Curry-Howard yazışma da adlandırılan, Bruijn-Howard Curry-de izomorfizm, dayanıklı / program yazışma veya mama / tip yazışmalar , arasındaki sınırda sonuçlarının bir dizi matematiksel mantık , teorik bilgisayar bilimleri ve hesaplanabilirlilik teorisi . Mantıksal bir sistemin biçimsel kanıtları ile bir hesaplama modelinin programları arasında ilişkiler kurarlar . Curry-Howard yazışmalarının en eski örnekleri, Haskell Curry'nin Hilbert tarzı sistemler ve kombinatoryal mantığın gösterileri arasındaki resmi analojiyi fark ettiği 1958'e ve ardından William Alvin Howard'ın doğal çıkarım sezgiselindeki gösterilerin resmen kendilerini görebildiğini belirttiği 1969 yılına kadar uzanıyor. yazılan lambda-kalkülüsün şartları olarak .
Curry-Howard yazışmaları, kanıt teorisi ile teorik bilgisayar bilimi arasında bir köprü kurduğu için mantıkta önemli bir rol oynadı . 1960'lardan günümüze kadar çok sayıda çalışmada bir biçimde kullanıldığını görüyoruz : gösterime dayalı anlambilim , doğrusal mantık , fizibilite , otomatik gösteri , vb.
Curry-Howard yazışmaları, 1940'ların sonlarında, Curry tarafından kombinatoryal mantık için formüle edilmişti. Howard, 1980'de basitçe yazılmış lambda hesaplamasının yazışmalarını resmen sunan bir makale yayınladı, ancak yalnızca, mantıkçıların dünyası. O bağımsız biliniyordu Joachim Lambek için kapalı Kartezyen kategorilerin arasında, Girard için F sisteminin ve Bruijn de için Automath sisteminde . En azından bu beş isim bu kavramla ilişkilendirilebilir.
Örneğin, basit tipte bir lambda hesaplamasında , her bir temel türle bir önerme değişkenini ilişkilendirirsek ve mantıksal çıkarımı tür kurucusuyla ilişkilendirirsek , minimum dolaylı mantığın gösterilebilir önermeleri (burada tek bağlayıcı l 'çıkarımdır) türlere karşılık gelir. ve kapalı açısından lambda taşı.
Örneğin, öneriye lambda terimini ilişkilendiririz .
Öte yandan, önerme veya önerme ( Peirce yasası ) ile ilişkili kapalı bir lambda terimi yoktur , çünkü minimal dolaylı mantıkla gösterilemezler.
Ancak yazışma, aşağıdaki gibi ispatların ispatlarına ve standartlaştırılmasına da uzanır:
Bu yazışma, modulo kesinti teorilerindeki belirli ispatların indirgenmesini (veya gösterimini) göstermek için özellikle yararlıdır . Bu nedenle, deliller (önermeler) cinsinden ifade edilir halinde (denilen kanıtı terimler olarak) sadece yazılmış lambda hesabı , algoritmaları gibi kanıtları dikkate alınması gerekmektedir. İspatları artık, ispatlarıyla birlikte ispatlarını ilişkilendiren algoritmalardır . Türü daha sonra aşağıdaki gibi ifade edilir
Genelliği kaybetmeksizin, yazışma, kanıtlama terimleri kümesinden ispat terimleri kümesine kadar bir izomorfizm ile ifade edilir . Feshedilmesi ait Düşürülmesi basitçe daktilo Lambda calculus nedenle delilleri çeşitli indirimleri sona ermesi hakkında karar vermeye olanak modulo kesinti teorileri .
Biz Kartezyen ürüne lambda taşı uzanan durumunda, paralel olacak ve mantıksal. Ayrık toplamı eklersek (toplam veya yapı türleri) mantıksal veya . Daha yüksek dereceli lambda hesaplamalarında tür değişkenleri ve dolayısıyla niceleyiciler ekleriz. Bu onlara her şey için verir .
Bu yazışma sayesinde , ilişkili lambda-hesabının güçlü normalleşmesini göstererek bir mantığın tutarlılığını kanıtlayabiliriz (hiçbir terim sonsuza kadar azaltılmaz). Bu nasıl Jean-Yves Girard çözüldü Takeuti en varsayım yani tutarlılığını göstermek için, ikinci derece aritmetik ; bunu F sisteminin güçlü bir şekilde normalleştirilmesini sağlayarak yaptı .
Fonksiyonel sistem | Biçimsel sistem |
---|---|
Yapıların hesaplanması ( Thierry Coquand ) | Üst düzey sezgisel mantık |
Sistem F ( Jean-Yves Girard ) | İkinci Dereceden Peano Aritmetiği / İkinci Dereceden Sezgisel Mantık |
Sistem T ( Kurt Gödel ) | Birinci Derece Peano Aritmetiği / Birinci Derece Sezgisel Mantık |
T1 sistemi | ? |
T0 ( İlkel özyineleme ) ( Stephen Cole Kleene ? Thoralf Skolem ?) | Özyinelemeli ilkel aritmetik |
Basitçe yazılmış lambda-hesap | Minimum dolaylı önermesel hesap ( doğal çıkarım ) |
Kombinatoryal mantık | Dolaylı önermesel hesap (à la Hilbert) |
Parigot lambda-µ hesaplama | Klasik önermeler analizinde doğal tümdengelim |
Curien ve Herbelin tarafından Lambda-µ-µ ~ hesaplaması | Klasik sıralı hesaplama |
Simetrik Berardi hesabı ve ikili Wadler hesabı | İle sequents hesaplanması ve |
Klasik fizibilite / Kontrollü Lambda hesabı / Krivine makinesi | Klasik ikinci dereceden mantık |
Fransız mantıkçı Jean-Louis Krivine , farklı matematiksel teoremler ve temsil ettikleri bilgisayar programları arasındaki bağlantıyı kurdu :
Bernard Lang'ın belirttiği gibi, Curry-Howard yazışmaları , yazılımın patentlenebilirliğine karşı bir argüman oluşturur . Algoritmalar matematiksel yöntemler olduğundan ve ikincisi doğası gereği patentlenebilirlik kapsamının dışında tutulduğundan, algoritmalara patent verilemez.
Referans kitabı "Girafon" olarak bilinen Girard-Lafont-Taylor kitabıdır .
Jean-Yves Girard , Le Point Aveugle, Cours de Logique , ed. Hermann, Paris, "Visions des Sciences" koleksiyonu, cilt 1: Vers la Perfection , 2006, 280 s. Bu gösteri teorisi dersi, mevcut mantığın (özcülük ve varoluşçuluk, Gödel'in eksiklik teoremi, diziler hesabı) üzerine bir yansıması ile başlar, Curry-Howard Yazışmalarıyla (sistem F, kategorik yorumlama) devam eder, ardından doğrusal mantığı motive eder ve açıklar ( uyumlu uzaylar, LL sistemi, gösteri ağları).