak bu enerji biçimini ihmal ederek, kinetik enerjinin kaybolduğunu (incelenenin dışında) göz önünde bulundurarak en az etki ilkesini kullanabiliriz. sistem).
Maupertuis'in " kütlenin hız ve uzaya göre ürünü" olarak tanımladığı eylem, toplam enerjinin sabit olduğu muhafazakar bir alana karşılık gelir, bugün azaltılmış eylem ( fr ) olarak adlandırılır . Uzayda bir noktada bu eylem şuna eşittir:
yani, bir noktadaki kütlesi olan bir parçacığın veya bir nesnenin hızı şu şekilde verilir:
Bu, azaltılmış eylemin parçacığı "sürdüğü" anlamına gelir . Ayrıca aksiyon potansiyel bir alandır, yani uzaydaki tüm noktalarda bir değer tanımlıdır (karşıdaki şekilde renk ne kadar açık maviyse aksiyon o kadar önemlidir); sonuç olarak, hareketin gradyanı bir hız alanı tanımlar (karşıdaki şekildeki oklar). Azaltılmış eylem yalnızca tek bir yörüngeyi değil, aynı zamanda yüzeylere dik olan bir yörüngeler akışını da tanımlar ; yani . Bir parçacığa bir başlangıç konumu vermek yeterlidir, ardından yörüngesi hız alanı tarafından verilir.
Sabit toplam enerjiParçacığın zamandan bağımsız bir potansiyele maruz kalması durumunda , toplam enerji sabittir ve toplam hareket , konum ve zamanın bir fonksiyonu, aşağıdaki formülle indirgenen hareketin bir fonksiyonu olarak yazılır:
Parçacığın zamana bağlı bir potansiyele maruz kalması durumunda , toplam enerji artık sabit değildir ve toplam hareket artık önceki formülü değil, Hamilton-Jacobi denklemini karşılar:
başlangıç koşulu ile:
burada ilk hareket , ilk hızların alanını tanımlayan azaltılmış harekettir; Hamilton-Jacobi denkleminin bu başlangıç koşulu, yalnızca başlangıç konumunu tanımlayan Euler-Lagrange denkleminden farklıdır. Bu Hamilton-Jacobi eylemi , toplam enerjinin değişken olduğu durumlarda azaltılmış eylemi genelleştirir . Özellikle, gradyanı her noktadaki hız alanını tanımladığı için parçacığın hızını "kontrol eder" :
En az eylem ilkesinin mevcut sunumu, mobilin yolundaki iki sabit nokta hipotezini kullanır: bir başlangıç noktası, aynı zamanda bir bitiş noktası. Bu, fizikte zamanın okunu izleyen nedenselliğe aykırı olan bir " nihai neden " in akıl yürütmede kullanılması olarak sıklıkla eleştirilmiştir .
Uç noktalarla ilgili bu a priori bilgi hipotezi , sistemin başlangıç zamanındaki başlangıç konumunun bilindiği, ancak başlangıç hızının bilinmediği Euler-Lagrange denklemlerine yol açan eylemin mevcut formülasyonuna karşılık gelir . Sadece o andaki son konumu kullanan Euler-Lagrange denklemlerinin çözümünün sonunda bilinecektir . Serbest bir parçacık durumunda, bu başlangıç hızı, bu nedenle nihai bir nedene, o andaki değere bağlı olacaktır . Bu, Maupertuis tarafından yaratılmasından bu yana en az eylem ilkesine yapılan ana metafizik eleştiridir.
Hesaplamalar açısından, bir nihai neden (varış noktası) kullanmak bir sorun teşkil etmez çünkü ilk hız pratikte bilinir ve çoğu zaman Euler-Lagrange denklemlerinin sonucunu tersine çevirebilir ve nihai konumu ifade edebilir. örneğin serbest parçacık durumunda ilk hıza bağlı olarak: .
Ancak teorik bir bakış açısından, nihai nedene başvurmaktan kaçınmak için Hamilton-Jacobi denklemleri ile diğer formülasyonu kullanmak gerekir .
Aslında, bu durumda, ilk Hamilton-Jacobi hareketinin bilindiği ve bu nedenle başlangıç konumunun başlangıç hızının da bilindiği ve buna eşit olduğu varsayılır .
Lagrange'den önce bu ilke, diğer herhangi bir fiziksel ilkeden bağımsız olarak, metafizik düşüncelerden yola çıkarak tasarlandı.
En az eylem ilkesine bugün hala geçerli olan etkin matematiksel ifadesini 1756'da Lagrange verdi. Aynı zamanda analitik mekaniği geliştiren ve 1788'deki çalışmasında bu ilkeyi sanal hızlar ilkesinden ( d'Alembert ilkesi olarak da adlandırılır ) ortaya koyan kişiydi . Sanal hızlarda ilkesi ifade Newton'un dinamiğin temel prensibi sistemine (sisteme harici veya dahili fenomenler) tarafından sistemin kısıtlarını (sınırlama vb alanı, katılıkları, içinde) ve fenomen geçirmiş ayırarak.
Bu ispat, en az eylem ilkesine ilişkin metafizik sorulara bir son verir: ilke, Newton'un fiziksel ilkesine eşdeğerdir, metafizik eleştiriye tabi değildir ve "nihai neden" o zaman matematiksel bir oyun olarak anlaşılır.
İncelenen sisteme ve içinde ele alındığı teorik çerçeveye bağlı olarak, en az eylem ilkesinin matematiksel ifadesi biraz biçim değiştirir.
Bu, fiziğin çoklu mutasyonlarından kurtulan nadir ilkelerden biridir, ancak nadiren bir keşif kaynağı olmuştur: daha çok başka yollarla bulunan yasaları yeniden formüle etmek veya yeniden kanıtlamak için kullanılır. En büyük katkısı şüphesiz WR Hamilton'u teorik çalışmasının yoluna koymaktı (bkz: Hamilton Mekaniği ). Göreli fizikte, Euler-Lagrange denklemleri değişmeden kalır, ancak Lagrange artık kinetik enerji ile potansiyel enerji arasındaki farka eşit değildir. Aslında, görelilikten, en az eylem ilkesinin, bir işlevi veya çalışılan sistemin işlevleri arasındaki farkı en aza indiren, başlangıçta genel ilkelerden belirlenen, zamanla parametrelendirilen sürekli bir yörüngenin varlığına dayandığı ortaya çıktı. Örneğin:
Klasik fizikte sistemin bu işlevleri kinetik ve potansiyel enerjiler ise, görelilikte artık durum böyle değildir.
Göreceli fizikte ve bir elektromanyetik alanın yokluğunda, ilke olarak en aza indirilen cismin işlevinin özellikle basit olduğunu gösteriyoruz: Bu, yolun " uygun zamanı "nın nerede olduğu sorusudur. yolculuk sırasında vücudun referans çerçevesinde geçen zaman ve uzay metriği tarafından ölçülen yörüngenin uzunluğu: bu , " " işareti ve sabitlik kütlesi ve ışığın hızı nedeniyle " uygun zamanı " maksimize etmek anlamına gelir. .
Bir elektromanyetik alan, yüklerine ve dağılımlarına göre cisimler arasındaki yolda farklılıklara neden olur.
Ve klasik fizikte olduğu gibi, tüm denklemler en az eylem ilkesi olmadan elde edilebilir.
1940 civarında, daha basit bir kuantum elektrodinamiği formülasyonu bulma çabasıyla , Richard Feynman kuantum mekaniğinde en az etki ilkesinin bir formülasyonunu aradı . Çözüm ona Paul Dirac'ın bir makalede dile getirdiği bir fikirden geldi .
Böylece ilke, bu fizik dalının, aslında kuantum elektrodinamiği için Hamilton formülünden daha basit olduğunu kanıtlayan bir yol integrali biçiminde yeniden formüle edilmesine izin verdi .
Bu formülasyon, "parçacık tüm olası yolları farklı olasılıklarla test eder" gibi yorumlara yol açmıştır.
Tahmin edilebileceği gibi, kuantum formülasyonu klasik limitte olağan formülasyonu bulmayı mümkün kılar ve klasik eylemi ekstrem yapan yol integralin bir boynudur: sadece ikincisi integrale önemli ölçüde katkıda bulunur.
Fikir yörüngesi bir süre minimize veya uzunluğu ilk ile doğduğunu Pierre de Fermat optik yaptığı çalışmada (bkz sırasında, 1655 civarında Fermat'ın prensibini ). Leibniz'i ilgilendirse bile , mekanik için "en az eylem ilkesi"nin sözel ve matematiksel formülasyonunu geliştiren 1740 civarında Maupertuis'ti . Euler , matematiksel analizi geliştirirken bu ilkeyi yeniden formüle etmeye başladı, ancak ona yöntemini ve son biçimini 1755'te veren Lagrange'dı ve sonra onu analitik mekaniğinin basit bir sonucu olarak dahil etti .
1827 yılında Hamilton : optiğe bu ilkeyi uygulamak isteyen, analitik yöntemle enerjinin çalışmaya dayanarak yeni bir yaklaşım geliştirdi Hamilton mekaniği , Jacobi ediyorum defa 1840 yılında rafine.
Formülasyonundan bu yana, bu ilke birçok bilim insanına araştırmalarında, özellikle de Broglie'nin 1920 civarında kuantum teorisi üzerine çalışmasında rehberlik etmiştir . 1915'te Hilbert , ilkeyi kullanarak genel göreliliğin yerçekimi denklemlerini gösterdi ( Einstein onları başka bir yöntemle buldu) ve 1942'de Richard Feynman , The Principle of Least adlı doktora programı tezinde ilkenin yeni bir formülasyonunu önerdi . Kuantum Mekaniğinde Eylem , kuantum mekaniğinin yeniden yazılmasına izin verir .