Lagrange noktası

Bir Lagrange noktası (not L 1 L 5 veya) daha nadir olarak, nokta Özgürlüğü , uzayda bir pozisyondur yerçekimi alanı iki gövdenin yörünge hareket birbirleri etrafında ve büyük kütlelerin, tam olarak sağlamak merkezcil uzayda bu nokta için gerekli olan kuvvet , iki cismin yörünge hareketine aynı anda eşlik eder. İki ceset dairesel yörüngede olması durumunda, bu noktalar üçüncü gövde, ihmal edilebilir kütlenin, bu eşlik edeceğini anlamda iki diğerlerine göre hareketsiz kalacağını nerede yerleri temsil onların merkezi etrafında onların dönüşünü de aynı açısal hız. onlara göre konumu değişmeden ortak yerçekimi.

Başka bir deyişle, iki büyük cismin, bir Lagrange noktasına yerleştirilen ihmal edilebilir kütlenin üçte birine uyguladığı yerçekimi kuvvetleri, ikincisinin merkezkaç kuvveti tarafından tam olarak dengelenir . Küçük cismin konumu bu nedenle değişmeyecektir çünkü üzerine uygulanan üç kuvvet birbirini dengeler.

Sayısında Beş, bu noktalar L adı verilen iki sabit nokta halinde bölünmüş olan 4 ve L 5 ve üç kararsız noktaları L gösterilen 1 L 3 . Fransız matematikçi Joseph-Louis Lagrange'ın onuruna adlandırılmışlardır . Güneş Sistemindeki (esas olarak sabit noktalar için) nesnelerin belirli konfigürasyonlarının incelenmesinde ve çeşitli yapay uyduların (esas olarak kararsız noktalar için) yerleştirilmesinde yer alırlar . Bunlar,  özellikle çeşitli ikili yıldız türlerini sınıflandırmayı mümkün kılan " Roche geometrisinin " (nokta-kol ve ekstrema) dikkate değer noktalarıdır .

L 1 , L 2 ve L 3 noktalarına bazen Euler noktaları denir , Leonhard Euler onuruna , Lagrange noktalarının adı daha sonra L 4 ve L 5 noktaları için ayrılır .

Noktaları L 4 ve L 5 stabiliteleri nedeniyle, doğal olarak çekmek ya da tutma uzun süre nesneleri. Noktaları L 1 , L 2 ve L, 3 , stabil olarak, zorunlu olarak uzun bir süre nesneleri korumak, ancak yörünge düzeltmeleri ile, uzay tarafından kullanılabilir.

Tarihi

Gök mekaniğinde birçok matematikçiyi büyüleyen bir konu vardır: bu sözde üç cismin problemidir . Newton , "cisimlerin birbirlerini kütlelerinin çarpımı ile doğru orantılı ve merkezlerine olan uzaklığının karesi ile ters orantılı bir kuvvetle çektiğini" ifade eden yasasını belirttikten sonra, üç cismin davranışını başarılı olmadan açıklamaya çalışmıştır. . 1772'de küçük bir cismin, kütlesi ihmal edilebilir (bugünkü test cismi ya da test parçacığı olarak anılır ), iki büyük cismin çekimine maruz kalan matematikçi Joseph-Louis Lagrange'ı beklemeliyiz : Güneş ve örneğin bir gezegen. Küçük beden için tüm kuvvetlerin dengelendiği yerler olduğunu keşfetti.

Tanım

Bu noktalarda bulunan düşük kütleli bir nesne artık diğer iki cisme göre hareket etmez ve onlarla uyum içinde döner (örneğin bir gezegen ve Güneş ). Güneş - Dünya sisteminin Lagrange noktalarını örnek olarak verirsek , bu beş nokta not edilir ve şu şekilde tanımlanır (ölçek dikkate alınmaz):

• L 1  : İki kitleler tarafından tanımlanan doğrunun üzerinde, aralarında, iki gövde arasındaki kütle oranına bağlı olarak tam pozisyonu; iki gövde biri diğerine göre daha düşük bir kütleye sahip durumunda, noktası L 1 kitlesel vücuda çok daha yakın olup, çok büyük bir gövde bulunur.
• L 2  : Bir küçük ötesinde iki kitleler tarafından tanımlanan hattında. İki gövde biri çok daha düşük bir kütleye sahip durumda, L arasındaki mesafe 2 , gövde ile L arasında karşılaştırılabilir 1 ve gövde.
• L 3  : daha büyük bir ötesinde iki kitleler tarafından tanımlanan doğrunun üzerinde. İki gövde biri, özellikle daha az kütleli olan diğer daha olduğu durumda, L arasındaki mesafe 3 ve masif gövdenin iki gövde arasındaki ile karşılaştırılabilir.
• L 4 ve L 5  : tabanı iki kütle tarafından oluşturulan iki eşkenar üçgenin köşelerinde. L 4 , en küçük kütlenin yörüngesinin önündeki, büyük kütlenin etrafındaki yörüngesindeki iki noktanın noktasıdır ve L 5 geridedir. Bu noktalara bazen üçgen Lagrange noktaları veya Truva noktaları denir , çünkü burası Güneş- Jüpiter sisteminin Truva asteroitlerinin bulunduğu yerdir . İlk üç noktadan farklı olarak, bu son ikisi diğer iki cismin göreceli kütlelerine bağlı değildir.

Lagrange noktalarının konumunun hesaplanması

Lagrange noktalarının konumunun hesaplanması, ihmal edilebilir kütleli bir cismin yörüngedeki iki cismin yarattığı yerçekimi potansiyeli ile merkezkaç kuvveti arasındaki dengesi dikkate alınarak yapılır . L 4 ve L 5 noktalarının konumu analitik olarak elde edilebilir. L 1 ila L 3 arasındaki diğer üç noktanın değeri , sayısal olarak veya muhtemelen sınırlı bir genişleme kullanılarak bir cebirsel denklemin çözülmesiyle elde edilir . Bu üç noktanın konumu, iki cisimden birinin kütlesinin (bu durumda 2 sayısı ), öncekinden R mesafesinde bulunan diğerinin önünde ihmal edilebilir olması durumunda aşağıdaki tabloda verilmiştir. . . . Pozisyonları kökenli tespit edilir iki gövde, bağlantı ekseni boyunca verilir , ağırlık merkezinin sisteminin olan ve yönlendirme gider gövdesi 1 ile gövde 2 . Miktarları r 2 ve q, sırasıyla konumunu göstermektedirler gövde 2 ekseninde ve iki gövde toplam kütlesine çakmak gövdesinin kütlesine oranı. Son olarak, miktarı kullanmak £ değenni tanımlanan ε  = ( q  / 3) 1/3 .

Nokta	Sistemin ağırlık merkezine göre konum
L 1	r2+r(-ε+13ε2+19ε3+Ö(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ sol (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ matematik {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ sağ)}
L 2	r2+r(ε+13ε2-19ε3+Ö(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ sol (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ matematiksel {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ sağ)}
L 3	-r+r(-512Q+112720736Q3+Ö(Q4)){\ displaystyle -R + R \ sol (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ matematik {O}} (q ^ { 4 }) \ sağ)}

Literatürde, eksenin kökeninin ağırlık merkezinden başka bir yerde alınması ve sınırlı gelişmenin temelinde bir terim olarak ikisi arasındaki ilişkiyi kullanmamız nedeniyle bazen biraz farklı ifadelere rastlıyoruz. daha küçük olanın toplam kütleye oranından ziyade kütleler, yani bazen q ' ile tanımlanan nicelik . Q′=m2m1=Q1-Q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Hesaplama ayrıntıları - Giriş ön elemeler

Biz tarafından ifade M 1 ve m 2 iki gövde kütle, ilk oluşan ya da binanın kütlesi ikinci edilene eşit daha fazla olduğu varsayılır. İki gövde sözde dairesel yörüngededir , ayrılmaları R'dir . İki cisim ortak ağırlık merkezlerinin etrafında dönerler . Biz tarafından ifade r 1 ve r 2 arasında bir yönlendirilmiş eksenine göre iki gövde cebirsel mesafeleri gövdesi 1 ile gövde 2 (yani R 1 ve negatif olacaktır r 2 pozitif). Ağırlık merkezi denklem ile tanımlanır

m1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

mesafe tanımı ile R ,

r2-r1=r{\ görüntü stili r_ {2} -r_ {1} = R}.

Bu iki denklemin çözümü

r1=-m2mr{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, r2=m1mr{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

burada M  =  M 1  +  m 2 sistemin toplam kütlesini gösteriyoruz.

İki cisim birbiri etrafında , değeri Kepler'in üçüncü yasası tarafından verilen ω açısal hızıyla yörüngede döner  :

ω2=Gmr3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G olmak yerçekimi sabiti .

Kendimizi iki cisimle birlikte dönen çerçeveye, yani ω açısal hızına yerleştirirsek, iki cismin yerçekimi kuvvetlerine ek olarak, durağan bir cisim merkezkaç kuvvetine maruz kalacaktır . Bu cismin vektör yarıçapını r ile gösterirsek , maruz kalacağı f c kütle birimi başına merkezkaç kuvveti yazılır.

Fvs=rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.temel denklem

Lagrange noktasının tanımı, yerçekimi ve eylemsizlik kuvvetlerinin toplamının bu noktalarda yok olmasıdır. Söz konusu noktanın/noktaların yarıçap vektörünü r ifade ederek,

-Gm1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

birinin dikkate alınan vektörlerin normunu aldığını gösteren çift çubuklar . Açısal hız ω daha sonra Kepler'in üçüncü yasasından elde edilen değeri ile değiştirilir .

-Gm1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+Gmrr3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

yerçekimi sabitiyle hemen sadeleştirdiğimizi

-m1r-r1||r-r1||3-m2r-r2||r-r2||3+mrr3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

Lagrange'ın çeşitli noktalarını veren bu denklemin çözünürlüğüdür.

Göz önünde bulundurulması gereken iki durum

Normali not edilen bir vektör tarafından verilen yörünge düzlemine dik olan bu denklemin izdüşümü hemen şunu verir: z^{\ displaystyle {\ şapka {\ boldsymbol {z}}}}

r⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ şapka {\ boldsymbol {z}}} = 0},

bu, Lagrange noktaları kümesinin yörünge düzleminde bulunduğu anlamına gelir. Bu nedenle denklem yörünge düzleminde çözülür. İki durum dikkate alınmalıdır:

• iki cismin oluşturduğu eksen boyunca bir nokta aradığımız yer,
• bu eksenin dışında bir nokta aradığımız nokta.

İkinci vaka, incelenmesi en kolay olanıdır.   Hesaplama detayları - Puan L 4 ve L 5 L 4 ve L 5 noktalarının durumu

Yarıçap vektörünün r iki gövdeden geçen eksene paralel olmadığı varsayılır . Bu nedenle, temel denklemi, not edilen bir vektör tarafından tanımlandığını varsaydığımız bir yön olan bu eksene dik olarak yansıtıyoruz . Tanım olarak, bu yön iki cismi birbirine bağlayan eksene dik olduğundan, y^{\ displaystyle {\ şapka {\ boldsymbol {y}}}}

y^⋅r1=y^⋅r2=0.{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0.}.

Temel denklem bu nedenle yeniden yazılır

-m1y^⋅r||r-r1||3-m2y^⋅r||r-r2||3+my^⋅rr3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}) } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ şapka {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

Terimler basitleştirilmiştir, bu da y^⋅r{\ displaystyle {\ şapka {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-m1||r-r1||3-m2||r-r2||3+mr3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Şimdi yönü r'ye dik olarak tanımlıyoruz . Yana R ile kolineer değildir r 1 ve r 2 , miktarlar sıfır değildir. Temel denklemi s boyunca yansıtarak, s^{\ displaystyle {\ şapka {\ boldsymbol {s}}}}s^⋅r1,2{\ displaystyle {\ şapka {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

m1s^⋅r1||r-r1||3+m2s^⋅r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ şapka {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Bununla birlikte, uygun Thales teoremine , izdüşümleri r 1 ve r 2 boyunca iki gövde bağlantı ekseni boyunca bu vektörlerin çıkıntılar ile aynı oranda bulunmaktadır. Bundan önceki denklemin yeniden yazılabileceği sonucu çıkar. s^{\ displaystyle {\ şapka {\ boldsymbol {s}}}}

m1r1||r-r1||3+m2r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2 } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

İki cismin ağırlık merkezi, daha önce görüldüğü gibi, şu anlama gelir:

m1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

Bu denklemin ve bundan önce gelenin kombinasyonu, iki uzaklığın ve özdeş olduğunu, değerlerinin R ' olarak not edildiğini ima eder : ||r-r1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||r-r2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||r-r1||=||r-r2||≡r′{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ eşdeğer R '}.

Bu sonucu r boyunca izdüşüm üzerine enjekte ederek , o zaman gelir

-m1r′3-m2r′3+mr3=0{\ görüntü stili - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Bütünü R ' 3 ile çarparak ve M'nin iki kütlenin toplamı olduğunu hatırlayarak , sonunda elde ederiz.

m(r′3r3-1)=0{\ displaystyle M \ sol ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ sağ) = 0},

sonuçta verir

||r-r1||=||r-r2||=r{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

yani aranan noktalar sistemin iki gövdesi ile bir eşkenar üçgen oluşturur. Bu üçgenler da ilan edilen L olarak gösterilen, iki olası noktayı sağlar yörünge düzlemi, dahil edilmiştir 4 ve L 5 iki gövde bağlantı ekseninin her iki tarafında yer alması.

Kullanma Pisagor teoreminin , mesafe D sisteminin ağırlık merkezi, bu iki Lagrange noktaları yazılır

NS2=(-|r1|+r/2)2+(3r/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

hangi vermek

NS2=r12+14r2-r|r1|+34r2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

hangi vermek

NS2=r2+r12-r|r1|{\ displaystyle D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Gerçeğini kullanarak , o gelir r=|r1|+r2{\ görüntü stili R = | r_ {1} | + r_ {2}}

NS2=r22+|r1|r=r12+r2r{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. Bu nedenle mesafe, iki cismin her birinin sistemin ağırlık merkezinden olan mesafelerinden daha büyüktür. Bu Lagrange noktaları, bu nedenle, en küçük kütleli cismin yörüngesinin ötesindedir ve tam olarak onun üzerinde bulunmazlar, ancak bu, en hafif cismin kütlesinin, arkadaşınınkiyle karşılaştırıldığında ihmal edilebilir hale geldiği sınırda neredeyse geçerlidir.   Hesaplama ayrıntıları - Puan L 1 - L 3 L 1 ila L 3 noktalarının durumu

İki cismi birleştiren eksende bulunan Lagrange noktaları göz önüne alındığında, üç alt durum dikkate alınacaktır:

1. Nokta(lar)ın 1 ve 2 alanları arasında olduğu durum  ;
2. Nokta(lar)ın cisme 1 göre cisim 2'nin karşısında olduğu durum  ;
3. Nokta(lar)ın cisme 2 göre cisim 1'in karşısında olduğu durum .

Bu üç durumda, temel denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılır:

• Örnek 1: eksen üzerinde iki kuvvetlerinin projeksiyon ters işaretli (uyguladığı kuvvetin çıkıntıya sahip gövdesi 1 tarafından uygulanan kuvvet olumsuzdur, gövde 2 , veren pozitif) -m1(r-r1)2+m2(r-r2)2+mrr3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

ile birlikte r1<r<r2{\ görüntü stili r_ {1} <r <r_ {2}}.

• Durum 2: İki kuvvetin eksen üzerindeki izdüşümü negatiftir, bu da -m1(r-r1)2-m2(r-r2)2+mrr3=0{\ görüntü stili - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

ile birlikte r1<r2<r{\ görüntü stili r_ {1} <r_ {2} <r}.

• Durum 3: İki kuvvetin eksen üzerindeki izdüşümü pozitiftir, bu da m1(r-r1)2+m2(r-r2)2+mrr3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

ile birlikte r<r1<r2{\ görüntü stili r <r_ {1} <r_ {2}}.

Bu üç denklemin her biri, belirli durumlar dışında (örneğin iki özdeş kütleninki gibi) kesin analitik çözümü olmayan beşinci dereceden bir polinom denklemine indirgenebilir .

Üç durumun her birindeki çözümlerin benzersizliği, kuvvetler dengesi üzerinde çözülecek denklemin, aşağıdaki şekilde verilen bir U potansiyelinden türetilmesi gerçeğinden çıkarılır.

sen=-m1||r-r1||-m2||r-r2||-12mr2r3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Bay ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Bu potansiyel, r 1 ve r 2'deki kutupları temsil eder ve bu değerlerin dışında üç içbükey terimin toplamına karşılık gelir ve bu nedenle yerel olarak içbükeydir. Bu nedenle, tanımlandığı alanların her birinde, yani yukarıda belirtilen üç durumun her birinde yalnızca bir yerel uç vardır.   Kütleler arasındaki oranın düşük olduğu durumlarda L 1 ila L 3 için çözümler Kütle oranının düşük olması durumunda azaltılmış form ve çözüm

Arasındaki oran ne zaman m 2 ve M 1 (ya da bunların arasında m 2 ve M) düşük olduğu için, bulmak kolay yaklaşık çözeltiden sınırlı bir genişleme gerçekleştirilmesiyle noktalarının her birinin konumu için yaklaşık bir çözüm olabilir. Gösterimi basitleştirmek için, tüm uzunlukları ayırma R ve toplam kütlenin kütle birimi M olarak ifade etmek için bir ölçek değişikliği gerçekleştirdik . böyle poz veriyoruz

sen=r/r{\ görüntü stili u = r / R},

ve

sen1,2=r1,2/r{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

ve küçük parametre q'yu şu şekilde tanımlarız :

Q≡m2/m{\ displaystyle q \ eşdeğer m_ {2} / M},

ifade edebileceğimiz

m1/m=1-Q{\ görüntü stili M_ {1} / M = 1-q}, sen1=-Q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, sen2=1-Q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

Bu durumda, yukarıda yazılan üç denklem daha basit halini alır.

• Dava 1: -1-Q(sen+Q)2+Q(sen-1+Q)2+sen=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

ile birlikte -Q<sen<1-Q{\ görüntü stili -q <u <1-q}.

• Durum 2: İki kuvvetin eksen üzerindeki izdüşümü negatiftir, bu da -1-Q(sen+Q)2-Q(sen-1+Q)2+sen=0{\ görüntü stili - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

ile birlikte 1-Q<sen{\ displaystyle 1-q <u}.

• Durum 3: İki kuvvetin eksen üzerindeki izdüşümü pozitiftir, bu da 1-Q(sen+Q)2+Q(sen-1+Q)2+sen=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

ile birlikte sen<-Q{\ görüntü stili u <-q}.Nokta L 1

2. cismin kütlesi ihmal edilebilir olduğunda, test parçacığı çok yakın olmadıkça çekimi ihmal edilebilir. Bununla birlikte, cismin 2 çekimi ihmal edilebilir olduğunda, cismin 1 çekimi ile merkezkaç kuvveti arasındaki denge, denge noktasının mesafesi R mertebesinde olacak şekildedir . Denge noktası karşısındadır zaman gövdenin 2 , biz Lagrange noktası durumunda olan  L 3 , bu nedenle, kabaca, karşısında yer alan bir, gövde 2 ile karşılaştırıldığında gövdesi 1 . Aksi takdirde, bu nedenle denge noktası yakınında oldukça olduğunu varsayacağız gövde 2 (ve dolayısıyla tekrar mesafesi bulunan R gelen gövdesi 1 ), ama yine de yeterince uzağa kadar çekilmesi bu gövdenin 2 Test parçacık üzerine uygulanan küçük kalır kıyasla gövdenin 1 . Bu nedenle azaltılmış formdan poz veriyoruz

sen=sen2+ε′=1-Q+ε{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

burada ε ' küçük ve negatif bir niceliktir (burada noktanın iki alan arasında olduğunu varsayıyoruz). Azaltılmış denklem daha sonra

-1-Q(1+ε′)2+Qε′2+1-Q+ε′=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon ' = 0}.

Vücut 1 tarafından üretilen çekimin birinci derecesiyle sınırlı bir gelişme gerçekleştiriyoruz  :

-(1-Q)(1-2ε′)+Qε′2+1-Q+ε′=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

1 - q arasındaki terimler  basitleştirilmiştir ve şu şekilde kalır:

(3-2Q)ε′+Qε′2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

Yine de sadece en düşük mertebeden terimleri tutarak q , geliyor

ε′=-(Q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ sol ({\ frac {q} {3}} \ sağ) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Daha sonra, cisim 2 üzerindeki noktanın sapmasını ε ' güçlerinde geliştirerek hesaplamaya devam edebiliriz . böyle poz veriyoruz

sen=1-Q+ε′+xε′2+Ö(ε′3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

Azaltılmış temel denklem daha sonra verir

-1-Q(1+ε′+xε′2)2+Q(ε′+xε′2)2+1-Q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varepsilon '+ x \ varepsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon' + x \ varepsilon '^ {2} = 0}.

İkinci terimi , değeriyle, yani -3 ε' ile değiştirebileceğimiz q  /  ε' 2 ile çarpanlarına ayırabiliriz  . sonra alırız

-(1-Q)(1+ε′+xε′2)-2-3ε′(1+xε′)-2+1-Q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varepsilon '(1 + x \ varepsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Daha sonra, ilk iki terimin sınırlı bir genişlemesini gerçekleştiririz, birincisi için ikinci sırada ve sonraki için birinci sırada,

-(1-Q)(1-2ε′-2xε′2+3ε′2)-3ε′(1-2xε′)+1-Q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon '-2x \ varepsilon' ^ {2} +3 \ varepsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varepsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

buradan x'in üçte bir değerinde olduğu sonucunu çıkarıyoruz , bu da

sen=1-Q+ε′+13ε′2+Ö(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ matematik {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Geliştirmeye daha sonra aynı prosedür izlenerek devam edilebilir. Bir sonraki siparişte, biz böylece

sen=1-Q+ε′+13ε′2-19ε′3+Ö(ε′4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ matematiksel {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.Nokta L 2

Temel denklemin ikinci teriminin işaretinin negatif olması dışında, L 2 noktasının durumu tam olarak önceki bölümde olduğu gibi çözülmüştür. o yüzden soruyoruz

sen=1-Q+ε{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

ε olduğu için bu sefer küçük ve pozitif kabul edildi ve bu nedenle

-1-Q(1+ε)2-Qε2+1-Q+ε=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0 }.

En düşük sipariş çözünürlüğü verir

-(1-Q)(1-2ε)-Qε2+1-Q+ε=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0},

hangi şartların iptalinden sonra verir

3ε=Qε2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

yani

ε=(Q3)13=-ε′{\ displaystyle \ varepsilon = \ sol ({\ frac {q} {3}} \ sağ) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varepsilon '}.

Bu, öncekiyle aynı sonuca en yakın işarete karşılık gelir. Çözümün daha da geliştirilmesi daha önce olduğu gibi yapılır. başlıyoruz

sen=1-Q+ε+xε2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

ve bu sonucu temel denkleme enjekte ederiz

-1-Q(1+ε+xε2)2-Q(ε+xε2)2+1-Q+ε+xε2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varepsilon + x \ varepsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Daha önce olduğu gibi, bu ifadeyi şuna göre dönüştürüyoruz:

-(1-Q)(1-2ε-2xε2+3ε2)-3ε(1-2xε)+1-Q+ε+xε2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon -2x \ varepsilon ^ {2} +3 \ varepsilon ^ {2}) - 3 \ varepsilon (1-2x \ varepsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0},

neyi çözüyoruz

x=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

yani

sen=1-Q+ε+13ε2+Ö(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Bu ifade değiştirerek ilk Lagrange noktasının aynıdır £ değenni ' ile £ değerinin , ama bu iki nokta asimetriktir: işareti olarak £ değerinin , ε' noktası L arasında değişmektedir 1 ve nokta L 2 , her zaman, ikinci sıra düzeltme, pozitif nokta L yaklaşan 1 arasında gövde 2 bu nokta L devam ederken 2  : iki noktadan eşit değildir gövde 2 . Dünya için kütle oranı 1 ⁄ 300.000'dir ve ε , Dünya'ya göre iki noktayı Dünya-Güneş mesafesinin yaklaşık yüzde biri veya 1.500.000 kilometre yakınına yerleştiren 0.01 mertebesindedir  . İkinci dereceden terim, Dünya-Güneş mesafesinin otuz binde biri mertebesinde, yani 5.000 km içindedir  . Dolayısıyla L 1 noktası Dünya'ya L 2'den yaklaşık 10.000  km daha yakındır .

Son olarak, yapılan tüm hesaplamaları veren daha yüksek mertebeye geliştirmeye devam edebiliriz.

sen=1-Q+ε+13ε2-19ε3+Ö(ε4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ matematik { O }} (\ varepsilon ^ {4})}.Nokta L 3

Noktalı L karşılık gelir durumda 3'te, 3 , temel denklem yazılır

1-Q(sen+Q)2+Q(sen-1+Q)2+sen=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Noktanın cisim 2'ye göre cisim 1'in ötesinde olduğu varsayıldığından , çekiciliği diğer cisme göre daha baskın olacak olan en büyük cisme daha yakındır. Bulunduğumuz durumda, aranan noktanın konumu yaklaşık olarak şu şekildedir:

1-Q(sen+Q)2+sen=0{\ görüntü stili {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Bu denklemin yaklaşık çözümü elbette

sen≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

Bu değerden sapmaları bulmak için temel denklemi yazıyoruz.

sen=-1+v{\ görüntü stili u = -1 + v},

ve biz dikkate ilk terimleri alarak denklemi çözmek q . Böylece elde ederiz

1-Q(-1+v+Q)2+Q(-1-1+v+Q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

Miktarlar ve q , R'nin önünde küçük olduğundan, ilk terim yazılır v{\ görüntü stili v}

1-Q(-1+v+Q)2=(1-Q)(1-v-Q)-2≃(1-Q)+2(v+Q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

İkinci terim, bir öncekine kıyasla ihmal edilebilir ( q ile orantılıdır ), yaklaşık olarak hesaplanabilir.

Q(-1-1+v+Q)2≃Q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Tüm bu terimleri birleştirerek,

1-Q+2(v+Q)+Q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

hangi vermek

54Q+3v=0{\ görüntü stili {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

demek ki

v=-512m2m+Ö(m22m2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ matematik {O}} \ sol ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {E ^ {2}}} \ sağ)}.

Şimdi poz vererek bu hesaplamaya zorlanmadan devam edebilirsiniz.

sen=-1-512Q+w{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

w{\ görüntü stili w}bu sefer q 2 ile orantılıdır . Temel denklem daha sonra olur

1-Q(-1-512Q+w+Q)2+Q(-1-1-512Q+w+Q)2-1-512Q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ sol (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ sağ) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ sol (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ sağ) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​​​0 },

demek ki

1-Q(1-712Q-w)2+Q(2-712Q-w)2-1-512Q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ sol (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ sağ) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ sol (2- {\ frac {7} {12}} qw \ sağ) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​0}.

Bu ifadeyi q cinsinden ikinci mertebeye genişleterek buluruz

w=0+Ö(Q3){\ displaystyle w = 0 + {\ matematik {O}} (q ^ {3})},

Bu demek ki en fazla olan q 3 . Bu bağlamda hesaplamayı yeniden yaparak, sonunda w{\ görüntü stili w}

w=112720736Q3+Ö(Q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ matematik {O}} (q ^ {4})}. Sun-Gezegen yapılandırmasında son düzeltici vadeli 10 düzenin en iyi olduğunu: O kadar hesaplamayı almak nadiren yararlıdır -9 , büyük Gezegen-Güneş kütle oranının beri durumunda Jüpiter taşımaktadır binde bir sıra. Terimi, q, 3 faktör fraksiyonu göz önüne alındığında, yörüngesindeki boyutu göz önüne alındığında, yaklaşık elli metrelik bir düzeltme tekabül milyarda bir gücün sağlanması yeterlidir, Jüpiter için, bu nedenle, q 3 yirmide mertebesindedir . Dünya-Güneş sistemi için (yaklaşık 150 milyon kilometre mesafe, yaklaşık 1 ⁄ 300.000 kütle oranı ), son düzeltme bir mikronun küçük bir kısmıdır.  

istikrar

Yukarıdaki hesaplama, Lagrange noktalarının kararlı olması durumunda hiçbir şey göstermez. Bu noktaların kararlılığı ya da istikrarsızlığı da pek sezgisel değildir. İki gövde ile dönen referans çerçevesinde, bir test parçacığı yerçekimi katkısı ve merkezkaç kuvveti dahil bir potansiyele maruz kalmış olarak görülebilir. Ω olarak belirtilen bu potansiyel şu şekilde yazılır:

Ω=-Gm1|r-r1|-Gm2|r-r2|-12|r|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Bu potansiyelin tüm terimleri negatiftir ve kütlelerden (ilk iki terim için) veya sistemin ağırlık merkezinden (üçüncü terim için) uzaklaştıkça azalır. Böylelikle, Lagrange L işaret gösterebiliriz 4 ve L, 5 (aşağıya bakınız), potansiyel Q'nın lokal maksimumlar ve diğer üç nokta olduğu eyer noktaları . Genellikle, bir denge konumu (potansiyelin türevlerinin iptali ile belirlenir), yalnızca potansiyelin yerel minimumlarında bulunuyorsa kararlıdır. Ancak, dönen bir referans çerçevesinde olduğumuz göz önüne alındığında, referans çerçevesi eylemsiz değildir . Bu referans çerçevesinde hareket eden bir nesne, örneğin bir denge konumu civarında, Coriolis kuvvetine maruz kalacaktır ve hareketi yalnızca potansiyelin şekline bağlı değildir. Lagrange noktalarının kararlılığını incelemek için Coriolis kuvvetini hesaba katmak gerekir.

Lagrange noktalarının kararlılığını hesaplamak için, bu noktalardan birinin yakınında bulunan bir cismin hareket denklemini incelemek gerekir. Not etmek sureti ile Ír koordinatları vektörünü Ax ve δY (bir varsayar yörünge düzlemi ile sınırlı) Lagrange noktadan birinde böyle bir nesnenin sapma veren, hareket denklemi yazılır

δr¨=-2ω∧δr˙+δF{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

burada δf , nesneye uygulanan birim kütle başına kuvveti temsil eder. Bu kuvvet küçüktür, çünkü Lagrange noktasında kuvvet (yerçekimi bileşeni ve merkezkaç kuvvetinden oluşur) sıfırdır ve kişi kendini böyle bir noktanın yakınına yerleştirir. Bu kuvvet, sınırlı bir gelişme açısından hesaplanabilir. Örneğin, X bileşeni için

δFx=Fx(0)+∂Fx∂xδx+∂Fx∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ kısmi f_ {X}} {\ kısmi X}} \ delta X + {\ frac {\ kısmi f_ {X}} { \ kısmi Y}} \ delta Y}.

İlk terim, Lagrange noktasında uygulanan kuvvete karşılık gelir; bu kuvvet, yapım gereği sıfırdır. Ek olarak, bir potansiyelden türetilen kuvvet, kuvvetin türevleri potansiyelin ikinci türevleri cinsinden ifade edilebilir:

δFx=-∂2Ω∂x2δx-∂2Ω∂x∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Omega} {\ kısmi X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Omega } {\ kısmi X \ kısmi Y}} \ delta Y}.

Böylece hareket denklemini bileşenler cinsinden şu şekilde ifade edebiliriz:

δx¨=2ωδY˙-∂2Ω∂x2δx-∂2Ω∂x∂YδY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ nokta {\ delta Y}} - {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Omega} {\ kısmi X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Omega} {\ kısmi X \ kısmi Y}} \ delta Y}, δY¨=-2ωδx˙-∂2Ω∂x∂Yδx-∂2Ω∂Y2δY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ nokta {\ delta X}} - {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Omega} {\ kısmi X \ kısmi Y}} \ delta X - {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ Omega} {\ kısmi Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Bu denklem grubu, dört birinci dereceden diferansiyel denklem sistemi şeklinde konabilir :

∂∂T(δxδYδx˙δY˙)=(00100001-Ω,xx-Ω,xy02ω-Ω,xy-Ω,yy-2ω0)(δxδYδx˙δY˙){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t}} \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ nokta {\ delta X}} \\ { \ nokta {\ delta Y}} \ bitiş {dizi}} \ sağ) = \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ { , xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { dizi}} \ sağ) \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} { c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ nokta {\ delta X}} \\ {\ nokta {\ delta Y}} \ bitiş {dizi}} \ sağ)},

burada potansiyel Ω'nin kısmi türevleri, önünde bir virgül bulunan bir indeks olarak not edilmiştir (örneğin, Ω , xx 'ye karşılık gelir ). ∂2Ω/∂x2{\ displaystyle \ kısmi ^ {2} \ Omega / \ kısmi x ^ {2}}

Göz önüne alınan Lagrange noktasının kararlılığı, bu denklemin çözümleri aranarak elde edilir. Bunu yapmak için, bunun çözüm bulmak için yeterli üstel tip içinde, . Böylece, A ile gösterilecek olan yukarıdaki matrisin köşegenleştirilmesine geçeceğiz . Bulunan özdeğerler yukarıdaki Γ niceliklerine tekabül edecektir, o zaman denge konumundan sapmalar en fazla dört üslün belirli bir kombinasyonudur. Sistemin kararlılığı, üstellerin zamanla artmaması, yani Γ niceliklerinin negatif veya negatif reel kısımlarla karmaşık olması gerçeğiyle sağlanır . Aslında matrisi tamamen köşegenleştirmeye gerek yok, özdeğerlerini yani denklemin çözümlerini bulmak yeterlidir. eΓT{\ görüntü stili e ^ {\ Gama t}}

detay(İLE-λben)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Bu determinant yazılır

|-λ0100-λ01-Ω,xx-Ω,xy,-λ2ω-Ω,xy-Ωyy-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ start {dizi} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ uç {dizi}} \ sağ |},

ve buna değer

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Bu denklem λ 2'de ikinci dereceden bir polinom denklemine indirgenebilir . Başlangıç ​​denkleminin çözümleri, bu nedenle, ikişer ikişer iki karşıt sayı çiftidir. İki zıt sayının negatif veya sıfır olması veya daha sonra negatif veya sıfır reel kısma sahip olması için, λ 2'deki denklemin çözümlerinin reel ve negatif olabilmesi için mutlaka saf hayali sayılar olmaları gerekir . Bu çözümlerin gerçek olması için diskriminant pozitif olmalıdır veya burada

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Bu elde edildikten sonra, iki gerçek çözüm negatif olmalıdır; bu, aynı anda toplamlarının negatif ve çarpımlarının pozitif olduğu anlamına gelir;

Ω,xx+Ω,yy+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

Bir Lagrange noktasının kararlılığı, bu üç kısıtlamanın gerçekleştirilmesine tabidir. Bu kısıtlamalar arasında, sonuncusunun basit bir yorumu vardır: miktarın işareti, dikkate alınan pozisyonun yerel bir ekstremum mu yoksa bir eyer noktası mı olduğunu belirler. Bu durumda, bu miktarın pozitifliği, yerel bir ekstremum olması gerektiğini, Lagrange noktasının kararlılığı için gerekli bir koşul, ancak yeterli olmadığı anlamına gelir. Bu miktar negatif olduğunda, bir eyer noktamız olur ve Lagrange noktası kararsızdır. Öte yandan, daha şaşırtıcı bir şekilde, bir Lagrange noktası potansiyelin yerel bir maksimumuna karşılık geliyorsa kararlı olabilir, yani Ω , xx  + Ω , yy , bu miktarın kritik değer -4  ω 2 . Pratikte, bazı durumlarda Lagrange noktaları L 4 ve L 5 için meydana gelen budur . Bu durumun fiziksel yorumu, stabilitenin daha sonra Coriolis kuvveti tarafından sağlanmasıdır. Böyle bir noktadan hafifçe kaymış bir nesne, yörüngesinin Coriolis kuvveti tarafından eğrildiğini görmeden önce başlangıçta radyal olarak uzaklaşacaktır. Eğer potansiyel nokta etrafında her yerde azalıyorsa, o zaman Coriolis kuvvetinin nesneyi Lagrange noktasının etrafında dönmeye zorlaması mümkündür, tıpkı bir çöküntüdeki bulutlar gibi çöküntünün çekirdeğini göstermeyen, ancak bir yere gitmeye zorlanan bulutlar gibi. etrafındaki dairesel yol. Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

Daha fazla hesaplama Ön hazırlık

Lagrange noktalarının kararlılığını incelemek için potansiyelin ardışık türevlerini hesaplamak gerekecektir. Bu potansiyel mesafeyi içerir | r  -  r 1 |. Bu nedenle, böyle bir miktarın farklı güçlerinin türevlerini bilmek gerekir. Gelen Kartezyen koordinatlarda , bu miktar yazılır

|r-r1|=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

Bu nedenle , x , y , z koordinatlarından birine göre türevi , toplu olarak belirtilen x i yazılır.

∂ben|r-r1|=122(xben-x1ben)(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=xben-x1ben|r-r1|{\ displaystyle \ kısmi _ {i} | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i) } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

Bu miktarın herhangi bir p gücünün türevi bu nedenle

∂ben(|r-r1|P)=P(xben-x1ben)|r-r1|P-2{\ displaystyle \ kısmi _ {i} (| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Bu sonucu potansiyele müdahale eden niceliklerin ikinci türevlerine uyarlayarak,

∂benJ(1|r-r1|)=-δbenJ|r-r1|3+3(xben-x1ben)(xJ-x1J)|r-r1|5{\ displaystyle \ kısmi _ {ij} \ sol ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ sağ) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

hangi, tam potansiyel için verir

∂benJΩ=δbenJGm1|r-r1|3-3(xben-x1ben)(xJ-x1J)Gm1|r-r1|5+δbenJGm2|r-r2|3-3(xben-x2ben)(xJ-x2J)Gm2|r-r2|5-ω2δbenJ{\ displaystyle \ kısmi _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

burada δ ij Kronecker sembolünü temsil eder . Lagrange'ın çeşitli noktalarının kararlılığını belirlemek için hesaplanması gereken bu kısmi türevlerin değeridir. Lagrange noktaları L 4 ve L 5 için bu hesaplama en basit olanıdır.

Lagrange noktalarının durumu L 4 ve L 5

Bu noktalar, iki cisme olan uzaklıklarının aynı ve R'ye eşit olmasıyla karakterize edilir  :

|r-r1|=|r-r2|=r{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

Buna ek olarak, bir tür miktarlarda geçmesine Kepler üçüncü kanunu kullanabilir G M  /  R, 3 için co ve bir Lagrange noktalarının tam koordinatlar bilir. Lagrange de potansiyel türevlerini değerlendirilmesi L işaret ile 4 ya da L 5 , elimizdeki

xben-x1ben=(12r,±32r){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ sol ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ sağ )},

ve

xben-x2ben=(-12r,±32r){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ sol (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ Sağ)},

işareti + L 5 için başvuru ve işaret - L 4 için . Son olarak, istenen matris, bileşenler için

∂benJΩ=ω2(-34∓334(1-2Q)∓334(1-2Q)-94){\ displaystyle \ kısmi _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {cc} - {\ frac {3} {4}} & \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ bitiş {dizi}} \ sağ)}.

Bu matrisin determinantı

detay(∂benJΩ)=Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2=2716(1-(1-2Q)2)ω2=274ω2Q(1-Q){\ displaystyle \ det (\ kısmi _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ sol (1- (1-2q) ^ {2} \ sağ) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

bu her zaman pozitiftir çünkü q 0 ile 1 arasında sınırlandırılmıştır. Bu ilk kararlılık koşulu oluşturulmuştur. İkinci kararlılık koşulu yazılır

Ω,xx+Ω,yy+4ω2=ω2(-34-94+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ sol (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ sağ) = + \ omega ^ {2}},

miktar yine pozitif. Son olarak, diskriminant verir

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2)=ω2(1-27Q(1-Q))=ω2(27Q2-27Q+1){\ displaystyle \ sol (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ sağ) ^ {2} -4 \ sol (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ sağ) = \ omega ^ {2} \ sol (1-27q (1-q) \ sağ) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

Kolonun stabilitesi, nihayetinde, miktarın pozitifliği ile belirlenir . Bu polinomun sıfırları q a , q b burada gösterilen genel formülle verilmiştir. 27Q2-27Q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

QNS,B=12±122327{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Bu polinom bu nedenle aralık üzerinde negatif değerlere sahiptir . Böylece, bu iki Lagrange noktasının kararlılığı ancak en küçük kütle toplam kütlenin %3.852'sini geçmediğinde veya eşdeğer bir şekilde iki kütlenin oranının % 4.006'yı geçmemesi durumunda sağlanır. Q∈]12-122327,12+122327[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ sağ [\ simeq] 0, \!03852,0, \! 96148 [}

Bu koşul, tüm Güneş-Gezegen tipi konfigürasyonlar (burada q , Jüpiter için yaklaşık binde birini geçmez) veya Dünya-Ay sistemi (burada q , 1/80, yani %1, 25 mertebesindedir) için doğrulanır .

L 1 ila L 3 Lagrange noktalarının durumu

L 1 ila L 3 arasındaki üç Lagrange noktası , iki gövdeyi birleştiren eksende bulunur. İkinci türevleri, miktarlar veren formülde y ı  -  y 1 i analoglarıdır ise sıfır, X, organları ve kabul Lagrange noktasına biri arasındaki mesafe ile tanımlanır. Sonuç olarak, ikinci türevlerin matrisi yazılır

∂benJΩ=(-2Gm1|r-r1|3-2Gm2|r-r2|3-ω200Gm1|r-r1|3+Gm2|r-r2|3-ω2){\ displaystyle \ kısmi _ {ij} \ Omega = \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 & {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ son { dizi} } \ sağ)}.

Ω , xx terimi açıkça negatiftir. Matrisin determinantının işareti Ω , yy ile belirlenir  : ikincisi pozitifse, o zaman Lagrange noktası bir eyer noktasıdır ve kararsızdır. Bu terimi Kepler'in üçüncü yasasını kullanarak yeniden yazabiliriz:

Ω,yy=ω2((1-Q)r3|r-r1|3+Qr3|r-r2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ sol ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r) }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ sağ)}. L 1 vakası

Lagrange noktası  L 1 iki cisim arasında bulunur. Onlara uzaklığı, | r  -  r 1 | ve | r  -  r 2 | bu nedenle, her seferinde kesinlikle daha az R . biz böylece

Ω,yy|NS1=ω2((1-Q)r3|r-r1|3+Qr3|r-r2|3-1)>ω2((1-Q)+Q-1)=0{\ displaystyle \ sol. \ Omega _ {, yy} \ sağ | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ sol ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ sağ)> \ omega ^ {2} \ sol ((1-q) + q-1 \ sağ) = 0}.

Bu miktar belirleyici olduğu L demek ki negatif olduğunu garanti hangi nedenle kesinlikle pozitiftir 1 dengesiz nokta kılan bir eyer noktasıdır.

L 2 ve L 3 durumu

Gösterimleri basitleştirmek için poz veriyoruz,

sen1=|r-r1|r{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, sen2=|r-r2|r{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Bu nedenle miktarın işaretiyle ilgileniyoruz.

Ω,yyω2=(1-Q)1sen13+Q1sen23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

yani

Ω,yyω2=(1-Q)(1sen13-1)+Q(1sen23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ sol ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ sağ) + q \ sol ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ sağ)},

u 1 ve u 2'nin farklarının 1'e eşit olması ve bir Lagrange noktası tanımladıkları gerçeğiyle birbirine bağlı olduklarını bilmek , yani bağıntı

-(1-Q)1sen12-Q1sen22+|r|r=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = 0}.

Sisteminin ağırlık merkezi Lagrange noktasına olan mesafe noktası L, yazılabilir 2 ,

|r|r=sen2+(1-Q)=sen1-Q{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

birleştirilebilecek ilişkiler

|r|r=Qsen2+(1-Q)sen1{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

L 2 noktasının konumu bu nedenle

-(1-Q)(1sen12-sen1)-Q(1sen22-sen2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ sol ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ sağ) -q \ sol ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ sağ) = 0}.

sonra sorarız

İLE=(1-Q)(1sen12-sen1){\ displaystyle A = (1-q) \ sol ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ sağ)}, B=Q(1sen22-sen2){\ displaystyle B = q \ sol ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ sağ)}.

Yani biz bir yandan

İLE+B=0{\ görüntü stili A + B = 0},

Ve diğer yandan

Ω,yyω2=İLEsen1+Bsen2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

Diğer bir deyişle,

Ω,yyω2=İLEsen1+Bsen1+B(1sen2-1sen1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ sol ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ sağ)}.

Sağ taraftaki ilk terim, A  +  B  = 0 bağıntısından dolayı sıfırdır.

Ω,yyω2=B(1sen2-1sen1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ sol ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ sağ)}.

Ancak, nokta L 2 , daha yakın için bulunan gövdenin 2 daha gövdesi 1 . Bu nedenle, u 2 , u 1 ' den küçüktür ve bu nedenle pozitiftir. İkinci türevin işareti nedenle tekabül B kendisinin değeri tarafından belirlenir, u 2  : Bu miktar 1 'den daha büyük ise, o zaman B , aksi halde, ise negatif olduğu B olumlu noktası anlamına gelir, hangi kararsız. Lagrange noktası L 2 , gövde 2'nin ötesinde bulunur . Bu bölgede uygulanan (yerçekimi artı merkezkaç) toplam kuvvet, birinci doğru açıldığında gövdenin 2 bir bu yakın olduğu zaman, L 'iptal edilir, 2 ve daha sonra ters L yöneliktir 2 . u 2'nin 1'e eşit olduğu noktada , bu kuvvetin bileşeni, iki cismi birbirine bağlayan eksen boyunca (pozitif bir çarpım sabitine kadar) şu şekilde verilir: (1sen2-1sen1){\ displaystyle \ sol ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ sağ)} 

δF∝-(1-Q)(1sen12-sen1)-Q(1sen22-sen2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ sol ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ sağ) -q \ sol ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ sağ)},

ile, burada,

sen2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, sen1=2{\ görüntü stili u_ {1} = 2},

yani

δF|sen2=1∝74(1-Q){\ displaystyle \ sol. \ delta f \ sağ | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Bu nicelik kesinlikle pozitif olduğundan,  eksenin u 2 = 1 noktası L 2 noktasının ötesinde bulunur . Sonuç olarak, nokta L 2 , u 2 , bu nedenle, 1 'den daha az olan B , pozitif bu nedenle noktası kararsızlığına sağlamaktadır semer noktası, gerçekten de. Bir kesinlikle benzer gösteri noktası L için yapılabilir 3 nedeniyle eyer noktası karakterine kendi istikrarsızlık gösteri tamamlar.  

Büyük kütle heterojenliğine sahip sistemler için L 1 ve L 2'deki karakteristik zamanlar

Lagrange noktalarının kararsızlığının en önemli uygulamalarından biri L 1 ve L 2 , yapay uyduların Dünya-Güneş sisteminin bu noktalarına gönderilebilmesidir (aşağıya bakınız). Bu tür uydular için, uyduyu noktanın yakınında tutmak için düzenli rota düzeltmeleri uygulanmalıdır. Bu karakteristik zaman, sistemin iki gövdesinin kütle oranının yüksek olduğu durumda değerlendirilebilir. Bu durumda, karakteristik kararsızlık süresi γ -1 şu şekilde verilir:

1y=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}},

burada T sistemin yörünge periyodudur. T'nin 365 günden biraz daha büyük olduğu Dünya-Güneş sistemi durumunda , karakteristik kararsızlık süresi 23 gün 4 saattir.

Ek olarak, yörüngenin kararlı bileşeni, titreşimde meydana gelir.

ωTrNSJ=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

veya eşdeğer bir şekilde, dönem ile

TTrNSJ=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

bu, yukarıdakiyle aynı durumda 176 günlük bir süre verir.

Gösteri

Sistemin özdeğerlerini veren denklem her zaman

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

ile, L 1 ve L 2 noktaları için ,

Ω,xy=0{\ görüntü stili \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,xx=-2Ω,yy-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, yy} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,yy=ω2(Qsen23+1-Qsen13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ sol ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ sağ)}.

en düşük mertebeden terimleri kendimizi kısıtlayan q , u 1 1 ve u 2 bu sayfadaki ilk tablo tarafından verilen ilişkisi ile belirlenir. biz böylece

Ω,yy=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ sol (3 + 1-1 \ sağ) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,xx=-9ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

Polinom denklemi daha sonra olur

λ4-2ω2λ2-27ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

kimin çözümleri

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ sol (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ sağ) \ omega ^ {2}}.

Bu denklemin pozitif çözümü, denge noktası sapmalarının ilişkiye göre zaman içinde katlanarak büyüdüğünü gösterir.

δx∝eλ+T{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

ile birlikte

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ kare {7}}}}}.

İlişkili karakteristik zaman bu nedenle

1y=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \! 0635 \; T},

veya ilan edildiği gibi, Dünya'nın Lagrange noktaları için 23 günlük bir karakteristik zaman.

Aynı şekilde, titreşimleri denklemin karmaşık kökleri tarafından verilen periyodik yörüngeler vardır, yani

ωTrNSJ=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

yani bir dönem

TTrNSJ=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, Bu, Dünya'nın Lagrange noktaları için neredeyse altı aylık bir zamana karşılık gelir.  

Kararsızlık varlığında yörüngelerin yapısı

Dengesiz noktasının özdeğer bilinince, bir Lagrange noktasına yakın bir yörünge bir olacaktır lineer bir kombinasyonu arasında özvektörlerin öz değerleri ile ilişkili. Bu özdeğerlerden birinin λ i not edilmesiyle, ilişkili özvektörün bileşenleri vardır.

Vben=(1μbenλbenλbenμben){\ displaystyle V_ {i} = \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i} } \ bitiş {dizi}} \ sağ)},

ile birlikte

μben=-12ω(Ω,xxλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ sol ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ sağ)},

ve bir yörünge şeklindedir

(δxδYδx˙δY˙)=∑benαbenVben{\ displaystyle \ sol ({\ başlangıç ​​{dizi} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ nokta {\ delta X}} \\ {\ nokta {\ delta Y}} \ bitiş {dizi} } \ sağ) = \ toplam _ {i} \ alpha _ {i} V_ {i}},

burada miktarlar , belirli bir zamanda δX , δY değeri ve bunların türevi tarafından belirlenen herhangi bir sayıdır . Üç kararsız Lagrange noktası durumunda, ikinci türev matrisinin determinantı negatiftir, bu, λ 2'deki ikinci dereceden denklemin diskriminantının zıt işaretlerin gerçek köklerine sahip olduğu ve sonunda, , aranan özdeğerler iki zıt saf hayali sayı ve iki zıt gerçek sayıdır. Bu nedenle genel bir yörünge, yörünge düzleminde periyodik bir bileşen (saf hayali köklere bağlı), sönümlü bir bileşen (gerçek pozitif köke bağlı) ve kararsız bir bileşen içerir. Verilen bir δX , δY pozisyonu için, gerçek köklerdeki iki özvektörün karşılık gelen çözüme katkıda bulunmayacağı bir hız seçmek her zaman mümkündür. Elde edilen yörünge daha sonra periyodiktir, periyot karmaşık kök tarafından verilir. Ancak böyle bir çözüm kararlı değildir. Yörüngeden küçük bir sapma, yörüngeye, yörüngeyi yavaş yavaş periyodik bileşeninden uzaklaştıracak kararsız bir bileşen ekleyecektir. Elde edilen yörüngenin dinamik olarak kararlı olmadığını söylüyoruz. Bu, tam olarak kararsız bir Lagrange noktasında bulunan bir nesnenin kararsız bir durumda olduğu gerçeğinin bir genellemesidir: Bu denge konumundan, kaçınılmaz olarak sistemin diğer cisimlerinin neden olduğu rahatsızlıklardan kaynaklanan küçük bir sapma, sonunda uzaklaşacaktır. ilk konumunun nesnesi. Aynısı, kararsız denge noktası çevresinde bulunan yörüngeler için de geçerlidir. αben{\ görüntü stili \ alfa _ {i}}

kavramın alaka düzeyi

Yukarıdaki hesaplama, sistemin iki gövdesinin dairesel bir yörüngede olduğu bir konfigürasyona atıfta bulunur. Bununla birlikte, Lagrange noktası kavramı, eliptik dahil her tür yörünge için geçerlidir. Bu nedenle, bu noktaları, kütleçekimsel olarak birbirine bağlı iki gövdeye sahip herhangi bir sistemde tanımlayabiliriz. Öte yandan, çeşitli Lagrange noktalarının etrafındaki kararlı veya kararsız yörüngeler, açıkça sistemin iki gövdesinin yörüngesinin daireselliğine veya daireselliğine bağlıdır.

Uzay görevlerinde kullanın

Lagrange noktalarının matematiksel çalışması ve bunların ilişkili değişmez manifoldlar gibi matematiksel özellikleri, güneş sistemindeki uzay araştırma görevlerini tasarlamak için kullanılmıştır . Rosetta , Voyager veya Galileo gibi görevler için, sondanın dikkate alınan cisimlere kıyasla göreceli hızı, Kepler yörüngelerinin etki alanı içindeki diğer cisimler tarafından sadece hafifçe bozulduğu düşünüldüğünde, yaklaşıklık için yeterince yüksektir. Ancak, düşük hızları ve düşük itişleri dikkate alır almaz, daha ince bir yaklaşım gereklidir. Liapounov-Poincare teoremi, bu denge noktaları etrafında bir periyodik yörüngeler ailesinin varlığını bize garanti eder. Periyodik düzlemsel yörüngeler daha sonra Liapunov yörüngeleri olarak adlandırılırken , 3B durumda topolojik özelliklerine göre Halo yörüngeleri veya Lissajous yörüngeleri olarak adlandırılırlar. Lagrange noktaları etrafındaki bu tür periyodik yörüngenin, SoHO görevi gibi gerçek görevlerin yapımında zaten kullanıldığı belirtilebilir .

Lagrange noktalarının etrafındaki bu periyodik yörüngelerden , dinamiklerin ayırıcıları olan ve bu anlamda yerçekimi akımları olarak kabul edilebilecek değişmez manifoldlar ( Conley-McGee tüpleri ) gelir . Giderek daha fazla, bu akımlar, özellikle Gezegenler Arası Taşıma Ağı (ITN) ile görevlerin tasarımı için kullanılmaktadır .

Lagrange Puanları, belirli uzay görevlerinin özel ihtiyaçlarını karşılamak için kullanılır:

• Dünya ile Güneş arasında (gezegenimize çok daha yakın olmasına rağmen) yer alan Dünya-Güneş sisteminin Lagrange noktası  L 1 , Güneş'in Dünya ve Ay'dan herhangi bir müdahale veya gölgelenme olmadan gözlemlenmesini sağlar. Bu nedenle, karasal manyetosferden etkilenmeden güneş aktivitesini (patlamalar, döngüler, güneş rüzgarı) ölçmek mümkündür . Bu, SoHO ve ACE tarafından gerçekleştirilen gibi uzay hava görevleri için ideal konumdur .
• Dünya-Güneş sisteminin Lagrange noktası  L 2 , Dünya'ya yeterince yakın konumlandırılırken (1,5 milyon km) büyük bir termal kararlılık sağlar, böylece toplanan veriler yüksek bir oranda aktarılabilir. . Özellikle son yirmi yılda başlatılan geniş uzay astronomik gözlemevleri tarafından kullanılmaktadır: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Bu Lagrange  L 2 noktası ilk kez 2018 yılında Çin uydusu Queqiao tarafından Dünya-Ay aracısı olarak kullanıldı . Bu telekomünikasyon uydusu, böylece Ay'ın uzak tarafına yerleştirilmiş Chang'e 4 uzay sondası tarafından toplanan verileri Dünya'ya yeniden iletebilir .

güneş sisteminde

Truva atları

L 4 ve L 5 noktaları genellikle kararlıdır, bu nedenle truva atı adı verilen birçok doğal cisim vardır  :

• Güneş- Jüpiter sisteminde (2011'de) L 4 ve L 5 noktalarında yaklaşık 5.000 asteroit vardır  ;
• Güneş- Neptün sisteminde sekiz;
• Güneş- Mars sisteminde dört;
• içinde Satürn - Tetis sistemi , L işaret 4 ve L 5 ile işgal edilmiştir Telesto ve Calypso sırasıyla;
• Satürn- Dione sisteminde Hélène ve Pollux bu noktaları işgal eder.

Tuhaf bir şekilde, Güneş-Satürn sistemi, Jovian rahatsızlıkları nedeniyle Truva atlarını biriktiremiyor gibi görünüyor .

Güneş- Dünya sisteminde , o zamandan beri biliyoruz1 st Ekim 2010 tarihindenL 4 noktasında bir Truva atı, 300 metre çapındaki asteroid 2010 TK7 . Bazı gökbilimciler, bu nesnenin NEO'larla karşılaştırılabilir bir riski temsil edebileceğine dikkat çekiyor. Bu yazarlar ayrıca, Ay'ın ( Théia ) kökeninde olduğu varsayılan çarpma tertibatının , diğer gezegenlerin etkisi altında ondan atılmadan önce L 4 veya L 5 noktasında bir zaman ve birikmiş kütleye sahip olacağını öne sürüyorlar .

Uygulamalar

L 1 ve L 2 noktaları kararsız dengelerdir, bu da onları uzay görevleri çerçevesinde kullanılabilir kılar: doğal cisimler yoktur ve makul bir yakıt tüketimi için orada dinamik bir denge sağlanabilir (çevrelerinde yerçekimi alanı zayıftır) ).

Güneş-Dünya Sistemi

Bu konumların karasal yörüngelere kıyasla başlıca avantajları, Dünya'dan uzaklıkları ve zaman içinde sürekli olarak Güneş'e maruz kalmalarıdır. L 1 noktası özellikle Güneş'i ve güneş rüzgarını gözlemlemek için uygundur . Bu nokta ilk tarafından 1978 yılında işgal edildi ISEE-3 uydusu , şu anda tarafından işgal edilir SOHO , DSCOVR , Gelişmiş Kompozisyon Explorer ve Lisa Pathfinder uyduları .

Öte yandan, L 2 noktası, Dünya'dan ve Ay'dan saptırılması gereken ve çok düşük sıcaklıkta çalışan son derece hassas enstrümanlar içeren kozmos gözlem misyonları için özellikle ilgi çekicidir. Şu anda Herschel , Planck , WMAP , Gaia uyduları tarafından işgal edilmektedir ve ayrıca 2021'de JWST , 2022'de Euclid ve 2025 civarında Nancy-Grace-Roman tarafından işgal edilmelidir .

Dünya-Ay Sistemi

2019 yılında ayın gizli evresine inen bir ay uzay sondası olan Çin Chang'e 4 görevinin bir parçası olarak , Dünya ile sonda arasındaki iletişimi sağlamak için L 2 noktasına bir Quequio röle uydusu yerleştirildi .

Bir zaman için Dünya-Ay sisteminin L 4 veya L 5 noktasına bir uzay teleskobu yerleştirmek düşünüldü , ancak bu seçenek, orada toz bulutları gözlemlendikten sonra terk edildi.

bilimkurguda

Bilim kurguda, Dünya-Ay sisteminin L 4 ve L 5 noktaları, kararlılıkları nedeniyle genellikle devasa uzay kolonilerini barındırır. Bilimkurgu ve çizgi roman yazarları bir Anti-Dünya noktası L 3 yerleştirmeyi severler . Bu fikir, Newton fiziğinden önce gelir ve bu da onun oldukça gerçekçi olmadığını gösterir. Lagrange noktası, sistemin iki unsuruyla karşılaştırıldığında, ikiz bir gezegen için geçerli olmayan, yalnızca ihmal edilebilir kütleye sahip bir nesne için ilgi çekicidir.

Anlatımlarında bu noktaları kullanan yazarlardan John Varley , birkaç romanında ve kısa öyküsünde, Dünya-Ay topluluğunun Lagrange noktalarında kolonilerin kurulmasını, düşük kütleli bir nesnenin n 'olması gerçeğinden yararlanarak öngörmektedir. iki yıldıza göre konumunu korumak için enerjiye ihtiyaç duymaz. Bu, özellikle, son iki cildin bazı ana karakterlerinin bu kolonilerden birinden geldiği Gaïa Üçlemesi adlı serisinde geçerlidir.

Ayrıca Les Huit Mondes dizisi bağlamında geçen öykülerde (romanlar ve kısa öyküler) genellikle ikincil bir şekilde bulunurlar . Özellikle Gens de la Lune romanında , L 5 noktası , projeden vazgeçilmeden ve geminin leşi Ay'daki bir çöp sahasında depolanmadan önce, yıldızlararası bir yolculuğa çıkması beklenen Robert Anson Heinlein uzay aracının toplanma yeridir. .

Gundam evrenlerinin çeşitli çalışmalarında , uzay kolonileri genellikle Lagrange noktalarında bulunur ve bu da onları bu yörünge çatışmalarında önemli stratejik konumlar yapar.

Filmde Birinci tokuşu Yıl: 2010 tarafından Peter Hyams (itibaren takip ettiği (1984) 2001 uzay macerası ), kimin doğa gizemli kalır Jüpiter ve onun uyduları biri arasında Lagrange noktasında konumlandırılmış olarak sunulur dev monolit , Io.

Notlar ve referanslar

1. Üç Cisim Problemi Üzerine Deneme [PDF] , ltas-vis.ulg.ac.be.
2. Geometri of Roche, Jean-Marie Hameury, Strasbourg Gözlemevi [PDF] , astro.u-strasbg.fr.
3. Bernard Bonnard , Ludovic Faubourg ve Emmanuel Trélat , Gök Mekaniği ve Uzay Aracı Kontrolü , Berlin, Springer, koll.  "Matematik ve uygulamaları",2005, XIV -276  s. ( ISBN  978-3-540-28373-7 , ihbar BNF n o  FRBNF40153166 , çevrimiçi okuma ), s.  73 ( çevrimiçi oku ) Google Kitaplar'da (erişim tarihi: 25 Temmuz 2014).
4. http://www.esa.int/Enabling_Support/Operations/What_are_Lagrange_points
5. q'yu en küçük kütlenin toplama oranı olarak tanımlarsak , daha büyük değerler en büyük kütlenin toplam kütleye oranına tekabül ettiğinden , sadece 0,5'ten küçük q değerleri anlamlıdır.
6. (in) Martin Connors ve ark. , "  Dünya'nın Truva Asteroidi  " , Doğa , cilt.  475, n o  7357,28 Temmuz 2011, s.  481-483 ( DOI  / nature10233 10.1038 , bibcode  2011Natur.475..481C , online okuyun [PDF] , erişilen Aralık 2014'e 3 ) Makalenin ortak yazarları, Martin Connors, Paul Wiegert ve Christian Veillet'e ek olarak.
   Makale Nature dergisi tarafından alındı .11 Nisan 2011üzerinde okuma komitesi tarafından kabul 27 Mayıs 2011 ve web sitesinde yayınlandı 27 Temmuz 2011.
7. (in) Whitney Clavin ve Trent J. Perrotto , "  NASA'nın WISE Misyon Dünya'nın Orbit paylaşımı Truva asteroid ilk bulur  " üzerine NASA , Temmuz 27, 2011 yayınlanmıştır (üzerinde erişilen Aralık 2014 3 ) .
8. Philippe Ribeau-Gésippe , "  Dünya için yeni bir uydu: Dünyanın ilk Truva uydusu keşfedildi  ", Pour la Science , n o  407,eylül 2011, s.  6 ( çevrimiçi okuyun , 3 Aralık 2014'te danışıldı ) Makale şuraya yüklendi: 8 Ağustos 2011, derginin web sitesinde.
9. (içinde) Yerçekimi delikleri gezegen suikastçılarını barındırıyor mu? , haberci.com.
10. (in) "  uzayda LISA Pathfinder yolculuğu - açıklamalı  " üzerine sci.esa.int (erişilen 2016 29 Şubat ) .
11. (in) "  NASA'nın Webb Gözlemevi, Daha Fazla Test ve Değerlendirme Zamanı Gerektiriyor; Yeni Lansman Pencere Altında İnceleme  " üzerine nasa.gov (üzerinde erişilen 1 st Nisan 2018 ) .
12. (in) "  Lagrange Noktaları  " , The Gundam Wiki ,12 Eylül 2016( çevrimiçi okuyun , 14 Aralık 2016'da danışıldı ).

• Grégory Archambeau , Lagrange noktaları etrafındaki dinamiklerin incelenmesi , Orsay, Paris XI Üniversitesi ,2008, X -114  s., [1] adresinden çevrimiçi olarak [PDF] okuyun
• Maxime Chupin , therestricted üç gövde sorun özelliklerini kullanarak lowconsumption ile Interplanetary transferler , Paris, Université Pierre-et-Marie-Curie ,2016, XXVIII -171  s., [2] adresinden çevrimiçi olarak [PDF] okuyun
• (tr) Richard Fitzpatrick, Analytical Classical Dynamics , Texas Üniversitesi'nde Austin See online'da verilen kurs (pdf ve html sürümleri) .

Şuna da bakın:

İlgili Makaleler

• Lagrange noktasında bulunan Güneş Sistemi nesnelerinin listesi
• Theia

Dış bağlantılar

• (içinde) Otorite kayıtları  :
  • Fransa Ulusal Kütüphanesi ( veri )
  Kongre Kitabevi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">